初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理1探索勾股定理“衡水杯”一等奖

八上探索勾股定理一．选择题（共10小题）1．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）（6）（7）9A．12 B．13 C．144 D．1942．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13 B．13或 C．13或15 D．153．Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算4．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．645．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．156．已知，如上图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．7．如图，2023年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．1698．在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或109．如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A． B．2 C． D．10﹣5二．填空题（共10小题）11．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=．12．如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′=．13．如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是14．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为．（11）（10）（12）．（13）（15）（18）15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是cm2．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=；（2）b=8，c=17，则S△ABC=．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=34，并且AC：BC=8：15，则AC=，BC=．18．如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．（19）（20）20．如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．三．解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2，AC=BC=，求AD的长．22．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．23．如图，已知等腰△ABC的周长是16，底边BC上的高AD的长是4，求这个三角形各边的长．24．求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．25．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BC∥AD，CD=AD=8，AB=，求BD的长．26．如图．在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合（1）在图中画线段AD．使AD∥BC（点D在小正方形的顶点上）；（2）连接CD．请直接写出四边形ABCD的周长．27．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=，求CD，AD的值．28．已知△ABC中，AB=，AC=5，BC=7．求∠B的度数．29．．已知直角三角形的面积为24，斜边长为10，求此Rt△的周长．30、如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

八上探索勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2023春•平南县期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．【解答】解：字母B所代表的正方形的面积=169﹣25=144．故选C．【点评】熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．2．（2023春•浠水县期末）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13 B．13或 C．13或15 D．15【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边是=；当12是直角边时，第三边是=13．故选B．【点评】如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解．3．（2023春•沧州期末）Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A．8 B．4 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．4．（2023春•石家庄期末）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．64【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．5．（2023春•赵县期末）已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．15【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【解答】解：依题意得：x2﹣4=0，y2﹣3=0，∴x=2，y=，斜边长==，所以正方形的面积=（）2=7．故选C．【点评】本题综合考查了勾股定理与非负数，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．6．（2023春•阿荣旗期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．7．（2023•黔东南州）2023年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．8．（2023•东营）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6，则BC的长为6或10．故选C．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9．（2023•聊城模拟）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可．【解答】解：∵A、B是4×5网格中的格点，∴AB==，同理可得，AC=BD=AC=，∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．故选B．【点评】本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质，先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键．10．（2023•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A． B．2 C． D．10﹣5【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），AG2+BG2=AB2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，同理可得HE=2，在RT△GHE中，GH===2，故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2023春•建昌县期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=9，S2=4，S3=8，S4=10，则S=31．【分析】利用勾股定理，根据图形得到S1+S2+S3+S4=S，求出即可．【解答】解：∵所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，∴S=S1+S2+S3+S4=9+4+8+10=31，故答案为：31．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（2023春•防城区期中）如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′=13cm．【分析】在本题中，连接BD，两次运用勾股定理即可解答即可．【解答】解：连接BD，则BD==5cm，BD′==13cm．故答案为：13cm．【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决．13．（2023春•阜阳校级月考）如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是π．【分析】首先根据勾股定理求出BC的长，然后依据圆的面积公式直接解答．【解答】解：在Rt△ABC中，BC==9，所以半圆的半径为，则这个半圆的面积是：S=π•（BC）2=π．【点评】根据勾股定理求出圆的半径是解决问题的关键．14．（2023春•文安县期末）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为．