山西省运城市第五中学高二数学理期末试卷含解析

山西省运城市第五中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．2.方程表示的曲线是（）A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆参考答案：A略3.等差数列{an}的前n项为Sn，若公差d=﹣2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意求出等差数列的首项，得到等差数列的通项公式，再由通项大于等于0求得n值．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由d=﹣2，S3=21，得3a1+3d=21，∴a1+d=7．∴a1=7﹣d=9．则an=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．由an=11﹣2n≥0，得，∵n∈N*，∴n≤5．即数列{an}的前5项大于0，自第6项起小于0．∴当Sn取得最大值时，n的值为5．故选：D．4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A．在区间上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数

D．当时，取极大值

参考答案：C略5.设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（

）（A）和的相关系数为直线的斜率（B）和的相关系数在0到1之间（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点参考答案：D略6.某几何体的三视图如右图所示，它的体积为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）

A．种

B．种

C．种

D．种

参考答案：A略8.己知等差数列和等比数列满足：，且，则(

)

A.9

B.12

C.l6

D.36参考答案：D略9.下列语句是命题的是（

）A．这是一道难题

B．0.5是整数

C．

D．指数函数是增函数吗？

参考答案：B略10.关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

B．(－1,3)C．(1,3)

D．(－∞，1)∪(3，＋∞)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是________．参考答案：12.下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），计算它的体积为

cm3.参考答案：13.已知x1，x2是关于x的方程x2－ax＋a2－a＋＝0的两个实根，那么的最小值为_______，最大值为________．参考答案：0,14.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_________参考答案：略15.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则…的值为

参考答案：16.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的标准差为．参考答案：【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图先求出该组数据的平均数，再求出该组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．【解答】解：由茎叶图知该组数据的平均数为：=（14+17+18+18+20+21）=18，方差S2=[（14﹣18）2+（17﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（21﹣18）2]=5，∴该组数据的标准差为S=．故答案为：．17.已知向量，在方向上的投影是____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．参考答案：(1)的递增区间为，递减区间为．(2)最大值，最小值．分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．19.已知函数．（Ⅰ）当a=﹣1，b=﹣2时，求证：f（x）在（0，2）上是减函数；（Ⅱ）若对任意的实数a，都存在x∈[1，2]，使得|f（x）|≤1成立，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据定义即可证明，（Ⅱ）对任意的实数a，存在x∈[1，2]，使得|f（x）|≤1成立?对任意的实数a，存在x∈[1，2]，使得成立?，分别构造函数，分类讨论即可求出．【解答】解：（Ⅰ）设任意x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，，，∴任意x1，x2∈（0，2）且x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，2）上是减函数，得证．（Ⅱ）对任意的实数a，存在x∈[1，2]，使得|f（x）|≤1成立?对任意的实数a，存在x∈[1，2]，使得成立?．设，①当b≤0时，，则②当时，，则③当时，，则④当时，，则综上，所求实数b的范围是b≤﹣2或b≥620.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出直线l及曲线C的直角坐标方程（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|?|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程，并说明轨迹是什么图形．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l的直线参数方程，直线l与曲线C联立方程组，通过|MA|?|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），∴直线l的倾斜角为，且经过原点，故直线的直角坐标方程为y=x，∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为．（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为l1：，由直线l1与曲线C相交可得：+，∵|MA|?|MB|=，∴||=，即：，∴点M轨迹的直角坐标方程x2+2y2=6，表示一椭圆．取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得﹣故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线y=x之间的两段弧．21.现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为x+10（若x+10>100.则取x+10为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义X为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.（I）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）（Ⅱ）求X的分布列和数学期望.参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（I）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可;（Ⅱ）由题意先写出随机变量X的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望.【详解】（I）由已知，预测高三的6次考试成绩如下：

第1次考试第2次考试第3次考试第4次考试第5次考试第6次考试甲7886899698100乙8185929496100

甲高三的6次考试平均成绩为，乙高三的6次考试平均成绩为所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91.（Ⅱ）因为X为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，所以X=0，1，2，3所以，，，.所以的分布列为0123

所以【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型.22.（本小题满分14分）动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆的圆心是曲线上的点,圆与轴交于两点，且.

（1）求曲线的方程；

（2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.参考答案：（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识,

考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

(1)解法1:设动点的坐标为,依题意,得,

即,

……2分

化简得:,

∴曲线的方程为.

……4分

解法2:由于动点与点的距离和它到直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.

……2分

∴曲线的方程为.

…4分（2）解:设点的坐标为,圆的半径为，

∵点是抛物线上的动点,

∴().

∴

…6分

.