广东省江门市台山墩头华侨中学2023年高三数学理期末试卷含解析

广东省江门市台山墩头华侨中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（

）A.120°

B.135°

C.60°

D.45°参考答案：B2.直线与曲线相切于点，则的值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：A3.函数y=2x2的焦点坐标为（）A．（） B．（1，0） C．（0，） D．（0，）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由y=2x2得，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，且2p=，由此可得焦点坐标．【解答】解：由y=2x2得，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，且2p=∴焦点坐标为故选C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的性质，属于基础题．4.如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）（B）（C）（D）主视图左视图俯视图11参考答案：D由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C.5.不等式ex﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]?P，则实数a的取值范围是(

) A．（﹣∞，e﹣1） B．（e﹣1，+∞） C．（﹣∞，e+1） D．（e+1，+∞）参考答案：A考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式ex﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]?P?，x∈[0，2]，利用导数求出即可．解答： 解：①当x=0时，不等式e0﹣0＞0对任意实数x恒成立；②当x＞0时，不等式ex﹣x＞ax可变形为，由不等式ex﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]?P?，x∈[0，2]．设，x∈（0，2]．g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x≤2时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．由此可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且f（1）=e．∴1+a＜e，∴a＜e﹣1．故选A．点评：把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键．6.在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为Tr+1=?x8﹣r?=（﹣1）r??x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3?=﹣56．故选：C．7.已知，满足不等式组

则目标函数的最大值为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B做出可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的的截距最大，此时最大，由题意知，代入直线得，所以最大值为12，选B.8.若变量x，y满足，实数z是2x和-4y的等差中项，则z的最大值等于

A．1

B．2 C．3

D．4参考答案：C略9.如图，若时，则输出的数等于()A.

B.

C.

D.参考答案：D10.若,,则方程有解的概率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A=

。参考答案：或由正弦定理可知，即，所以，因为，所以,所以或。12.阅读右侧程序框图，则输出的数据为__________．参考答案：易知执行结果．13.设有两个命题、，其中命题对于任意的，不等式恒成立；命题在上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是

．参考答案：14.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.参考答案：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。15.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为____________参考答案：16.若关于的不等式在实数集上的解集为,则的取值范围为_______.参考答案：略17.已知抛物线的顶点为原点，焦点F(1，0)，过点F的直线与抛物线交于A,B两点，且|AB|=4，则线段AB的中点M到直线x=-2的距离为

▲ .参考答案：3依题意可得抛物线的准线方程为直线，设，到直线的距离分别为，由抛物线的定义可得∴线段的中点到直线的距离为故答案为3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿线段EC翻折到PAC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求二面角P﹣AB﹣C的大小．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接AC，BD交于点O，证明AC⊥BD，利用平面PAC⊥平面ABCE，可得BD⊥平面PAC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P﹣AB﹣C的大小．解答：（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，∵AB=AD=4，∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC∴BD⊥平面PAC…（6分）（Ⅱ）解：如图，以O为原点，直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设点P（x，0，z）又，B（0，2，0），，，由PE=2，有，解得，∴…（9分）则有，设平面PAB的法向量为，由，即，∴可取=（1，，2），…（12分）又易取得平面ABC的法向量为（0，0，1），并设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，∴，∴∴二面角P﹣AB﹣C的大小为．…（14分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.某公司为了实现2011年1000万元的利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有二个奖励模型：，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由。（解题提示：公司要求的模型只需满足：当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③，参考数据：）参考答案：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5

；③％．(1）对于，易知满足①，但当时，，．不满足公司要求；…（5分）(2）对于

，易知满足①，当时，．又，满足②而％（1）设在为减函数．

（1）式成立，满足③

．

综上，只有奖励模型：能完全符合公司的要求

20.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大。根据国家标准，指数在0-50之间时，空气质量为优；在51-100之间时，空气质量为良；在101-150之间时，空气质量为轻度污染；在151-200之间时，空气质量为中度污染；在大于200时，空气质量为重度污染。环保部门对某市5月1日至5月15日空气质量指数预报如下表:日

期123456789101112131415空气质量指数7556261562301638821020620178981059793某人选择5月1日至5月13日某一天到达该市，并停留三天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据上表判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大（不要求计算，只写出结果）.

参考答案：解析：（Ⅰ）记事件为此人到达当日空气重度污染，则由表中数据可得…………2分（Ⅱ）此人在该市停留期间空气质量优良天数统计如下表：到达日期12345678910111213空气质量优良天数3210111012222

所以随机变量的概率分布如下：

X0123P

所以……………………10分（Ⅲ）从5月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大.………………12分

略21.在中，角A,B,C的对边分别为,且满足，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求的面积；（Ⅲ）若，求边与的值．参考答案：略22.（本小题满分14分）已知定义在上的奇函数满足：当时，．（1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数．①试指出函数的零点个数；②若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中．证明：（）．参考答案：（1）的值域为．（2）①当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点．当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点．②见解析【知识点】导数的应用

（1）为奇函数，．当时，，则，时，，，，的值域为．（2）①函数的图象如图所示，

当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根．由，解得，的值域为，只需研究函数在上的图象特征．设，，，令，得，．当时，，当时，，又，即，由，，得，的大致图象如图所示．

图b根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点．类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、、这三个