初中数学北师大版九年级下册第二章二次函数 市赛获奖

专训1用二次函数解决问题的三种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．建立平面直角坐标系解决实际问题eq\a\vs4\al(题型1：)拱桥(隧道)问题1．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线对应的函数表达式为()A．y＝eq\f(1,25)x2＋eq\f(5,8)xB．y＝－eq\f(5,8)x2－eq\f(1,25)xC．y＝－eq\f(1,25)x2＋eq\f(8,5)xD．y＝－eq\f(1,25)x2＋eq\f(8,5)x＋16(第1题)(第2题)2．如图，拱桥呈抛物线形，其对应函数的表达式为y＝－eq\f(1,4)x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时拱顶距水面的高度h＝________．3．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，隧道宽AA1为16m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．【导学号：31782060】(第3题)eq\a\vs4\al(题型2：)建筑物问题4．如图，某大学的楼门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高约为(结果精确到m，水泥建筑物的厚度忽略不计)()A．mB．mC．mD．m(第4题)(第5题)5．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间隔m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为()A．50mB．100mC．160mD．200meq\a\vs4\al(题型3：)物体运动类问题6．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(m)关于水平距离x(m)的函数表达式为y＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，(第6题)那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________．7．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4m，AC＝3m，网球飞行最大高度OM＝5m，圆柱形桶的直径为m，高为m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？【导学号：31782061】(第7题)建立二次函数模型解决最值问题eq\a\vs4\al(题型1：)利用二次函数解决高度的最值问题8.某人从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的表达式是h＝－，那么小球运动中的最大高度为________．9．如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________．(第9题)(第10题)eq\a\vs4\al(题型2：)利用二次函数解决图形面积的最值问题10．如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是()\f(64,25)m2\f(4,3)m2\f(8,3)m2D．4m211．如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线上．(1)若BE＝a，求DH的长．(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(第11题)建立二次函数模型解决动点探究问题12．如图，直线y＝eq\f(1,2)x－2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当点D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离．【导学号：31782062】(第12题)专训2函数中的决策问题名师点金：函数中的决策问题通常包括两类：一是利用一次函数进行决策，二是利用二次函数进行决策．其解题思路一般是先建立一次函数(二次函数)模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用一次函数(二次函数)的图象和性质去分析、解决问题．利用一次函数作决策eq\a\vs4\al(题型1：)购买方案1．(2023·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/m2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/m2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．【导学号：31782063】eq\a\vs4\al(题型2：)生产方案2．(2023·无锡)某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12kg，需耗水4t；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2kg，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/kg，水价为5元/t.如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200t，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w(元)最大？最大利润是多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)【导学号：31782064】eq\a\vs4\al(题型3：)运输方案3．(2023·荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120t去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车装鱼量/t865每吨鱼获利/万元(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式．(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．【导学号：31782065】利用二次函数作决策eq\a\vs4\al(题型1：)几何问题中的决策4．如图，有长为24m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为xm，面积为Sm2.(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(2)如果围成面积为45m2的鸡舍，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．(第4题)5.如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点的运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．【导学号：31782066】(第5题)eq\a\vs4\al(题型2：)实际问题中的决策6．(中考·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购价格y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购价格y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1300(0＜x2≤20，x2为整数)．(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的eq\f(11,9)倍，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售价格售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围．(2)设宾馆一天获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式．(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？答案专训11．Cm3．解：(1)由已知得AB＝6m，OA＝OA1＝8m，OC＝8m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将B点的坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－eq\f(1,32)，所以y＝－eq\f(1,32)x2＋8(－8≤x≤8)．(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－eq\f(1,32)×22＋8＝7eq\f(7,8)，即Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，7\f(7,8)))，所以DE＝7eq\f(7,8)m.因为7eq\f(7,8)＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．(第3题)(第7题)4．Bm7．