2018届数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第15练直线与圆练习文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21学必求其心得，业必贵于专精PAGE第15练直线与圆[明考情］直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时难度中档偏难。［知考向］1.直线方程.2.圆的方程。3。直线与圆的位置关系。考点一直线方程方法技巧（2）求解直线方程要考虑斜率不存在的情况.1.设a∈R,则“a＝－1"是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行"的(）A。充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D。既不充分也不必要条件答案A解析直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，，5a＋1≠0，））即a＝±1，故a＝－1是两直线平行的充分不必要条件.故选A.2.已知两点A(3，2）和B（－1,4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为（）A。0或－eq\f（1,2） B。eq\f（1,2）或－6C。－eq\f(1,2)或eq\f(1,2） D.0或eq\f（1，2)答案B解析依题意，得eq\f（|3m＋5|，\r(m2＋1))＝eq\f(｜－m＋7｜，\r(m2＋1）).所以｜3m＋5|＝｜m－7｜，所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0，所以2m2＋11m－6＝0，所以m＝eq\f(1，2)或m＝－6.3.已知点A（2,3），B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是（)A.eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（3,4),2））B。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3，4)））∪[2，＋∞）C。(－∞，1]∪［2，＋∞）D.[1，2］答案B解析直线kx－y＋1－k＝0恒过点P（1，1)，kPA＝eq\f(3－1，2－1)＝2，kPB＝eq\f（－2－1，－3－1）＝eq\f(3,4）。若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，结合图象（图略)得k≤eq\f（3，4)或k≥2，故选B。4.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A.3eq\r（2)B。2eq\r（2)C.3eq\r（3）D.4eq\r（2）答案A解析依题意知AB的中点M的集合是与直线l1:x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq\f（|m＋7|,\r(2）)＝eq\f(｜m＋5|，\r(2)）⇒|m＋7|＝｜m＋5|⇒m＝－6，即l:x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为eq\f（|－6|,\r（2））＝3eq\r（2).5。已知点A（－1，0)，B（1,0)，C(0，1）,直线y＝ax＋b(a〉0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A。(0,1）B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（\r（2)，2），\f（1，2）))C.eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(1－\f(\r（2),2)，\f(1,3)))D。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1，2）））答案B解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x,得y＝eq\f（a＋b，a＋1)，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(b，a),0)），结合图形知eq\f(1，2)×eq\f(a＋b,a＋1）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b，a）)）＝eq\f(1，2）,化简得（a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝eq\f（b2,1－2b).因为a＞0，所以eq\f（b2，1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考虑极限位置,即a＝0，此时易得b＝1－eq\f（\r（2),2），故选B.考点二圆的方程方法技巧求圆的方程的两种方法（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数。6。已知点(1，1）在圆(x－a)2＋(y＋a）2＝4内，则实数a的取值范围是(）A。(－1,1)B.（0，1)C。(－∞,－1)∪（1,＋∞)D.（1，＋∞)答案A解析∵点(1，1)在圆的内部,∴(1－a)2＋(1＋a）2＜4,∴－1＜a＜1。7。（2017·贵州黔东南州模拟)已知半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2eq\r(2)均相切，则该圆的标准方程为()A。(x－1）2＋(y＋2)2＝4 B。（x－2)2＋（y＋2)2＝2C。(x－2)2＋(y＋2）2＝4 D。（x－2eq\r（2)）2＋(y＋2eq\r（2))2＝4答案C解析设圆C的方程为（x－a)2＋(y－b)2＝4,且a>0，b〈0.因为该圆与直线x＝0和x＋y－2eq\r(2)＝0均相切,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，，\f(｜a＋b－2\r（2)|，\r(2))＝2，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2,，b＝－2））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，，b＝4\r（2)－2舍。））即该圆的标准方程为（x－2)2＋(y＋2)2＝4.故选C.8.圆心在曲线y＝eq\f(2，x）(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(）A.（x－1)2＋(y－2）2＝5 B。(x－2）2＋(y－1）2＝5C.（x－1）2＋(y－2)2＝25 D.（x－2)2＋（y－1)2＝25答案A解析y′＝－eq\f(2,x2)，令－eq\f（2，x2）＝－2，得x＝1,平行于直线2x＋y＋1＝0的曲线y＝eq\f(2,x）（x＞0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x＋y＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5)。故所求圆的方程为(x－1)2＋（y－2)2＝5。9.已知圆C关于y轴对称,经过点A（1，0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为____________.答案x2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3)，3)))2＝eq\f（4，3）解析因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，可设C（0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2。依题意,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋－b2＝r2，，｜b|＝\f（1，2）r，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（r2＝\f（4，3)，,b＝±\f（\r(3),3）.))所以圆C的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(y±\f（\r（3）,3）)）2＝eq\f(4，3）.10.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________.答案(x－1)2＋y2＝2解析直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2,－1)。当圆与直线相切于点(2，－1）时，圆的半径最大,此时半径r满足r2＝（1－2)2＋（0＋1）2＝2。考点三直线与圆的位置关系方法技巧研究直线与圆的位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题。(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长eq\f(l，2)，构成直角三角形的三边,利用其关系来处理。11.过P(2，0）的直线l被圆（x－2)2＋（y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（）A。±eq\f（\r(2)，4）B。