【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2=52+122，则斜边长=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，可得：斜边的高=．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可．15．（2023春•富顺县月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是17cm2【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．【解答】解：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49﹣8﹣10﹣14=17（cm2）；故答案为：17．【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．16．（2023秋•崂山区校级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=13；（2）b=8，c=17，则S△ABC=60．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理（直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方）即可求得c的值；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得直角边a的值，然后根据三角形的面积公式求得△ABC的面积．【解答】解：（1）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，∴c2=a2+b2=52+122=132，∴c=13．故答案是：13；（2）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=17，∴a==15，∴S△ABC=ab=×15×8=60．故答案是：60．【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，比较简单．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．17．（2023春•安顺校级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=34，并且AC：BC=8：15，则AC=16，BC=30．【分析】根据AC与BC之比设出AC与BC，利用勾股定理求出x，即可确定出AC与BC的长．【解答】解：根据题意设AC=8x，BC=15x，根据勾股定理得：（8x）2+（15x）2=342，解得：x=2，则AC=16，BC=30，故答案为：16；30【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．18．（2023•余姚市校级自主招生）如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为2+2．【分析】过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F，根据∠B=135°，∠C=120°，可构成等腰直角三角形，和角是30°的直角三角形，根据其性质，可求出线段AG，DG长，根据勾股定理可求出AD的长．【解答】解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．∵∠B=135°，∴∠ABE=45°，∴BE=AE=，∵∠C=120°，∴∠DCF=60°，∵CD=4，∴CF=，∴DF=2，∴EF=4+．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD==．故答案为：2+2．【点评】本题考查了勾股定理的应用，和等腰直角三角形的性质和30°直角三角形的特点，从而可求出解．19．（2023秋•宜兴市校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于8π．【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积问题得解．【解答】解：S1=π（）2=πAC2，S2=πBC2，所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=8π．故答案为：8π．【点评】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理20．（2023秋•石景山区期末）如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为=，面积为36．【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB，BC，AC的长，从而求出△ABC的周长；（2）三角形的面积等于正方形的面积减去△ABC之外的三个三角形的面积．【解答】解：由勾股定理得：AB==3，BC==6，AC==3，所以△ABC的周长为AB+AC+BC=，S△ABC=9×9﹣×6×6﹣2××3×9=36，故答案为：，36．【点评】本题主要考查图象识别，从图象中分析出面积的计算，题目得以解决；另外，勾股定理也是考查点之一．三．解答题（共10小题）21．（2023春•鄂城区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2，AC=BC=，求AD的长．【分析】如图，设AD=x，则在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理分别求得BD、CD的长度，则易列出关于x的方程，通过解方程求得x的值即可．【解答】解：如图，设AD=x．依题意得+=BD+CD=BC．即+=，解得x=即AD=．【点评】本题考查了勾股定理．此题也可以设CD=x，然后分别在直角△ABD和直角△ACD中，利用x来表示AD的长度，由此列出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，将相关线段的长度代入进行解答即可．22．（2023春•宜昌校级期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；（2）①画一个边长为，2，的直角三角形即可；②画一个边长为，，的直角三角形即可；【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点评】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．23．（2023春•柘城县校级期中）如图，已知等腰△ABC的周长是16，底边BC上的高AD的长是4，求这个三角形各边的长．【分析】设BD为x．则根据等腰三角形的周长公式可以求得腰长为（8﹣x）．然后由等腰三角形“三合一”的性质、勾股定理可以列出关于x的方程（8﹣x）2=x2+42，通过解方程可以求得x=3，问题得解．【解答】解：设BD=x，由等腰三角形的性质，知AB=8﹣x由勾股定理，得利用勾股定理：（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，所以AB=AC=5，BC=6【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．解题时，利用了等腰三角形的高线、中线重合的性质．24．（2023秋•北京校级月考）求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．【分析】（1）首先利用勾股定理计算出BC的长，进而得到圆的半径BO长，再利用半圆的面积减去直角三角形面积即可；（2）首先计算出AC的长，再利用勾股定理计算出BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB=8，AC=6，∴BC===10，∴BO=5，∵S△ABC=AB×AC=×8×6=24，S半圆=π×52=，∴S阴影=﹣24；（2）∵AD=14，CD=2，∴AC=12，∵AB=13，∴CB===5，【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．25．（2023春•青县校级期中）如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BC∥AD，CD=AD=8，AB=，求BD的长．（提示：过B向AD作垂线）【分析】过B向AD作垂线BE于E，根据矩形的判定可得四边形BCDE是矩形，根据矩形的性质可得BE=CD=8，在Rt△ABE中，根据勾股定理可求AE的长，则DE可求，再在Rt△BDE中，根据勾股定理可求BD的长．【解答】解：过B向AD作垂线BE于E．∵∠C=90°，BC∥AD，∴四边形BCDE是矩形，∴BE=CD=8，在Rt△ABE中，AE==2，∴DE=AD﹣AE=8﹣2=6，在Rt△BDE中，BD==10．【点评】考查了矩形的判定和性质，勾股定理，本题关键是作出辅助线，构造直角三角形．26．（2023•哈尔滨模拟）如图．在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合（1）在图中画线段AD．使AD∥BC（点D在小正方形的顶点上）；（2）连接CD．请直接写出四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据网格画出平行线BC即可；（2）利用勾股定理计算出各边长度，再求周长即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB=CD==，BC=AD==5，四边形ABCD的周长为：5+5++=10+2．【点评】此题主要考查了勾股定理，以及复杂作图，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．27．（2023春•东莞期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC