有翼导弹飞行力学第二章

导弹飞行力学——飞行轨迹复习刚体动量方程和动量矩方程的推导过程；掌握坐标系的定义、之间的关系、坐标变换法；掌握导弹动量方程和动量矩方程的建立方法；重点掌握导弹质心移动运动方程的推导过程；会运用质心移动的动力学方程分析弹道特性；了解几何关系式的推导过程；第二章导弹运动方程组的建立掌握理想操纵关系式及其物理意义；掌握导弹的纵向和侧向运动的定义，会建立相应的运动方程组；重点掌握“瞬时平衡”假设的内容与实质，会建立导弹作为可控质点的运动方程组；掌握垂直平面运动、水平平面运动的特点，会建立相应的运动方程组。研究对象：导弹非刚体存在弹性变形质量变化可控可操纵(形状变化）在空间的运动非常复杂研究方法：引入“固化原理”视为六自由度刚体在空间的运动§2-1导弹运动的建模基础“固化原理”的实质：每一瞬时，把导弹当作一个质量不变的，在气动力、推力、操纵力作用下的运动刚体来处理。刚体：运动中不发生弹性变形，质量不变的物体。固化原理：在任意研究瞬时，将变质量系的导弹视为虚拟刚体，把该瞬时导弹所包含的所有物质固化在虚拟的刚体上。同时，忽略一些影响导弹的次要因素，如：弹体结构的弹性变形、哥氏惯性力、变分力等。

在理论力学中，将自由刚体在空间的任意运动，看作是由刚体质心的平动和绕质心的转动两个部分所组成的合成运动。一般的研究方法是：利用质心移动的动量定理来研究导弹质心的移动运动。即利用相对于质心转动的动量矩定理来研究导弹相对于质心的转动运动。即运动方程建立时的坐标系的选择：A移动：弹道固连坐标系B转动：弹体坐标系注意：需要考虑相对速度、相对角速度，还需要考虑动坐标系引起的牵连运动。建立运动方程时的假设：1地球为惯性坐标系，忽略自转与公转；2大气相对于地球静止（不考虑风的干扰）；3导弹纵向平面为其对称平面；4导弹质量及其分布不变（每一瞬时）。坐标系的定义：坐标系是量测物体的质心或质点在空间的相对位置，以及物体在空间的相对方位所使用的基准线组。引入坐标系的目的：1确切地描述导弹的运动状态。2研究导弹运动参数的变化规律。§2-2常用坐标系及其变换在研究导弹飞行的时候，常用的坐标系包括：

