华东师大版-13.5.3角平分线

13.5.3角平分线（两课时）

学习目标1．掌握角平分线性质定理和逆定理，并能运用这两个定理证明线段相等和角相等．2．提高学生对角平分线性质和判定在实际生活中的应用能力．学习重难点重点：角平分线性质定理和逆定理的内容。难点：角平分线性质定理和逆定理的运用。复习线段的垂直平分线的性质定理线段的垂直平分线的判定定理它们互为？

逆定理创设情境、导入新课在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC探究角平分线的性质

(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900

在△PDO和△PEO中,

∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE(3)验证猜想符号语言∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）PAOBCED12(4)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。注意：叙述时，条件是3个，缺一不可判断题∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC

（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。（×）如图，在Rt△ABC中，你能总结一下，证明两条线段相等，除了证它们所在的三角形全等之外，还有什么方法

思考利用角平分线的性质ABCBD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC相等吗？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分线

且DE⊥BA，∴DE=DC。为什么？DC⊥BC，已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt

△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900

PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌Rt

△PDO(H.L.)∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等。逆定理角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.你能证明三角形的三条角平分线交于一点吗？ACBEDPMHK如图，在△ABC的顶点B的外角的平分线BD与顶点C的外角的平分线CE相交于点P．求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．证明：过点P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别为M、K、H。∵BD平分∠CBMPM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即点P到三边AB、BC、AC的距离相等若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD

于H，FM⊥BC于M，GHM∵点F在∠BCE的平分线上，

FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG=FM.又∵点F在∠CBD平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴点F在∠DAE的平分线上.

如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．课本98页练习21．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于点P，点P即为所求练习1练习2：

如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABOP利用结论，解决问题练一练

1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B.两处

C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。P1P2P3P4l1l2l3如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。求证：△DBE的周长等于AB。ABCDE如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