广东省深圳市梅山中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省深圳市梅山中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题p：椭圆与有相同焦点，命题q：函数的定义域是，则（）A．“p或q”为假

B．“p且q”为真

C．p真q假

D．p假q真参考答案：D略2.已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（

）A30

B45

C90

D186参考答案：C3.若，则“”是方程“”表示双曲线的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则的最小值为（）A． B． C． D．不存在参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项am，an使得=4a1，∴aman=16a12，∴qm+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选A【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．5.已知平面平面，直线，点，平面间的距离为8，则在内到点

的距离为10，且到直线的距离为9的点的轨迹是（

）A、四个点

B、一个圆

C、两条直线

D、两个点参考答案：A略6.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A．18种 B．24种 C．36种 D．72种参考答案：C【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数．【解答】解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为?=36，故选：C．【点评】本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题，属于基础题．7.设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于（）A．4 B．6 C．6 D．12参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA丄l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=6x，∴焦点F（1.5，0），准线l方程为x=﹣1.5，∵△APF为正三角形，∴直线AF的斜率为﹣，∴直线AF的方程为y=﹣（x﹣1.5），与x=﹣1.5联立，可得A点坐标为（﹣1.5，3）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5﹣（﹣1.5）=6故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题．8.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的取值为（

）A.－2 B.－1 C.1 D.2参考答案：B【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．9.已知集合，集合，则集合(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为

（

）

A.1

B.

C.－1

D.0

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若在区间[－1,1]上方程只有一个解，则实数m的取值范围为______．参考答案：或【分析】令，则方程等价于有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像和的图像，动态平移的图像可得实数的取值范围.【详解】当时，由，得，即；当时，由，得，即.令函数，则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数的取值范围是.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．12.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是米/秒．ks*5u参考答案：5ks*5略13.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣3＜m≤【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【分析】函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=?x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1?（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即?﹣3＜m≤．?＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．14.函数（），对任意有，且，那么等于

参考答案：15.设，是f(x)的导函数，则

．参考答案：－1∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=，则f'（）=cos+2×=﹣1．

16.已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=．参考答案：﹣6【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（a）=a4+ab+1=8，从而a4+ab=7，由此能求出f（﹣a）．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，f（a）=8，∴f（a）=a4+ab+1=8，∴a4+ab=7，∴f（﹣a）=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6故答案为：﹣6．17.在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC是钝角三角形”的_____条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)参考答案：充要【分析】利用诱导公式及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．【详解】因为，所以，又因为角，均为锐角，所以为锐角，又因为余弦函数在上单调递减，所以，所以中，，所以，所以为钝角三角形，若为钝角三角形，角、均为锐角所以，所以所以，所以，即故是为钝角三角形的充要条件．故答案为：充要【点睛】本题考查诱导公式及余弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率，且椭圆C上的点E与左焦点F1的最小距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作直线与该椭圆相交于A，B两点，若线段AB恰被点P所平分，求直线的方程．参考答案：解：（1）∵，∴设，，

又∵椭圆上的动点E与距离的最小值为，∴，∴，即，，∴，∴椭圆的方程为；（2）设，的中点为，∴∵，代入上式得∴的方程为即为．

19.已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1?2）?（1+2?3）?（1+3?4）?…?（1+n（n+1））＞e2n﹣3．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；R6：不等式的证明．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，从而令，即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：由题，…故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，取，则，…再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，故，故kmax=3…（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴令，…又ln[（1+1?2）?（1+2?3）?（1+3?4）?…?（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））=即：（1+1?2）?（1+2?3）?（1+3?4）?…?[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…20.设数列满足条件：，且)求证：对于任何正整数n，都有

参考答案：证明：令,则有，且

于是由算术-几何平均值不等式，可得+注意到

，可知

，即

21.（本小题满分12分）若，观察下列不等式：，，…，请你猜测将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。参考答案：将满足的不等式为，证明如下：当时，结论成立；假设时，结论成立，即那么，当时，显然，当时，结论成立。由、知对于大于的整数，成立。（12分）22.（本小题满分12分）NBA总决赛采用“7场4胜制”，由于NBA有特殊的政策和规则，能进入决赛的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等。根据不完全统计，主办一场决赛，每一方组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2000万美元（1）求比赛场数的分布列；(2)求双方组织者通过比赛获得总收益的数学期望。参考答案：解：比赛场数是随机变量，其可取值为4、5、6、7，即，=4、5、6、7，

-------------------1分依题意知:最终获胜队在第场比赛获胜后结束比赛，必在前面—1场中获胜3场，从而，=，=4、5、6、7，------------------