1.惯性坐标系2.地面坐标系3.弹体坐标系4.速度坐标系5.弹道固连坐标系6.球面坐标系坐标系的选取原则：2对所研究内容方便；3使被描述的导弹的运动方程简单明了、清晰易懂。1正确地描述导弹的运动；1惯性坐标系定义：一、常用坐标系的定义近程导弹飞行力学中，忽略地球的自转和公转，将与地球固连的坐标系看作惯性坐标系。远程导弹飞行力学中，应考虑地球自转，将以地心为原点，坐标轴不随地球自转而转动的坐标系看作惯性坐标系。坐标轴的方向在惯性空间中保持不变的坐标系。即：空间位置不变或作直线运动的坐标系。实际应用时应注意的问题：2直角坐标系定义：又称“笛卡儿坐标系”，轴线互相垂直的坐标系。原点：发射点（发射时导弹质心在地面的投影点）地面坐标系（）轴：在水平面内，指向目标（或目标在地面的投影）为正。轴：轴：与轴垂直，并位于过O点包含的铅垂面内，指向上方为正。与、轴垂直并组成右手坐标系。特点：固连于地球表面，随地球一起转动，可以看作惯性系。由于有翼导弹飞行距离小、飞行时间短，因此可以把地球看作静止的，并把地球表面看作平面，此时可以将地面系看作惯性系。对于近程导弹来说，可以认为重力与Y轴平行，方向相反。地面，取包含发射点的水平面或称切平面。目的：决定飞行器重心移动的规律、空间的姿态、导弹速度方向。基准面：原点：导弹的质心。弹体坐标系（）轴：沿纵轴，指向头部为正。轴：轴：与轴垂直，并位于纵向对称平面内，指向上方为正。与弹体纵向对称平面垂直，并与、轴组成右手坐标系。特点：与弹体固连，相对于弹体不动；动坐标系。目的：决定导弹相对于地面坐标系的姿态；把导弹旋转运动方程投影到该坐标系上，可以使方程式简单清晰。导弹气动力矩三个分量沿此系分解；常用于研究导弹的稳定性和操纵性。原点：导弹的质心。弹道坐标系（）轴：与导弹质心的速度矢量重合。轴：轴：与轴垂直，并位于包含速度矢量的铅垂面内，指向上方为正。位于水平面内，并与、轴组成右手坐标系。特点：随速度改变；动坐标系。目的：研究导弹质心的运动特性。把导弹动力学方程投影到该坐标系上，可以使方程式简单清晰。原点：导弹的质心。速度坐标系（）、风轴系、气流坐标系轴：与导弹速度矢量重合。轴：轴：与轴垂直，并位于弹体纵向对称平面内，指向上方为正。与、轴垂直，并组成右手坐标系。特点：与速度矢量相连，动坐标系。目的：气动力沿此系三轴给出；确定导弹相对于气流的姿态；研究导弹的纵向操稳特性。原点：地心。球面坐标系（）轴：地心O与格林威治子午线与赤道交点的连线。轴：轴：与轴垂直，在赤道平面内，指向东。与平面垂直，指向北极。：O到P的距离。：：OP与OXY平面的夹角。OP在OXY平面的投影与正向OX的夹角。原点：导引站。雷达坐标系（）轴：与雷达波束中心线重合，指向空间某点P（如目标质心）。轴：轴：与轴垂直，位于包含的铅垂平面内。位于水平面内，并与、轴垂直，组成右手坐标系。目的：主要用于遥控制导。1.各坐标系之间存在的共同点和特殊点。2.寻找表达各坐标系之间关系的方法。注意：1地面坐标系和弹道固连系之间的角度关系二、描述各坐标系之间相互关系的几个角度弹道倾角：速度向量与水平面的夹角。速度向量向上时为正，向下时为负。弹道偏角：速度向量在水平面内的投影与地面坐标系轴间的夹角。以轴逆时针转向时为正，反之为负。2速度坐标系和弹道固连系之间的角度关系速度倾斜角：绕着速度坐标系的轴旋转的角度，从弹的尾部看，向右倾斜为正。3速度坐标系和地面坐标系之间的角度关系迎角：速度向量在导弹纵向对称平面上的投影与导弹纵轴或翼弦之间的夹角。纵轴在速度投影的上方时为正，反之为负。侧滑角：速度向量与导弹纵向对称平面之间的夹角。右侧滑为正。3弹体坐标系和速度坐标系之间的角度关系4弹体坐标系和地面坐标系之间的角度关系总结三各坐标系之间的相互关系及坐标变换确定一组直角坐标系相对于另一组直角坐标系的方位。直接投影法、旋转转换法、四元数法。旋转转换法。目的：方法：飞行力学中常用的方法：由上图，将三轴矢量分别投影到的三个轴上，得到：直接投影法：以弹道固连系和地面坐标系之间的关系来说明。首先让两个坐标系重合，然后让其中一个坐标系绕空间不同的轴依次旋转。旋转转换法：下面以弹道固连系和地面坐标系为例加以说明。首先让两个坐标系重合，如图所示，然后再通过旋转求它们之间的关系：第一次旋转：第二次旋转：（1）（2）将（2）代入（1）得两坐标系之间的方向余弦关系：比较直接投影法和旋转转换法的结果可以看出，得出的结论完全一样。速度坐标系与弹道固连系应用同样的方法可以求出其它坐标系之间的关系。由两坐标系的定义知，这两个坐标系只差一个角度，即速度倾斜角。如图所示：经过一次旋转，可以得到两各坐标系之间的方向余弦关系：速度坐标系与地面坐标系它们之间的余弦关系可以利用速度坐标系与弹道固连系间的余弦关系、弹道固连系与地面坐标系之间的余弦关系得到，即：展开之后得到：弹体坐标系与地面坐标系这两个坐标系之间的关系决定了导弹弹体在空间相对于地面坐标系的角位置，即导弹弹体的空间姿态，它由描述这两个坐标系之间相对关系的三个角度来决定，即三个欧拉角。如下图所示：这两个坐标系之间的方向余弦关系为：弹体坐标系与速度坐标系根据这两个坐标系的定义，描述它们的空间关系有两个角度，即迎角、侧滑角。如下图所示：这两个坐标系之间的方向余弦关系为：弹体坐标系与弹道固连系由定义知，两坐标系之间存在三个角度：迎角、侧滑角和速度滚转角。利用旋转变换法，通过三次旋转可以求得这两坐标系之间的方向余弦关系。第一次旋转：绕OX2轴第二次旋转：绕过渡系的OY3轴第三次旋转：绕OZ1轴由以上三个方向余弦关系可以得到弹体坐标系与弹道固连系之间的方向余弦关系：展开得方向余弦矩阵为：以上我们讲了旋转转换法，在进行转换时，应该2在进行一个坐标系到另一个坐标系的旋转转换时，要注意旋转的前后次序和矩阵相乘时的次序，若次序错了，会出现矩阵元素符号的混乱，从而导致错误。1上述的旋转矩阵全部都是正交矩阵，即满足:这个式子同样适用于上述坐标变换。注意以下问题：3注意旋转过程中所得到的角度是否和定义的欧拉角相符合一致。§2-3导弹运动方程组运动方程建立的基础：运动方程建立时坐标系的选择：A移动：弹道固连坐标系B转动：弹体坐标系设矢量在动坐标系三个坐标轴上的投影分量为x，y，z，则有：其中：分别为坐标系三个轴的单位向量

