平稳性与功率谱密度

平稳性与功率谱密度第一页，共九十二页，2022年，8月28日问题平稳和非平稳的含义是什么？现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关系？严格平稳与严格循环平稳有什么关系？2023/2/52第二页，共九十二页，2022年，8月28日目录3.1平稳性与联合平稳性3.2循环平稳性3.3平稳信号的相关函数3.4功率谱密度与互功率谱密度3.5白噪声与热噪声3.6应用举例2023/2/53第三页，共九十二页，2022年，8月28日3.1平稳性与联合平稳性

平稳性（Stationarity）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。包括严平稳与宽平稳。严平稳又称为狭义平稳或强平稳，宽平稳又称为广义平稳或弱平稳。2023/2/54第四页，共九十二页，2022年，8月28日严格平稳信号的定义2023/2/55第五页，共九十二页，2022年，8月28日严格平稳信号的理解一个随机信号X(t)，如果它的n维概率密度（或n维分布函数）不随时间起点选择的不同而改变，则该随机信号为平稳的平稳信号的统计特性与所选取的时间起点无关，或者说平稳信号的统计特性不随时间的推移而变化2023/2/56第六页，共九十二页，2022年，8月28日广义平稳信号的定义2023/2/57第七页，共九十二页，2022年，8月28日非平稳信号不是广义平稳的信号统计量随时间变化的信号（时变信号）2023/2/58第八页，共九十二页，2022年，8月28日平稳信号和非平稳信号举例接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30ms时段内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处理问题。将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。2023/2/59第九页，共九十二页，2022年，8月28日语音信号接收机噪声信号2023/2/510第十页，共九十二页，2022年，8月28日严格平稳与广义平稳的关系

如果广义平稳信号是高斯信号，则也是严格平稳信号。独立同分布的信号必定是严格平稳信号。关于离散随机信号（或离散序列）的平稳性问题，只需要将连续时间变量t换为离散时间n即可。严格平稳要求全部统计特性都具有移动不变性，而广义平稳只要求一、二阶矩特性具有移动不变性。2023/2/511第十一页，共九十二页，2022年，8月28日严格平稳信号的性质（1）X(t)的一阶分布、密度函数和均值都与时间无关

F(x;t)=F(x;t+u)=F(x)

f(x;t)=f(x;t+u)=f(x)E[X(t)]=m(t)=m(t+u)=常数（2）X(t)的二维分布和密度函数与两个时刻(t1,t2)的绝对位置无关，只与它们的相对差τ=t1-t2有关

F(x1,x2;t1,t2)=F(x1,x2;t1+u,t2+u)=F(x1,x2;τ,0)=F(x1,x2;τ)

f(x1,x2;t1,t2)=f(x1,x2;t1+u,t2+u)=f(x1,x2;τ,0)=f(x1,x2;τ)R(t1,t2)=R(t1+u,t2+u)=R(τ,0)=R(τ)只关注两个参量(t1,t2)的相对差，而绝对位置可以任意移动，其中τ=t1-t2为核心变量，有文献称为时滞。2023/2/512第十二页，共九十二页，2022年，8月28日一阶密度函数平稳性示例相关函数的平稳性示例2023/2/513第十三页，共九十二页，2022年，8月28日证明：如果高斯信号X(t)是广义平稳的，则其均值为常数m，协方差满足平移不变性，即C(s,t)=C(s+τ,t+τ)。高斯信号的特征函数为对于任何τ

