广东省梅州市上八中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省梅州市上八中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知都是正实数，且满足，则的最小值为（A）12

（B）10

（C）8

（D）6参考答案：C2.在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.在△ABC中，，，，设点D、E满足，，若，则（

）A. B.2 C. D.3参考答案：D【分析】将表示为利用数量积计算求解即可【详解】因为，则，所以.由已知，，则.选.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题4.在实数集上随机取一个数，事件=“,”，事件=“”，则（︱）=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】余弦定理；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．6.已知点，点P在曲线上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（

）A. B. C. D.4参考答案：D【分析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.设不等式组表示的平面区域为，若函数（）的图像上存在区域上的点，则实数的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A8.已知三个互不重合的平面且，给出下列命题：①若则②若，则；③若则；④若a∥b，则a∥c.其中正确命题个数为（

）

A．1个

B.2个

C．3个

D.4个参考答案：C9.下列说法正确的是:（

）

A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成；

B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成；

C.圆柱不是旋转体；

D.圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到参考答案：D10.等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为（

）A.3

B.3或4

C.4或5

D.5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合,,则A∩B=_________.参考答案：12.若非零向量，满足||=|+|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为．参考答案：﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，计算可得?=﹣，再由向量夹角公式：cos＜，＞=，计算即可得到所求值．【解答】解：由非零向量，满足||=|+|=2，||=1，可得||2=|+|2=||2+||2+2?=4，则?=﹣，即有向量与夹角的余弦值为==﹣．故答案为：﹣．13.设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2|=

．参考答案：2【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】求出z，即可求出|z1﹣z2|．【解答】解：由题意，z=﹣1±i，∴|z1﹣z2|=|2i|=2，故答案为2．【点评】本题考查复数的运算与球模，考查学生的计算能力，比较基础．14.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则

．参考答案：3/415.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为

▲

.参考答案：13

16.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则=

.参考答案：-1917.设和都是元素为向量的集合，则M∩N=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．…（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…19.（10分）（2015秋?拉萨校级期末）已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．参考答案：【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）根据B与C的坐标求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出BC边上的高所在直线的斜率，然后由A的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；（2）由B和C的坐标，利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标，然后利用中点坐标和A的坐标写出直线的两点式方程即可．【解答】解：（1）BC边所在直线的斜率为…（1分）则BC边上的高所在直线的斜率为…（3分）由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：y﹣0=6（x﹣4）化简得：y=6x﹣24…（5分）

（2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得，即点…（7分）由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：…（9分）化简得：…（10分）【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．20.已知函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减。（1）求的值；（2）若斜率为24的直线是曲线的切线，求此直线方程；（3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有2个不同交点？若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由.参考答案：解：（1）由已知得，，，。

（2），即，，

，此切线方程为：，即。

（3）令，则由得：--------（*），当时，（*）无实根，f(x)与g(x)的图象只有1个交点；当时，（*）的实数解为x=2,f(x)与g(x)的图象有2个交点；当时，若x=0是（*）的根，则b=4,方程的另一根为x=4,此时，f(x)与g(x)的图象有2个交点；当时，f(x)与g(x)的图象有3个不同交点。综上，存在实数b=0或4，使函数f(x)与g(x)的图象恰有2个不同交点。

21.设函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值，以及取得最大值时对应x的值．参考答案：见解析【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据T=求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）可求x∈[0，]时sin（2x﹣）的取值范围，求出x=时f（x）取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]；∴当x=时，f（x）=2sin（2×﹣）+1=3取得最大值．22.（10分）（2015?固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈?．当x≥0时，由x﹣1≥0