过程控制与自动化仪表-第四章-微分方程

被控过程数学模型数学模型的概念被控过程的数学模型数学模型是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。而被控过程的数学模型指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述。1）过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道2）控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道3）干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和

数学模型的类型被控过程的数学模型（1）：微分方程：时域、其它模型的基础、直观、求解繁琐（2）：传递函数：复频域、微分方程拉氏变换后的结果（3）：动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程（1）：相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。（2）：简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现了系统性质。数学模型的特点（3）：静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。（4）：动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。被控过程的数学模型（1）：全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。（2）：良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。（3）：数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件。（4）：通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。（5）：利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的解决途径。被控过程数学模型在过程控制中的重要性：被控过程的数学模型一般步骤

1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。

2)忽略一些次要因素，合理简化。

3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。

4)列写中间变量的辅助方程。（方程数与变量数相等）

5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。系统微分方程的建立机械系统微分方程基本定理：1.牛顿第二定律：F=ma2.简化模型为阻尼器f、弹簧k、质量块m大小：—粘滞摩擦系数大小：—弹簧系数方向均为阻碍物体运动趋势

例弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。

解：遵照列写微分方程的一般步骤有：

（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。

KmfF(t)y(t)机械平移系统（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即

（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得

（4）写中间变量与输出量的关系式机械平移系统KmfF(t)y(t)机械回转系统f—转动时粘滞摩擦系数k—弹性扭转变形系数机械系统微分方程课堂习题

求图所示机械系统的微分方程式，图中F(t)为输入量，位移x(t)为输出量，m为质量，k为弹簧的弹性系数，f为粘滞阻尼系数电气系统微分方程基本定理：1.环路电压定律2.典型元件的电压与电流的关系和节点电流定律

例

电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。电气RLC系统RCur(t)

uc(t)L

解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。

（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:

（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)uc(t)L（3）由KVL写原始方程：i(t)电气RLC系统

下图是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路。电压ui(t)和uo(t)分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。电气有源系统电气系统微分方程课堂习题

求图所示电气系统的微分方程式，图中Ui(t)为输