，有故该信号是严格平稳的。定理3.1广义平稳的高斯信号必定是严格平稳的。2023/2/514第十四页，共九十二页，2022年，8月28日解：由独立性，有上式与各个参量ti本身无关，也与这组参量的平移无关，故U(t)是严格平稳信号。2023/2/515第十五页，共九十二页，2022年，8月28日解：根据各个信号的均值、相关函数及概率特性，容易得出：(1)伯努利信号是严格平稳信号，也是广义平稳信号；(2)随机正弦信号（该例条件下）是广义平稳信号；(3)半随机二进制传输信号与泊松信号是非平稳的。例3.2试说明2.2节各例的平稳性。2023/2/516第十六页，共九十二页，2022年，8月28日2023/2/517第十七页，共九十二页，2022年，8月28日解：Y(t)的均值和相关函数分别为：由于Y(t)的均值为零，相关函数仅与τ有关，故Y(t)是广义平稳的。2023/2/518第十八页，共九十二页，2022年，8月28日补充例1设随机过程X(t)=At，A为均匀分布于[0,1]上的随机变量，试问X(t)是否平稳？解：因为其中a为随机变量A的样本,可见不是平稳的。2023/2/519第十九页，共九十二页，2022年，8月28日补充例2解：因为设随机变量Z(t)=Xcost+Ysint,-∞<t<∞，其中X和Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3和1/3取值-1和2。讨论随机过程X(t)的平稳性。式中τ=t1-t2，可见Z(t)是广义平稳过程。2023/2/520第二十页，共九十二页，2022年，8月28日又因为即Z(t)的三阶矩与时间t有关，故Z(t)不是严格平稳过程。2023/2/521第二十一页，共九十二页，2022年，8月28日补充例3解：X(k)的数学期望和相关函数分别为：显然X(k)为广义平稳。2023/2/522第二十二页，共九十二页，2022年，8月28日又因为X(k)在各个时刻的分布相同且相互独立，故其n维密度函数为：上式说明X(k)的n维概率密度与时间平移（按整数间隔平移）无关，所以X(t)也是狭义平稳的。2023/2/523第二十三页，共九十二页，2022年，8月28日联合平稳性

2023/2/524第二十四页，共九十二页，2022年，8月28日解：因为故输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。注意：如果振荡不是随机相位，则输出信号可能不是平稳的，输入与输出信号不会正交，也不会联合广义平稳。2023/2/525第二十五页，共九十二页，2022年，8月28日3.2循环平稳性

2023/2/526第二十六页，共九十二页，2022年，8月28日2023/2/527第二十七页，共九十二页，2022年，8月28日平稳性与循环平稳性的关系

严格平稳过程可以看作严格循环平稳过程，其循环周期可以是任意值；严格循环平稳过程通过其在循环周期内均匀滑动后，变为严格平稳过程。2023/2/528第二十八页，共九十二页，2022年，8月28日解：（1）故X(t)是广义循环平稳过程，但不是广义平稳过程。例3.5半随机二进制传输过程X(t)，讨论其循环平稳性。半随机二进制传输信号：{X(t)=2Xn-1,(n-1)T≤t≤nT,t≥0},X(t)的均值m(t)=p-q为常数。其相关函数为R(t1+kT,t2+kT)=4pqδ([(t1+kT)/T]-[(t2+kT)/T])+1-4pq=4pqδ([t1/T]-[t2/T])+(k-k)+1-4pq=R(t1,t2)2023/2/529第二十九页，共九十二页，2022年，8月28日（2）由于不同时隙上的取值彼此统计独立并具有相同的分布，该联合事件的概率取决于观察时刻之间的相对关系。任取观察时刻组t1,t2,…,tn∈(-∞,∞)和周期T，t1＋T,t2＋T,…,tn＋T∈(-∞,∞)，有故X(t)是严格循环平稳过程。2023/2/530第三十页，共九十二页，2022年，8月28日乘法调制器理想乘法调制器模型为：实际乘法调制器模型为：D与X(t)统计独立，且在[0,2π/w0)上均匀分布2023/2/531第三十一页，共九十二页，2022年，8月28日2023/2/532第三十二页，共九十二页，2022年，8月28日解：Y(t)的均值与相关函数为：mY(t)的周期是2π/w0，RY(t+τ,t)的周期是π/w0，因此Y(t)是广义循环平稳信号，周期为2π/w0。2023/2/533第三十三页，共九十二页，2022年，8月28日Y(t)经过[0,2π/w0]上均匀的随机滑动D以后得到Z(t)，Z(t)=Y(t-D)，由定理3.3知道，Z(t)是广义平稳的。2023/2/534第三十四页，共九十二页，2022年，8月28日3.3平稳信号的相关函数

性质1若{X(t),t∈T}是实平稳信号，则相关函数满足：（1）实偶函数，即R(τ)=R(-τ)；（2）在原点处非负并达到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，则R(τ)是周期为τ1的周期函数，这时称X(t)为周期平稳信号；（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1与τ2是不公约的，则R(τ)为常数；（5）若R(τ)在原点处连续，则它处处连续。2023/2/535第三十五页，共九十二页，2022年，8月28日（1）R(τ)是实偶函数，即R(τ)=R(-τ)；证明：奇偶性2023/2/536第三十六页，共九十二页，2022年，8月28日（2）在原点处非负并达到最大，即|R(τ)|≤R(0),R(0)=E[X2(t)]≥0；证明：令τ=t1-t2,由柯西-施瓦兹不等式，非负性2023/2/537第三十七页，共九十二页，2022年，8月28日（3）若R(τ1)=R(0)，τ1≠0，则R(τ)是周期为τ1的周期函数，这时称X(t)为周期平稳信号；证明：令Z=X(t+τ+τ1)-X(t+τ),W=X(t)经过化简，得到周期性当R(τ1)=R(0)时，有R(τ+τ1)=R(τ)。因此R(τ)以τ1为周期。2023/2/538第三十八页，共九十二页，2022年，8月28日（4）若R(τ1)=R(τ2)=R(0)，τ1≠0，τ2≠0，且τ1与τ2是不公约的，则R(τ)为常数；证明：R(τ)既以τ1为周期，又以τ2为周期，而τ1与τ2是不公约的，因此R(τ)只能是常数。R(τ)为常数2023/2/539第三十九页，共九十二页，2022年，8月28日连续性（5）若R(τ)在原点处连续，则它处处连续。证明：令τ1＝Δτ，若R(τ)在原点处连续，则R(0)有界，并且根据极限性质，2023/2/540第四十页，共九十二页，2022年，8月28日平稳过程的自相关函数曲线02023/2/541第四十一页，共九十二页，2022年，8月28日2023/2/542第四十二页，共九十二页，2022年，8月28日补充例4

设为一实随机过程的自相关函数。证明若对应于某一个，有，则必为周期性的。2023/2/543第四十三页，共九十二页，2022年，8月28日证明：

根据切比雪夫不等式,可得：2023/2/544第四十四页，共九十二页，2022年，8月28日根据概率的定义有：故有：即：2023/2/545第四十五页，共九十二页，2022年，8月28日于是得到为周期过程，为周期。并且进一步有：因此证明是以为周期的周期函数。2023/2/546第四十六页，共九十二页，2022年，8月28日性质2若{X(t),t∈T}是平稳信号，则

C(τ)=R(τ)-m2,σ2=R(0)-m2性质3若{X(t),t∈T}与{Y(t),t∈T}是联合平稳信号，则

RXY(-τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)-mXmY2023/2/547第四十七页，共九十二页，2022年，8月28日①若信号X(t)中含有平均分量（均值），则R(τ)将含有固定分量。R(τ)=C(τ)+m2说明了这点。②若信号X(t)含有周期分量，则R(τ)将含有同样周期的周期分量。周期特性说明如下：③若信号X(t)中不含有任何周期分量，则随机变量X(t1)与X(t2)的关联程度会随着间距的增大而逐渐减小,直至无关。“信号依均方意义（依概率1）呈周期性”的充要条件是“R(τ)是周期函数”，这种信号称为周期平稳信号。2023/2/548第四十八页，共九十二页，2022年，8月28日④使用ρ(τ)与ρXY(τ)表示关联性，|ρ(τ)|≤

ρ(0)=1定义相关时间τ0，使得τ≥τ0以后，|ρ(τ)|≤

ρ0，其中ρ0通常定为0.05。有时用矩形等效形式来定义相关时间。2023/2/549第四十九页，共九十二页，2022年，8月28日性质4实际应用中的非周期平稳信号，一般都满足