又设为矢量对时间t的绝对导数1、绝对导数与相对导数的关系复习：刚体动量定理与动量矩定理的标量表达式设为与刚体固连的动坐标系相对质心转动的角速度，且分别为在的三个轴上的投影分量，则有：分别代表的三个坐标轴的单位矢量，又设代表刚体的质心移动速度，且分别表示在三个轴上的投影分量，则有：

2、刚体动量方程的标量形式再设为作用在刚体上的合外力在三个坐标轴上的投影分量，则有：3、动量矩方程的标量形式设：在动坐标系上的投影分量为，则有：又设：在动坐标系上的投影分量为，则有：

其中，在不计刚体相对动坐标系三个轴的惯性积的条件下，则有：

为动坐标系，则有速度向量

在

上的投影分量：一、动量方程选弹道固连系在以上基础上推导导弹运动方程组。又设

为

相对地面坐标系的旋转角速度分别投影到的三个坐标轴上，即得：描述导弹质心在空间移动的动量方程为：

二、动量矩方程选弹体固连坐标系为动坐标系，

分别为

相对地面坐标系

的角速度

在

的三个轴上的投影分量，

可得导弹绕质心转动的动量矩方程：1)．质心移动的动力学方程三导弹运动方程组的建立1.动力学方程弹道特性分析2)．绕质心旋转的动力学方程作用在导弹上的力矩：1.力矩一般在弹体坐标系中表示：ox1y1z12.作用在导弹上的力矩：力矩M分为三个方向，沿ox1、oy1、oz1三轴分别表示为，Mx1、My1、Mz1俯仰力矩偏航力矩滚转力矩1)．质心移动的运动学方程（位移与速度之间的关系）2.运动学方程2)．绕质心转动的运动学方程(姿态角和角速度之间的关系）设相对

的角速度为，

则其角速度可看作是由

经绕

的不同轴三次旋转而得出注意：在某些情况下，上述方程会发生奇异。3.质量方程为燃料的质量秒消耗量。4.几何关系独立变量：5个非独立变量：3个，可以用以上5个独立变量来表示所以，存在三个几何关系式。求解几何关系式的方法：假设为独立变量，用它们来表达坐标系间的方向余弦关系弹体系——地面系弹道系——地面系弹道系——速度系弹体系——速度系速度系——地面系弹道系——弹体系数学公式利用A数学公式任何两条空间直线的夹角的余弦，等于它们分别与参考系各轴夹角余弦的乘积之和。选地面坐标系作为参考系，则上式可以表示成：若用表示过原点的两条直线之间夹角的余弦，同时视作视作2利用方向余弦关系建立几何关系式用来表达视作采用上述几何关系，只能确定的数值，无法确定、所在的象限。我们可以从坐标系之间的相对旋转关系中来找，这样只要知道了它们的初值，就可以逐步积分来计算、设表示弹体坐标系相对地面坐标系的旋转角速度，其在弹体坐标系上的投影分别为又设速度坐标系相对地面坐标系的旋转角速度为，其在速度坐标系上的投影分别为

的表达式推导：再设弹体坐标系相对速度坐标系的旋转角速度为，则有，，在速度坐标系上的投影为由(b)中第1、3式可得用（c）代入（d）,得投影到速度坐标系上，则有再用（a）代入(e)，最后得到迎角的变化率同时，我们还能得到：几种特殊情况下的几何关系式：无侧滑无滚转飞行无侧滑零迎角飞行水平面内无滚动小迎角机动飞行5.操纵关系方程式A引入操纵方程的原因：无控弹可控导弹B操纵飞行原理1、作用在导弹上的力与力矩与操纵飞行的关系2、操纵飞行的过程瞬时运动参数要求运动参数操纵机构工作迎角侧滑角等变化而原速度方向不变姿态变化对质心产生力矩舵面偏转作用在舵面上气动力发生变化控制系统产生信号弹体旋转作用在弹上的合外力/力矩发生变化速度变化姿态变化运动参数变化（给定）3、轴对称导弹操纵原理俯仰运动：改变升降舵偏转角，改变迎角，改变升力的大小和方向，改变推力的法向分量偏航运动：改变方向舵偏角，改变侧滑角，改变侧向力大小和方向，推力的法向分量改变4、面对称导弹的操纵原理俯仰运动：改变升降舵偏转角，改变迎角，改变升力的大小和方向，改变推力的法向分量偏航运动：差动副翼，产生滚转力矩，弹体倾斜，升力在Z2方向上的分量改变，航向改变。B操纵关系方程：1、取决于控制系统的类型和结构与目标运动有关；一旦确定，加在导弹运动上的约束也即确定，则弹道取决于初始条件和目标的运动。2、一般形式制导系统误差=实际值-要求值误差参数包括：姿态、速度、高度、位置等参数主要（基本）操纵关系式辅助操纵基本关系式理想情况下，系统无误差工作，即上式为理想操纵关系方程。导弹保持等速直线飞行时，有面对称导弹在水平面内进行等速倾斜转弯（盘旋）时,有：以上20个方程，包含的20个未知数。§2-4导弹运动方程组的简化与分解1简化的原因2简化的原则实际计算中，方程组远远超过20个不同飞行阶段受力不同，应分阶段建立工程初步设计的需要保证精度问题简化一、纵向运动和侧向运动1纵向运动A纵向运动独立存在的条件（假设）：导弹在某一铅垂平面内运动控制系统具有理想的倾斜稳定系统定义：是指导弹某些运动参数恒为零的运动。导弹必须有纵向对称平面运动过程中，不破坏运动的对称性（无偏航、滚转操纵、无干扰）地面系OX轴选在飞行平面内铅垂平面纵向对称平面飞行平面若选方向在飞行平面内C特殊的角度B纵向运动的特点：三面合一D纵向运动的分解：质心在对称面（飞行平面）内的平移运动+绕OZ1轴的旋转运动E纵向运动参数：F纵向运动方程去掉描述侧向参数的运动方程，且令侧向运动参数恒等于零。2侧向运动A定义：B侧向运动=质心沿OZ1轴的平移运动+绕OX1、OY1轴的旋转运动C侧向运动参数：侧向运动参数随时间变化的运动。在纵向运动中等于零的参数。D侧向运动方程它包含了一些纵向运动参数，因此，求解时，必须先解纵向运动方程，得到纵向运动参数，然后代入侧向运动方程进行求解注意：侧向运动不能独立求解。3将导弹的一般运动分解为纵向运动和侧向运动分解条件对阻力的影响。2）飞行器基本上在某个铅垂平面内飞行（飞行弹道与铅垂平面内弹道差别不大），在相对目标运动的方程中，可以去掉飞行器和目标的航向角等侧向参数。