北师大版九年级数学上册期中测试题及答案

北师大版九年级数学上册期中测试题及答案(时间：120分钟满分：120分)姓名：________班级：________分数：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是(B)A．a≠0B．a≠1C．a＞1D．a≤22．对角线互相平分且相等的四边形是(B)A．菱形B．矩形C．正方形D．非以上答案3．用配方法解方程x2－4x－2＝0变形后为(A)A．(x－2)2＝6B．(x－4)2＝6C．(x－2)2＝2D．(x＋2)2＝64．把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)5．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2－ab，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为(D)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是(D)A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．方程(x＋5)(x－7)＝－26化成一般形式是__x2－2x－9＝0__．8．从－2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P的坐标，则点P在第四象限的概率是eq\f(1,3)．9．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，则这个矩形的长和宽分别为__6_cm，5_cm__．10．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为__3__．11．在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.当∠ACB＝__90__°时，四边形ADCF是正方形．12．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝5，8或eq\f(25,8)s时，△PAB为等腰三角形．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．用适当的方法解下列方程：(1)3x(x＋3)＝2(x＋3)；解：∵3x(x＋3)＝2(x＋3)，∴(x＋3)(3x－2)＝0，∴x＋3＝0或3x－2＝0，∴x1＝－3，x2＝eq\f(2,3).(2)2x2－4x－3＝0.解：∵2x2－4x－3＝0，∴a＝2，b＝－4，c＝－3，∴b2－4ac＝40＞0，∴x＝eq\f(4±2\r(10),4)＝eq\f(2±\r(10),2).14．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴BE＝CF，∴△ABE≌△DCF，∴AE＝DF.15．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？解：设增加了x行，则增加的列数为x，根据题意，得(6＋x)(8＋x)－6×8＝51，整理，得x2＋14x－51＝0，解得x1＝3，x2＝－17(舍)．答：增加了3行3列．16．如图是由相同的小正方形组成的网格，A，B两点都在小正方形的顶点上．现请在图①，图②中各画一个以A，B，C，D为顶点的菱形．要求：(1)顶点C，D在小正方形的顶点上；(2)工具只有无刻度的直尺；(3)所画的两个菱形不全等．解：答案不唯一，可参考图①、图②.17．2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1，A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．解：画树状图略．共有9种等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4种，∴P(小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片)＝eq\f(4,9).四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，分别交CB，CD的延长线于点E，点F.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若CD＝5，AE＝3，则四边形AECF的面积为__27__．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，∴180°－∠ABC＝180°－∠ADC，即∠ABE＝∠ADF，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△ADF(AAS)．19．如图，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.(1)当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；(2)当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵AC⊥BD，∴BC＝CD，∵BC＝CE，∴BC＝CE＝CD，即BE＝2CD.(2)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝180°－∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝CE，∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四边形ACED是正方形．20．某店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该店生产的是第几档次的产品？解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕属第三档次产品．(2)设店生产的是第x档次的产品，根据题意，得(2x＋8)×(76＋4－4x)＝1080，整理，得x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)．答：该店生产的是第五档次的产品．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0.(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt△ABC的斜边a＝eq\r(31)，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．(1)证明略．(2)解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0的两个根，∴b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3，又∵在Rt△ABC中，b2＋c2＝a2，即(2k＋1)2－2(4k－3)＝31，得k＝－2或k＝3，当k＝－2时，b＋c＝－4＋1＝－3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b＋c＝2×3＋1＝7，bc＝4×3－3＝9，符合题意，故k＝3.22．在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED垂直于直线AC，垂足为D，点M为EC的中点，连接BM，DM.(1)如图①，若点E在线段AB上，判断线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，请直接写出你的结论；(2)如图②，若点E在BA的延长线上，(1)中的结论是否发生变化？若不变，请加以证明；若变化，请写出你的猜想，并说明理由．解：(1)结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD.(2)在(1)中得到的结论不发生变化，即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD，证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)EC＝MC，∵点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，∴DM＝eq\f(1,2)EC＝MC，∴BM＝DM，∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB－∠EMD＝2∠BCM－2∠DCM＝2∠BCD，即∠BMD＝2∠BCD.六、(本大题共12分)23．【问题发现】如图①，四边形ABCD为正方形，BD为其对角线，在BC边上取点P，作PQ∥BD，则此时PC，QC的数量关系为__PC＝QC__，△PCQ的形状为__等腰直角三角形__．【拓展延伸】如图②，将△PCQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜30°)，请问此时线段BP，DQ的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由；【类比探究】如图③，当旋转角为45°时．①PQ与BC的关系是__PQ∥BC__；②若PC＝eq\r(2)，BC＝3，连接B