高中数学北师大版1第一章直线多边形圆 公开课

学业分层测评(四)§2.圆与直线圆周角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1­2­14，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为()图1­2­14° °° °【解析】由圆周角定理得∠A＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.【答案】A2.如图1­2­15，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是()图1­2­15° °° °【解析】连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°.【答案】A△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，则此三角形外接圆半径为()\r(3) \r(3) 【解析】由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4，故外接圆半径r＝eq\f(1,2)AB＝2.【答案】B4.如图1­2­16，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于()图1­2­16\f(3,4) \f(4,3)\f(5,3) \f(\r(7),3)【解析】连接BD，则∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(3,4).在Rt△BPD中，cos∠BPD＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(3,4)，∴tan∠BPD＝eq\f(\r(7),3).【答案】D5.如图1­2­17所示，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于()图1­2­17 【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴由射影定理可知，CD2＝AD·BD.∴42＝8AD，∴AD＝2.∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10.∴圆O的半径为5.【答案】D二、填空题6.如图1­2­18所示，AB是⊙O的直径，D是eq\o(\s\up10(︵),AE)的中点，∠ABD＝20°，则∠BCE＝________(答案用数值表示).【导学号：96990017】图1­2­18【解析】连接AD，DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是eq\o(\s\up10(︵),AE)的中点，∴∠DAC＝∠DEA＝20°.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCA＝70°，∴∠BCE＝70°.【答案】70°7.如图1­2­19，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.图1­2­19【解析】由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，所以△APD是直角三角形.则sin∠APD＝eq\f(AD,AP)，cos∠APD＝eq\f(PD,AP)，由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝BAP，所以△PCD∽△PBA.所以eq\f(PD,AP)＝eq\f(CD,AB)，又AB＝3，CD＝1，则eq\f(PD,AP)＝eq\f(1,3).∴cos∠APD＝eq\f(1,3).又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，∴sin∠APD＝eq\f(2\r(2),3).【答案】eq\f(2\r(2),3)8.如图1­2­20所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________.图1­2­20【解析】由圆周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.∴AB＝BC.∴△ABC为等边三角形.∴周长等于9.【答案】9三、解答题9.如图1­2­21，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，求BP长.图1­2­21【解】连接CP，∵AC为圆的直径，∴∠CPA＝90°，即CP⊥AB.又∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可知AC2＝AP·AB.∴AP＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(36,10)＝.∴BP＝AB－AP＝10－＝.10.如图1­2­22，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.图1­2­22(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AD·AE，求∠BAC的大小.【解】(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，即AB·AC＝AD·AE.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin∠BAC，且S△ABC＝eq\f(1,2)AD·AE，所以AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.能力提升]1.在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()° °° °或138°【解析】借助圆形和圆周角定理可知，弦AB所对的圆周角有两种情况，即为42°或138°.【答案】D2.如图1­2­23，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，如果∠BAC＝32°，那么∠AOD＝()图1­2­23° °° °【解析】∵AB∥CD，∴eq\o(\s\up10(︵),AD)＝eq\o(\s\up10(︵),BC).又∵∠BAC＝32°，∴eq\o(\s\up10(︵),BC)的度数为64°.∴∠AOD＝64°.【答案】D3.如图1­2­24，在等腰三角形ABC中，以腰AC为直径作半圆交AB于点E，交BC于点F，若∠BAC＝50°，则eq\o(\s\up10(︵),EF)的度数为__________.【导学号：96990018】图1­2­24【解析】连接AF.∵AC为⊙O的直径，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAF＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°.∴eq\o(\s\up10(︵),EF)的度数为50°.【答案】50°4.如图1­2­25所示，已知△ABC内接于圆，D为eq\o(\s\up10(︵),BC)中点，连接AD交BC于E.图1­2­25求证：(1)eq\f(AE,EC)＝eq\f(BE,ED)；(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.【证明】(1)连接CD.∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE∽△CDE，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(BE,ED).(2)连接BD.∵eq\f(AE,EC)＝eq\f(BE,DE)，∴AE·ED＝BE·EC，∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE＝AE(AE＋