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异方差性及后果第一页，共十二页，2022年，8月28日异方差性的数学表达式，可写成自变量xi

的函数，即

(5.1.3)

§5.2异方差性的后果一、线性和无偏性(5.2.1)

是ui的线性函数显然成立第二页，共十二页，2022年，8月28日由(2.3.7)知α的OLS估计量为(5.2.2)

是ui的线性函数显然成立。(5.2.3)

由(5.2.2)有：(5.2.4)

即异方差并不影响和的无偏性。第三页，共十二页，2022年，8月28日二、最佳性设线性模型（一元为例）(5.2.5)

随机项ui具有异方差性。为了讨论方便不妨设

(5.2.6)

对(5.2.5)应用OLS法，得参数β的估计值(5.2.7)

第四页，共十二页，2022年，8月28日于是有(5.2.8)

(5.2.8)的结果是线性模型(5.2.5)具有异方差情况下，参数β估计值的方差。用便有估计值可以证明：u具有异方差时，参数的方差失去了最佳性。（参看课本108页）第五页，共十二页，2022年，8月28日

如果存在异方差性而仍然采用OLS估计参数β，由于参数的估计值的方差并非最小，在对β进行显著性检验时将低估t值可能导致错误的统计判断，在对参数β进行区间估计时就会不必要地扩大置信区间。甚至统计量T失去t分布。第六页，共十二页，2022年，8月28日对于多元线性回归模型若异方差的结构不知道，可以证明有下列估计式

(5.2.9)

其中第七页，共十二页，2022年，8月28日式中为xj将对所有其它自变量作回归所得到的第i个残差；ESSj则为这个回归的残差平方和。(5.2.9)的算术根称为的异方差—稳健标准差(heteroskedasticity-robuststandarderror)。（参看武德263页）上式称为异方差—稳健标准差（简称稳健标准差）第八页，共十二页，2022年，8月28日稳健异方差的证明（？）：已知参数的表达式：第九页，共十二页，2022年，8月28日其中分子参数的表达式可以写成形式：第十页，共十二页，2022年，8月28日方差这里是样本自变量的函数，因而是非随机变量。当ui为等方差时，第十一页，共十二页，2022年，8月28日

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