广东省河源市啸仙中学2022年高三数学理月考试卷含解析

广东省河源市啸仙中学2022年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥时，若c⊥，则∥B．当时，若b⊥，则C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当，且时，若c∥，则b∥c参考答案：答案：B2.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A、

B、

C、 D、参考答案：D3.5．在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C4.已知，若的必要条件是，则之间的关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：，即，按题意，因此．故选B．考点：必要条件．5.已知函数，则对于任意实数、（），的值（

）A.恒大于0

B.恒等于0

C.恒小于0

D.符号不确定参考答案：A6.已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C7.设集合,集合,则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：因为,，所以，答案为A．考点：集合的基本运算．8.有A、B、C、D、E、F六个人依次站在正六边形的六个顶点上传球，从A开始每次可随意传给相邻的两人之一，若在5次之内传到D，则停止传球。若5次之内传到D（含5次）则可出现的不同传球种数为（

）A、6

B、7

C、8

D、9参考答案：C9.若不等式的解集为,则实数的取值范围是

A

B

C

D[来源:/]参考答案：B略10.在复平面内，复数的共轭复数的模为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为

．参考答案：由解得，即两曲线的交点为．12.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为

;参考答案：略13.设单位向量

▲

.参考答案：略14.某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为

．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）参考答案：c【考点】不等式比较大小；多元一次不定方程．【专题】应用题；压轴题．【分析】采用特殊值法，给a，b，c，d，e按照大小顺序取一组特殊值，计算S的值，据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，检验a增加1时，S值的增加量，检验c增加1时，S值的增加量，作出比较．【解答】解：据S的解析式知，只有a或c的值增加，才能使S的值增加，采用特殊值检验法，∵0＜c＜d＜e＜b＜a，令a=9，b=7，c=1，d=3，e=5，则S=，当a增加1时，S=，S的值增加，当c增加1时，S=，S的值增加，∴当c增加1时，S的值增加最多；故答案为c．【点评】本题考查在限定条件下，比较几个式子大小，可用特殊值代入法．15.在矩形ABCD中，

。参考答案：12考点：数量积的应用试题解析：因为所以所以所以所以所以故答案为：1216.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是____________.参考答案：②③17.在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是△ABC的内心，若=p+q，则的值为．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】在两边分别同乘以向量，从而得到，．画出图形并取AC边的中点D，O在BD上，所以，由余弦定理可求得cos∠BAC=，这样进行数量积的计算即可得到关于p，q的两个方程，解方程组即可求出p，q，从而求出．【解答】解：如图，O为△ABC的内心，D为AC中点，则：O在线段BD上；cos∠DAO=，根据余弦定理：cos∠BAC=；由得：；∴=；∴①；同理；∴可以得到②；∴①②联立可求得；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图四棱锥，底面梯形中，，平面平面，已知.(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使三棱锥体积为三棱锥体积的6倍.若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由.参考答案：1）证：∴又∵平面平面，平面平面∴面，又面，∴（2）假设存在点满足条件，设，点到面的距离为，点到面的距离为，由相似三角形可知∴∴点是上的一个靠近点的三等分点.19.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围。参考答案：（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。20.本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）若成等比数列,求的值．参考答案：（Ⅰ）C:………………（4分）（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得因为由题意知，代入得……（10分）21.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．（1）证明：∠PBC=90°；（2）若PB=3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求直线与平面的夹角．【分析】（1）取AD中点O，连OP、OB，证明AD⊥平面POB，利用BC∥AD，可得BC⊥平面POB，从而可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴BC⊥PB，即∠PBC=90°．（2）解：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），由PO=BO=，PB=3，得∠POB=120°，∴∠POz=30°，∴P（0，﹣，），则=（﹣1，，0），=（﹣2，0，0），=（0，，﹣），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取z=，则=（0，1，），设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．22.设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内单调递减