弹性力学空间轴对称问题有限元法

弹性力学空间轴对称问题有限元法第一页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z轴)第二页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述轴对称问题—物体几何形状、约束及外力都对称于某一轴线(z轴)，则物体的位移、应变、应力也都对称于这一轴线。第三页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述一、柱坐标系由于轴对称性质，采用柱坐标系（r、θ、z

）分析轴对称问题第四页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述a:通过对称轴的任一平面都是对称平面b:子午面—通过对称轴的任一平面（r-z平面）c:如果以对称轴为z轴，则位移、应变、应力都仅为r、z的函数而与θ无关空间的三维问题化为平面的二维问题，即空间域回转体简化为定义在回转体的某个子午面平面域上的物体。第五页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述二、基本变量(1)位移矢量

(2)应变(3)应力环向位移uθ=0即在子午面（rz面）上的点无离面位移。第六页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程（1）平衡微分方程设微元体上作用有体力第七页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程（2）应变与位移的关系—几何方程有，即轴对称的径向位移会引起环向应变

第八页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程（2）应力应变关系—物理方程(E是杨氏模量，μ为泊松比)第九页，共四十五页，2022年，8月28日3.1弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程(10个未知函数在域内的控制方程)第十页，共四十五页，2022年，8月28日四、边界条件3.1弹性力学空间轴对称问题的描述su表示位移边界点的集合位移边界条件应力边界条件

表面力分量,l是边界外法线与夹角的余弦，n是边界外法线与夹角的余弦，第十一页，共四十五页，2022年，8月28日

因为：上式先对θ积分，化为在子午面上的以下积分在位移中求解时，虚功方程等价于力边界条件与平衡微分方程。3.1弹性力学空间轴对称问题的描述五、虚功方程第十二页，共四十五页，2022年，8月28日对稳定的线弹性体的平衡而言，真解使取最小值，至少是取驻值。3.1弹性力学空间轴对称问题的描述六、总势能[泛函]第十三页，共四十五页，2022年，8月28日第十四页，共四十五页，2022年，8月28日受均匀内压的球体计算分析模型

3.2三结点环状单元分析受均匀内压的球体有限元模型

第十五页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析第十六页，共四十五页，2022年，8月28日单元结点的位移列阵记为一、单元位移模式

3.2三结点环状单元分析第十七页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析第十八页，共四十五页，2022年，8月28日二、单元内的应变

3.2三结点环状单元分析第十九页，共四十五页，2022年，8月28日二、单元内的应变

3.2三结点环状单元分析第二十页，共四十五页，2022年，8月28日二、单元内的应变

为单元应变转换矩阵,子块

环状三角形单元不是常应变单元

3.2三结点环状单元分析第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日三、单元内的应力

为单元应力转换矩阵。其子块为

三角形环状单元也不是常应力单元

3.2三结点环状单元分析第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日三、单元刚度矩阵的计算

其子块为

3.2三结点环状单元分析第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日三、单元刚度矩阵的计算

计算以上积分的方法有三种：①导出精确的积分公式；②采用通常的数值积分公式；③简单的近似积分。

3.2三结点环状单元分析第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日三、单元刚度矩阵的计算

单元中心坐标

3.2三结点环状单元分析第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日三、单元刚度矩阵的计算

3.2三结点环状单元分析第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析三、单元刚度矩阵的计算

(E是杨氏模量，μ为泊松比)

第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

①受自重作用设γ是物体比重，重力只有z方向分量且与z轴反向，其体积力密度为

第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

①受自重作用第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

②惯性离心力作用

物体绕z轴转动的角速度为ω(rad/s)，γ是比重，g是重力加速度，则惯性离心力为第三十页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

②惯性离心力作用

第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

③受均布压力

rz面上的压力矢量

ij边外法线与r轴夹角为

第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

③受均布压力

由于是在ij边上，则形函数矩阵为

第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

③受均布压力

第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

④热应变作为初应变

若单元结点的温度升高为，则单元的平均温升为单元热应变为

单元等效结点力

第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

④热应变作为初应变

子块为第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日3.2三结点环状单元分析四、等效结点力的计算

④热应变作为初应变

第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日本章小结：

(1)由于轴对称性质,轴对称问题可简化为二维问题处理,只分析其一子午面,并在子午面离散.(2)与平面问题中的三结点三角形平面单元不同，在本章对轴对称问题的分析中，采用的单元类型为三结点三角形环状的实体单元，采用的坐标系为柱坐标系.在单刚及等效载荷的计算中采用的近似积分方式是相当简单也相当有效的，且三结点三角形环状实体单元不是常应变单元或常应力单元。

(3)轴对称问题有限元法中,刚体位移仅为轴向移动.第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日膨胀节

例子：

第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日总应力云图

总位移云图

第四十页，共四十五页，2022年，8月28日例:某立式压力容器如图所示，其设计压力p=10MPa，在常温下工作，材料为16Mn，弹性模量E=210GPa,泊松比为0.3，筒体内径D1=3400mm，壁厚t1=110mm，球形封头内半径R2=1720mm，t2=70mm，筒体削边长度l=270mm，忽略自重，对容器筒体与封头的连接区进