等价于2023/2/550第五十页，共九十二页，2022年，8月28日解：信号X(t)常被视为两个平稳信号U(t)和V(t)之和，U(t)和V(t)的自相关函数分别为：RU(τ)=100e-10|τ|+100,RV(τ)=100cos10τU(t)是X(t)的非周期分量。例3.7工程应用中某一平稳信号X(t)的自相关函数为：RX(τ)=100e-10|τ|+100cosτ+100。试估计其均值、均方值和方差。2023/2/551第五十一页，共九十二页，2022年，8月28日V(t)是周期分量，可以认为此分量的均值mV=0。故所以X(t)的均值为±10，均方值为300，方差为200。2023/2/552第五十二页，共九十二页，2022年，8月28日

3.4功率谱密度与互功率谱密度

信号的能量与功率：物理意义：电路中的电流或电压信号，在单位电阻（1欧姆）上消耗的能量或功率。2023/2/553第五十三页，共九十二页，2022年，8月28日信号有两种类型：（1）能量型信号：能量有限，功率为0；（2）功率型信号：功率有限，能量为无穷。考察信号的能量或功率沿w轴的密度状况，即，考虑给定频率处，单位带宽上所具有的能量或功率，对应于能量谱密度和功率谱密度。信号的两种类型2023/2/554第五十四页，共九十二页，2022年，8月28日能量谱密度和功率谱密度能量型信号：能量谱密度为|X(jw)|2，物理意义：表示能量沿频率轴的密度函数。功率型信号：功率谱密度为XT(jw)是截断信号XT(t)的傅立叶变换。2023/2/555第五十五页，共九十二页，2022年，8月28日频谱密度、能量谱密度及功率谱密度的关系频谱密度：频谱密度简称频谱，等于信号的Fourier变换，表示各频率分量的相对大小。为了方便比较不同频点频谱的相对大小，引入频谱密度的概念。能量谱密度：对于能量有限的信号，某频点处的单位频带中的信号能量称为能量谱密度，它在全频带的积分等于信号能量。能量谱密度为信号傅里叶变换X(jw)的模的平方。功率谱密度：对于功率有限的信号，某频点处的单位频带中信号的功率称为功率谱密度，它在全频带的积分等于信号的功率。功率谱密度由信号自相关函数的傅里叶变换求得。2023/2/556第五十六页，共九十二页，2022年，8月28日物理意义：表示功率沿w轴的密度状况，其总和是总功率。功率的时域和频域积分形式2023/2/557第五十七页，共九十二页，2022年，8月28日对于随机信号，其功率可先考虑某个样本函数，再进行统计平均。因为随机信号几乎总是功率型的，因此，只考虑功率与功率谱密度。2023/2/558第五十八页，共九十二页，2022年，8月28日考虑样本函数X(t,ξ)，定义样本功率和样本功率谱。它们都是随机的，显然如果X(t)是平稳信号，则P=E[X2(t)]=R(0)2023/2/559第五十九页，共九十二页，2022年，8月28日定理3.4维纳－辛钦（Wiener-Khintchine）定理平稳随机信号的功率谱密度S(w)是其自相关函数R(τ)的傅里叶变换。2023/2/560第六十页，共九十二页，2022年，8月28日2023/2/561第六十一页，共九十二页，2022年，8月28日解：X(t)的均值为0，相关函数为故X(t)为广义平稳信号，功率谱为：由功率谱知，它是正的实偶函数，信号的全部功率集中在w0处。例3.8设正弦信号X(t)=Acos(w0t+Θ)，求它的功率谱。假设A与Θ独立，Θ在[0,2π)均匀分布，且E[A2]=2σ2。2023/2/562第六十二页，共九十二页，2022年，8月28日与确定信号不同的是，随机信号的频域分析主要是考察它的功率谱，而非信号谱。2023/2/563第六十三页，共九十二页，2022年，8月28日相位的不确定性，使X(t)的傅里叶变换是随机的。其统计平均为0，互相关函数为(1/2)cosw0τ,故X(t)是广义平稳的，其功率谱密度为虽损失了相位特性，但有效给出了信号成分的分布。平稳随机信号的傅里叶变换是随机的谱函数，但是功率谱密度是一个确定的谱函数。通过功率谱可以更加明确地说明随机信号各频率成分的含量。2023/2/564第六十四页，共九十二页，2022年，8月28日解：首先进行分解利用公式均方值为R(0)=7/24。自相关函数为：例3.9已知平稳随机信号X(t)的功率谱S(w)=(w2+4)/(w4+10w2+9)，求其自相关函数与均方值。2023/2/565第六十五页，共九十二页，2022年，8月28日性质1平稳信号的功率谱总是正的实偶函数，即SX(-w)=SX(w)>0。分析下面两式是否是功率谱的表达式。由于上式可能为虚数，不是正确的功率谱表达式。又如，1-e[-(w-1)2]可能为负数，也不是偶函数，因此也不是正确的功率谱表达式。2023/2/566第六十六页，共九十二页，2022年，8月28日RX(τ)与SX(w)都是实偶函数，只需关心ejwτ的实部，相关函数和功率谱的关系可以表示为：2023/2/567第六十七页，共九十二页，2022年，8月28日鉴于偶函数的特点，应用中经常使用单边功率谱，表示为：2023/2/568第六十八页，共九十二页，2022年，8月28日互功率谱密度互功率谱通常是复函数，反映了两个信号的关联性沿w轴的密度状况。2023/2/569第六十九页，共九十二页，2022年，8月28日（1)两种互功率谱的实部相同，而虚部反号；（2)实信号的互相关函数为实函数，因此，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。

性质2互功率谱具有对称性。2023/2/570第七十页，共九十二页，2022年，8月28日解：由于X(t)与Z(t)独立，且Z(t)是零均值的，因此它们正交。例3.10讨论（加性）单频干扰。若实平稳信号X(t)受到加性的独立随机正弦分量Z(t)=Acos(w0t+Θ)的干扰。已知A,w0为常数，Θ是在[0,2π)上均匀分布的随机变量。求（1）受扰后信号Y(t)的相关函数；（2）信号X(t)与Y(t)是否联合平稳？若是，进一步求功率谱SY(w)与互功率谱SXY(w)。2023/2/571第七十一页，共九十二页，2022年，8月28日对于Y(t)=X(t)+Z(t),E[Y(t)]=mX正交项使得交叉项为0故X(t)和Y(t)为联合平稳信号。2023/2/572第七十二页，共九十二页，2022年，8月28日通过傅里叶变换得到从Y(t)的功率谱中可以看到单频干扰成分w0。2023/2/573第七十三页，共九十二页，2022年，8月28日3.5白噪声与热噪声

2023/2/574第七十四页，共九十二页，2022年，8月28日白噪声通常均值为零，因此C(τ)=R(τ)。相关系数为：白噪声有时也通俗地称为“纯随机的”：（1）无限带宽的理想随机信号（2）功率（即方差）为无穷大（3）而不同时刻上彼此不相关2023/2/575第七十五页，共九十二页，2022年，8月28日若白噪声的每个随机变量都服从高斯分布，则称其为高斯白噪声（信号）（WGN,WhiteGaussianNoise）。它是无关信号，也是独立信号，代表信号“随机性”的一种极限。如果平稳序列对所有m满足或者则该序列是白噪声序列。高斯白噪声序列是独立序列。2023/2/576第七十六页，共九十二页，2022年，8月28日例3.11若N(n)是方差为σ2的零均值高斯白噪声序列，试求：（1）它的相关函数R[n1,n2]与协方差函数C[n1,n2]；（2）它的n维概率密度函数。解：相关函数和协方差函数为因为N(n)是独立同分布的，其n维概率密度函数为2023/2/577第七十七页，共九十二页，2022年，8月28日3.6应用举例

解：由欧拉公式，有当且仅当ΦΘ(1)=0时，E[X(t)]=0(常数)。例3.13讨论随机相位正弦信号的广义平稳条件。正弦随机信号X(t)=Acos(w0t+Θ)，其中随机变量A的均值为mA，方差为σA2，Θ的特征函数为Φθ(v)，Θ与A统计独立。讨论X(t)的广义平稳性。2023/2/578第七十八页，共九十二页，2022年，8月28日当且仅当ΦΘ(2)=0时，上式为0。2023/2/579第七十九页，共九十二页，2022年，8月28日随机相位正弦信号广义平稳的充要条件是：此时当有2