1）侧向运动参数及舵偏角都比较小，这样且略去小量的乘积以及参数3）俯仰操纵机构的偏转仅取决于纵向运动参数，偏航、滚转操纵机构的偏转仅取决于侧向运动参数。可以令二、导弹的平面运动（一）为什么要研究平面运动1平面运动作为一段弹道是经常出现的2有些导弹在运动过程中，几乎都可以近似地认为在同一个平面内运动导弹平面运动垂直平面运动水平平面运动倾斜平面运动（二）垂直平面运动1定义：导弹的运动轨迹保持在某一个铅垂平面内。2特点：速度方向始终处于铅垂平面内，此时弹道偏角为常量。3运动参数：4与纵向运动的关系：纵向运动是铅垂平面运动的特例。5运动方程组（三）水平平面运动1运动分析A速度向量始终处于水平面内，只在水平面内运动。产生法向力与重力平衡。B导弹纵轴不在水平面内。有以下几种产生侧向力的方法：C水平面内转弯需要产生弹道偏角、侧向力轴对称导弹，无倾斜的侧滑产生面对称导弹，无侧滑的倾斜产生发动机推力产生一定的分量既倾斜又侧滑2运动参数及运动方程组A利用侧滑产生侧向力的情况方程B利用倾斜产生侧向力的情况方程§2-5导弹的质心运动1瞬时平衡假设A控制系统理想工作、无误差无时间延迟目的：使导弹运动参数的变化无误差要求：控制系统内部一整套电器和机械系统的运动，直到舵面偏转都要在同一瞬时完成，无误差、无时间延迟、各部件运动无惯性实际情况：从控制系统发出指令到舵偏角变化之间存在延迟和误差从舵偏角产生到绕某坐标轴的转动之间存在延迟和误差从绕某坐标轴的转动到力、力矩的改变之间存在延迟和误差从力、力矩改变到运动参数改变之间存在延迟和误差假设的实质：忽略了运动参数改变的过渡过程；忽略了控制系统工作的过渡过程；忽略了操纵机构偏转的过渡过程；操纵关系方程：理想操纵关系方程。假设隐含的意义：操纵机构运行时（控制系统）过渡过程时间为零。B忽略旋转惯量目的：忽略旋转运动要求：假设的实质：忽略操纵机构偏转后飞行器绕弹体轴旋转的过渡过程。AB假设的实质就是认为在整个有控飞行期间，导弹在任何瞬时都处于力矩平衡状态，即所谓“瞬时平衡”假设假设隐含的意义：操纵机构偏转时，参数瞬时达到平衡值。C忽略导弹旋转角速度对力矩的影响目的：使导弹只在恢复力矩和操纵力矩的作用下处于平衡状态。假设的实质：忽略操纵机构偏转后飞行器绕弹体轴旋转的过渡过程。俯仰方向：D忽略各种随机干扰对导弹的影响。偏航方向：基于上述假设，便可以将导弹的质心运动和绕质心的转动分开来研究，于是可以得到将导弹作为可控质点的运动方程组。2导弹质心运动方程组13个未知数，13个方程，方程组封闭，可解。方向舵升降舵速度方向副翼倾斜稳定发动机节气阀偏角速度大小1可操纵力和不可操纵力操纵飞行的概念：改变导弹飞行速度的大小和（或）方向。操纵飞行的原理：力学定律法向力切向力速度方向速度大小第一部分过载的概念§2-6过载作用在导弹上的力可操纵力：可随我们意志改变的力不可操纵力：不能随意志改变的力气动力推力重力干扰力机动性：评定导弹飞行性能的重要指标之一。指导弹在单位时间内改变其飞行速度大小和方向的能力。机动性取决于可操纵力的合力用下式表示：将分解为沿弹道切线方向的力（切向力）和垂直于切线方向的力（法向力）切向力:法向力:：切向操纵力，与速度方向一致，其大小反映了速度大小的改变速度，标志着改变速度大小的能力。

：法向操纵力，垂直于速度方向，其大小反映了速度方向变化的速度，标志着改变速度方向的能力。

直线飞行；弹道向上弯曲的曲线飞行，即向上飞行；弹道向下弯曲的曲线飞行，即下降飞行。等速飞行；加速飞行；减速飞行。

相应地，重力也可以分解为法向和切向两个部分：

分析力与运动的关系如下：过载：作用在导弹上除重力之外的所有外力的合力与导弹重量的比值。或者，作用在导弹上的可操纵力与重量的比值。过载的特性：是向量是机动性的指标，过载越大，机动性越好是弹体强度设计和控制系统设计的重要数据可以分为切向过载和法向过载大小表明是重量的几倍方向与可操纵力一致过载的用途：可明显地表明运动弹道和飞行特性2过载1在弹道固连系上的投影利用导弹运动的动力学方程，很容易能得到过载矢量在弹道固连系OX2Y2Z2三轴上的投影如下：第二部分过载矢量的投影2在速度坐标系上的投影利用速度坐标系和弹道固连系的相互空间关系知，若令，这两个坐标系便重合，由此得到过载在速度坐标系各轴上的投影为：比较过载在速度系和弹道固连系上的投影，可以看出它们具有以下关系：反之有：注意：当飞行器作无倾斜飞行时，，相应的投影彼此相等。3在弹体固连系上的投影过载在弹体坐标系上的投影可以用于计算飞行器的强度。利用弹体坐标系和速度坐标系之间的方向余弦和弹体坐标系和弹道固连系之间的方向余弦，就可以得到过载在弹体坐标系各轴上的投影：4几种过载的定义切向过载：过载沿飞行速度方向的投影，它表征导弹改变速度大小的能力。例如和法向过载：过载矢量沿与飞行速度方向垂直的方向的投影。例如和,和，它们表示导弹在俯仰和偏航方向的机动能力。导弹的机动性用切向过载和法向过载来评定，切向过载越大，导弹速度改变的越快；法向过载越大，在相同速度下导弹改变飞行方向的能力越强。纵向过载：过载沿纵轴方向的投影，例如横向过载：过载矢量的投影与纵轴垂直，称为横向过载。侧向过载：过载矢量的投影也与纵轴垂直，称为侧向过载。第三部分过载与运动导弹质心移动的动力学方程由在弹道固连系上的过载投影表示的质心移动方程为：设：弹道的切向加速度:弹道的法向加速度:显然，前面的方程也给出了加速度与过载之间的关系。另外，还可以得到以下方程：由此方程可以看出：1）过载在弹道系各轴上的投影表征着改变飞行速度大小和方向的能力。2）若已知速度的大小和方向以及变化规律，则可以求出对应的过载来。由过载在速度坐标系上的投影表示的方程式为：第四部分飞行弹道特性和过载投影大小之间的关系首先来看以下方程:（速度的大小和方向）由以上方程可以看出:导弹作等速飞行；导弹作减速飞行；导弹作加速飞行。1导弹的速度特性2若导弹作铅垂平面运动弹道在该点处曲率为零弹道是向上弯曲的曲线弹道是向下弯曲的曲线3导弹作水平平面运动弹道在该点的曲率为零弹道是向左弯曲的曲线弹道是向右弯曲的曲线4几种特殊的弹道与过载之间的关系铅垂平面运动:水平平面运动:空间直线飞行:水平直线飞行:等速直线飞行:水平等速直线飞行:第五部分法向过载与弹道曲率半径的关系铅垂平面内：水平平面内：第六部分法向过载与迎角、侧滑角及操纵机构的关系假设导弹绕弹体轴的旋转无惯性，即：忽略飞行中随机干扰对导弹影响；复习瞬时平衡假设的内容：假设控制系统理想工作，无误差、无时间延迟；忽略导弹旋转角速度对力矩的影响；在瞬时平衡假设的前提条件下，认为导弹在飞行中的每一瞬时，气动力矩与操纵力矩平衡，即：假定在一定的飞行迎角和侧滑角下，飞行器具有线性空气动力学特性，则有：（1）式中的、(2)式中的是当迎角和舵偏角为零时，产生的俯仰力矩和升力，这是由于飞行器的气动力不对称所产生的升力和力矩。当迎角和侧滑角较小时，过载在速度坐标轴上的投影，可以近似表达成以下形式：(1)(2)由（1）式可得：将（4）、（2）两式代入（3）式，并忽略脚注3，用脚注ph表示平衡状态的值，可得：(3)(4)式中：结论：由推导过程可见，在飞行速度和飞行高度给定的情况下，作用在飞行器上的法向过载取决于迎角、侧滑角。若从表达式中消去迎角和侧滑