解：(1)以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c，由抛物线过点M和点B，可得a＝－eq\f(5,4)，c＝5.故抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(5,4)x2＋5.当x＝1时，y＝eq\f(15,4)；当x＝eq\f(3,2)时，y＝eq\f(35,16).故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(15,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(35,16)))两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为×5＝＝eq\f(3,2)(m)．∵eq\f(3,2)＜eq\f(15,4)且eq\f(3,2)＜eq\f(35,16)，∴网球不能落入桶内．(2)设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得eq\f(35,16)≤≤eq\f(15,4)，解得7eq\f(7,24)≤m≤12eq\f(1,2).∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8，9，10，11或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．8．mm11．解：(1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，∴HG＝FC，∠G＝∠BCF，∴HG∥FC，∴四边形FCGH是平行四边形，∴FH平行且等于CG，∴∠DFH＝∠DCG＝90°.由题意可知，CF＝BE＝a.在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，∴DH＝eq\r(DF2＋FH2)＝eq\r(5)a.(2)设BE＝x，△DHE的面积为y.依题意，得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH＝eq\f(1,2)×3a×(3a－x)＋eq\f(1,2)(3a＋x)x－eq\f(1,2)×3a×x，∴y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)ax＋eq\f(9,2)a2，即y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(27,8)a2.∴当x＝eq\f(3,2)a，即E是BC的中点时，y取得最小值，即△DHE的面积取得最小值，最小值是eq\f(27,8)a2.12．解：(1)在y＝eq\f(1,2)x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝0，,a＋b＋c＝0，,c＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝\f(5,2)，,c＝－2.))∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,2)x－2.(2)设点D的坐标为(x，y)，则y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,2)x－2(1＜x＜4)．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得AC＝2eq\r(5).如图所示，连接CD，AD.过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，(第12题)则FD＝x，DG＝4－x，OF＝AG＝y，FC＝y＋2.∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG＝eq\f(1,2)(AG＋FC)·FG－eq\f(1,2)FC·FD－eq\f(1,2)DG·AG＝eq\f(1,2)(y＋y＋2)×4－eq\f(1,2)(y＋2)·x－eq\f(1,2)(4－x)·y＝2y－x＋4.将y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(5,2)x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，∴D(2，1)．∵S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DE，AC＝2eq\r(5)，∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，则DE的最大值为eq\f(4,\f(1,2)AC)＝eq\f(4,\f(1,2)×2\r(5))＝eq\f(4\r(5),5).∴当点D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，最大距离为eq\f(4\r(5),5).专训21．解：(1)当1≤x≤8时，y＝4000－30(8－x)＝4000－240＋30x＝30x＋3760；当8＜x≤23时，y＝4000＋50(x－8)＝4000＋50x－400＝50x＋3600.∴所求函数的表达式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋3760（1≤x≤8，x取整数），,50x＋3600（8＜x≤23，x取整数）.))(2)当x＝16时，设方案一每套楼房费用为W1(单位：元)，则W1＝120×(50×16＋3600)×92%－a＝485760－a；设方案二每套楼房费用为W2(单位：元)，则W2＝120×(50×16＋3600)×90%＝475200.当W1＜W2，即485760－a＜475200时，a＞10560；当W1＝W2，即485760－a＝475200时，a＝10560；当W1＞W2，即485760－a＞475200时，a＜10560.因此，当每套楼房赠送装修基金多于10560元时，选择方案一合算；当每套楼房赠送装修基金等于10560元时，两种方案一样；当每套楼房赠送装修基金少于10560元时，选择方案二合算．2．解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A产品．由题意得4x＋2(60－x)≤200，解得x≤40.w＝30[12x＋10(60－x)]－80×60－5[4x＋2(60－x)]＝50x＋12600.∵50＞0，∴w随x的增大而增大．∴当x＝40时，w取得最大值，为14600.故甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14600元．3．解：(1)由题意得：装运青鱼的车辆为(20－x－y)辆．∵8x＋6y＋5(20－x－y)＝120，∴y＝－3x＋20.(2)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,y≥2，,20－x－y≥2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,－3x＋20≥2，,20－x－（－3x＋20）≥2.))解得2≤x≤6.设此次销售获利W万元，则W＝×8x＋×6y＋×5(20－x－y)＝－＋36.∵k＝－＜0，∴W随x的增大而减小．∴当x＝2时，W取得最大值，为.此时y＝－3x＋20＝14，20－x－y＝4.故应安排2辆汽车装运鲢鱼，14辆汽车装运草鱼，4辆汽车装运青鱼，能使此次销售获利最大，最大利润为万元．4．解：(1)因为AB＝xm，所以BC＝(24－3x)m，此时S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.(2)由已知得－3x2＋24x＝45，整理可得x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，得eq\f(14,3)≤x＜8，∴x＝3不符合题意，故AB＝5m.(3)能．S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵eq\f(14,3)≤x＜8，∴当x＝eq\f(14,3)时，S最大值＝46eq\f(2,3).∴能围成面积比45m2更大的鸡舍．当BC的长是10m，AB的长是4eq\f(2,3)m时，鸡舍的面积最大，为46eq\f(2,3)m2.5．解：(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝eq\f(1,2)BP或BP＝eq\f(1,2)BQ，即t＝eq\f(1,2)(3－t)或3－t＝eq\f(1,2)t.解得t＝1或t＝2，即当t为1或2时，△PBQ是直角三角形．(2)过点P作PM⊥BC于点M，则易知BM＝eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,2)(3－t)cm.∴PM＝eq\r(BP2－BM2)＝eq\f(\r(3),2)(3－t)cm.∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)eq\r(3)－eq\f(1,2)t·eq\f(\r(3),2)(3－t)＝eq\f(\r(3),4)t2－eq\f(3\r(3),4)t＋eq\f(9\r(3),4)，即y＝eq\f(\r(3),4)t2－eq\f(3\r(3),4)t＋eq\f(9\r(3),4)，易知0<t<3.于是y＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))eq\s\up12(2)