有限单元法汇报

有限单元法/学习总结浙大岩土工程2014/12/15余启致什么是有限单元法01有限单元法基础02有限元单元和插值函数04等参元和数值积分05个人学习计划06有限单元法表达格式031.什么是有限单元法？（FiniteElementMethod）离散插值集成解方程组什么是有限单元法01有限单元法基础02有限元单元和插值函数04等参元和数值积分05个人学习计划06有限单元法表达格式032.有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法2.1.1未知场函数u满足的微分方程和边界条件可表示为如下方程组：两个微分方程的等效积分形式：a2.有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法两式相加得到微分方程的等效积分形式：

在很多情况下对上式进行分部积分，可以得到：等效积分的“弱”形式（更精确）a2.有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法2.1.2加权余量法在通常n取有限项数的时候，近似解不能满足微分方程和边界条件方程，将会分别产生残差R1和R2（也即余量），然后对这两个余量进行加权积分，令其为零，就可以解出近似函数。对于微分方程式和边界条件式所表达的物理问题，假设未知场函数u用一簇带有待定参数的已知近似函数来近似，表示为：2.有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法举例：伽辽金法解微分方程

代入余量R2.有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式和加权余量法2.有限元法基础2.2虚功原理和弹性力学变分原理（1）虚位移原理（平衡方程和力边界条件的等效积分弱形式）：

力学意义：若力系（包括内力和外力）是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作功的总和为零。2.2.1变形体中，任意满足平衡的力系在变形状态上作的虚功为零，即体系外力的虚功与体系内力的虚功之和等于零。虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。（2）虚应力原理（几何方程和位移条件的等效积分弱形式）：

2.有限元法基础2.2虚功原理和弹性力学变分原理力学意义：如果位移是协调的，

则虚应力和虚边界约束反力在它们上面所作之功的总和为零。2.2.2弹性变分原理包括基于自然变分原理的最小位能原理和最小余能原理。（1）最小位能原理：

2.有限元法基础2.2虚功原理和弹性力学变分原理（2）最小余能原理：

什么是有限单元法01有限单元法基础02有限元单元和插值函数04等参元和数值积分05个人学习计划06有限单元法表达格式033.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式3.1.1

离散单元的位移插值3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式离散单元的位移插值即，用单元上三个角结点的位移插值表示单元内部各点的位移。求解下列方程组可以解出广义坐标：3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式将求得的广义坐标代入可以将位移函数表示成结点位移的函数，如下：单元位移，单元应变，单元应力的矩阵形式分别如下：3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式其中

为应变矩阵，

为应力矩阵3.1.2

利用最小位能原理建立有限元方程最小位能原理的泛函总位能在平面问题中的矩阵表达形式为：3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式对于离散模型，系统位能是各单元位能的和，故可求得离散模型的总位能：引入转换矩阵

，将单元结点位移列阵用结构结点位移列阵

表示，即：3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式我们令：单元变形总是令该泛函取驻值，即：3.有限元单元法表达格式3.1弹性力学平面问题的有限元格式得到有限元求解方程因此要求得有限元的解，关键在于根据子单元的插值函数矩阵求出子单元的应力应变矩阵，然后利用单元的最小位能原理求出子单元的刚度矩阵和等效节点荷载列阵，并在整个单元集成整体的刚度矩阵K，以及整体等效节点荷载列阵P，再利用边界条件可以解出a。什么是有限单元法01有限单元法基础02有限元单元和插值函数04等参元和数值积分05个人学习计划06有限单元法表达格式034.有限元单元和插值函数4.1引言4.1.1

背景：在前面，我们已经了解到有限元法的特点。首先，我们把场函数（如位移u）表示成多项式的形式，然后利用结点条件，将多项式中的待定参数表示成结点值和单元几何的函数。4.1.2

改进：由于多项式中的待定参数的求解比较麻烦同时广义坐标有限元的单元矩阵积分复杂，所以现在需要利用适合不同单元类型的局部坐标系（自然坐标系）建立各自单元插值函数的方法。a3.有限元单元法表达格式3.有限元单元法表达格式a4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数4.2.1

一维单元4.2.1.1

拉格朗日单元（只包含场函数结点值）对于具有n个结点的一维单元，如果结点参数中只包含场函数的结点值，则单元内的场函数可插值表示为：具有右侧的性质：关于插值函数的构造，可直接采用熟知的拉格朗日插值多项式，对于总体坐标系下n个结点的一维单元，可令:4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数为了得到自然坐标内的位移插值函数，现在引入无量纲的局部坐标：与总体坐标下的拉格朗日插值函数类似，可以得到用自然坐标

表示的插值函数：举例：用一条直线上的三个点进行插值4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数代入到插值函数公式中，有：4.2.1.2Hermite单元（还包含场函数导数结点值）函数采用Hermite多项式的插值表达式可以写成：4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数4.2.2

二维单元4.2.2.1

三角形单元如同一维单元的情形，也可以利用无量纲的局部自然自然坐标以构造三角形单元的插值函数。现介绍三角形域的面积坐标的确定。如图：三角形中任一点P的位置可以由3个比值来确定，即：4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数（1）线性三角形单元对于线性单元，可以直接利用面积坐标作为插值函数。即三角形的三个插值函数就是三角形的面积坐标。（2）二次三角形单元（场函数包含其一阶导数结点值）二次三角形单元不仅有角结点，而且有边结点。现在需要构造的插值函数如下所示：4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数构造任意的拉格朗日矩形单元插值函数的一个简便方法是利用两个坐标方向适当方次拉格朗日多项式的乘积。如下所示单元：4.2.2.2

拉格朗日矩形单元4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数上式在第I列结点上等于1，而在其他列结点上等于0。同理，上式在第J行结点上等于1，而在其他行结点上等于0。同理，4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数构造的插值函数为：4.2.3

三维单元三维单元构造插值函数的方法是前面二维插值函数构造方法的推广。主要有以下几种：4.2.3.1

四面体单元四面体单元和二维情况的三角形单元类似，插值函数是在三维坐标内的各次完全多项式。根据三维四面体单元的几何特点，引进的自然坐标是体积坐标，单元内任一点P的体积坐标如下图所示：4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数根据三维四面体单元的几何特点，引进的自然坐标是体积坐标，单元内任一点P的体积坐标是：四面体单元的插值函数可以仿照二维三角形单元的构造方法得到：4.有限元单元和插值函数4.2选择合适单元和插值函数（1）线性三维单元：（2）二次三维单元：（3）三次三维单元：什么是有限单元法01有限单元法基础02有限元单元和插值函数04等参元和数值积分05个人学习计划06有限单元法表达格式035.等参元和数值积分5.1引言：5.1.1

背景：5.1.2

方法：前一章的目的是使单元及其插值函数的构造规范化，为了将它们用于实际工程问题和物理问题的分析。需要将上一章讨论规则形状的单元转化为其边界为曲线的相应单元。此时要用到的就是等参元法。为了使实际问题物理坐标系内的单元刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算也能在局部的自然坐标表示的规则域内进行计算，还要研究这些矩阵积分式内被积函数中所涉及的导数、体积微元、面积微元、线段微元的变换及积分限的置换。实现了这种变换和置换，则不管各个积分式中的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法进行计算。所以还必须学习几种数值积分方法。5.等参元和数值积分5.1引言：5.等参元和数值积分5.2数值积分方法：5.2.1

一维数值积分（用近似函数的积分来近似）5.2.1.1Newton-Cotes积分：在这种积分方案中，包括积分域在内的积分点按等间距分布。对于N个积分点（或者称为取样点），根据积分点上的被积函数值可以构造一个近似多项式，使在积分点上有：这个近似多项式可以通过拉格朗日多项式表示：n-1阶拉格朗日插值函数为：5.等参元和数值积分5.2数值积分方法：所以由所以近似函数的积分可以表示为：可知：（称为权系数）则有：（称为余项）5.等参元和数值积分5.2数值积分方法：5.2.1.2Gauss积分：在Gauss积分方案中，积分点是不等间距分布的。积分点的位置由以下方法确定。首先定义一个n次多项式：根据下列条件确定n个积分点的位置：在积分点上有，同时也是方程的解。被积函数可由2n-1次多项式来近似，即：5.等参元和数值积分5.2数值积分方法：5.2.1.2Gauss积分：则有：由于优化了积分点的位置，高斯积分能达到较高的精度。5.等参元和数值积分5.2数值积分方法：5.2.1.2Gauss积分：5.等参元和数值积分5.2数值积分方法：5.2.2

二维和三维高斯积分当Gauss积分用于二维或三维数值积分时，可以用与解析方法计算多重积分相同的方法。即在计算积分号内层的积分时，将外层积分的变量看做常量。这样，可以很简单得到二维和三维问题的数值积分。5.3等参元数值积分阶次选择：积分阶次的选择应遵循两个原则：一、保证积分的精度高二、保证结构总刚度矩阵K是非奇异的什么是有限单元法01有限