±eq\f（\r(2),2)C。±1D。±eq\f（\r（3)，3）答案A解析由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离d＝eq\f（｜2k－3－2k|，\r（k2＋1））＝eq\f(3,\r(k2＋1))，由圆的性质可得d2＋12＝r2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3，\r（k2＋1）)）)2＋12＝9，解得k2＝eq\f（1，8），即k＝±eq\f（\r（2）,4)。12.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3）2＋y2＝1引切线,则切线长的最小值为()A.1B。2eq\r（2)C.eq\r（7)D.3答案C解析如图所示,设直线上一点P,切点为Q，圆心为M，则｜PQ｜即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，｜PQ|＝eq\r(|PM｜2－｜MQ|2)＝eq\r（｜PM|2－1），要使｜PQ｜最小，即求｜PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1｜，\r（12＋－12））＝2eq\r（2)。所以｜PM｜的最小值为2eq\r(2）.所以｜PQ|＝eq\r（｜PM｜2－1)≥eq\r(2\r（2)2－1)＝eq\r（7）。13。已知圆C1:（x－2)2＋(y－3)2＝1,圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9,M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN｜的最小值为(）A.5eq\r(2)－4 B.eq\r(17）－1C。6－2eq\r(2） D。eq\r（17)答案A解析两圆的圆心均在第一象限,先求｜PC1｜＋|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点14.(2017·天津）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A。若∠FAC＝120°,则圆的方程为______________。答案（x＋1)2＋（y－eq\r(3))2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为（1，0），准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切（如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1,∠CAO＝90°。又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以｜OA|＝eq\r(3)，所以点C的纵坐标为eq\r(3）.所以圆的方程为（x＋1)2＋(y－eq\r（3))2＝1。15.（2016·全国Ⅲ）已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r（3）＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝2eq\r（3），则｜CD｜＝________。答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3），所以|OM｜＝3，解得m＝－eq\f（\r(3),3），由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－\r(3）y＋6＝0,，x2＋y2＝12,))解得A（－3，eq\r(3）），B(0，2eq\r(3))，则AC的直线方程为y－eq\r(3）＝－eq\r(3）（x＋3）,BD的直线方程为y－2eq\r（3）＝－eq\r（3)x，令y＝0，解得C（－2,0)，D(2，0），所以｜CD|＝4。1.直线xcosθ＋eq\r(3）y＋2＝0的倾斜角α的取值范围是________.答案eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π，6）））∪eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5π,6)，π))解析设直线的斜率为k，则k＝tanα＝－eq\f(\r(3),3)cosθ。因为－1≤cosθ≤1，所以－eq\f(\r（3)，3）≤－eq\f（\r(3），3）cosθ≤eq\f（\r(3)，3)。所以－eq\f(\r（3),3）≤tanα≤eq\f（\r(3）,3)。①当0≤tanα≤eq\f（\r（3），3）时，0≤α≤eq\f（π,6）；②当－eq\f（\r（3）,3)≤tanα＜0时，eq\f(5π,6)≤α＜π.故此直线的倾斜角α的取值范围是eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（π，6)））∪eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5π,6），π)）.2.已知直线过点P(1，5），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_________。答案5x－y＝0或x＋y－6＝0解析设直线在两坐标轴上的截距为a。当a＝0时，直线过原点.又直线过点P(1,5）,所以此时直线的方程为5x－y＝0。当a≠0时,设直线的方程为eq\f（x，a）＋eq\f(y，a）＝1,则eq\f(1,a)＋eq\f（5，a）＝1，所以a＝6,所以此时直线的方程为x＋y－6＝0。综上，所求直线的方程为5x－y＝0或x＋y－6＝0。3。已知过点（2，4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6,则直线l的方程为________________.答案x－2＝0或3x－4y＋10＝0解析当l斜率不存在时,符合题意；当l斜率存在时,设l：y＝k（x－2）＋4，C：(x－1）2＋(y－2）2＝10.由题意可得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（｜2－k｜，\r(k2＋1）))）2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(6，2）））2＝10，解得k＝eq\f（3，4)，此时l:3x－4y＋10＝0.综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0。4.直线eq\r(2)ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点），则点P（a，b)与点(0，1）之间距离的最大值为________。答案eq\r（2）＋1解析△AOB是直角三角形等价于圆心（0，0）到直线eq\r(2）ax＋by＝1的距离等于eq\f（\r(2)，2)，由点到直线的距离公式,得eq\f(1，\r（2a2＋b2)）＝eq\f（\r(2),2)，即2a2＋b2＝2,即a2＝1－eq\f（b2，2）且b∈［－eq\r（2),eq\r（2）］.点P（a，b）与点(0，1）之间的距离为d＝eq\r(a2＋b－12)＝eq\r（\f（1，2）b2－2b＋2），因此当b＝－eq\r（2）时,dmax＝eq\r(3＋2\r（2))＝eq\r(2）＋1.解题秘籍(1）直线倾斜角的范围是[0，π)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围.(2)求直线的方程时,不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.(3）和圆有关的最值问题,要根据图形分析,考虑和圆心的关系。1.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（)A。x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0C。2x＋y－3＝0D。x＋2y－3＝0答案D解析点（x，y）关于直线x＝1的对称点为(2－x，y）,2－x－2y＋1＝0⇒x＋2y－3＝0。2。已知直线l过直线3x＋4y－2＝0与直线2x－3y＋10＝0的交点，且垂直于直线6x＋4y－7＝0，则直线l的方程为（）A.2x－3y＋10＝0 B.2x－3y－10＝0C.4x－6y＋5＝0 D.4x－6y－5＝0答案A解析易知直线3x＋4y－2＝0与直线2x－3y＋10＝0的交点为（－2,2)，直线l的斜率为eq\f（2，3).故直线l的方程为y－2＝eq\f(2,3)(x＋2)，即2x－3y＋10＝0。3。平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（)A。2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B。2x＋y＋eq\r（5)＝0或2x＋y－eq\r(5）＝0C。2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D。2x－y＋eq\r（5）＝0或2x－y－eq\r（5）＝0答案A解析设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有eq\f(｜0＋0＋c|，\r（22＋12)）＝eq\r(5)，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A。4.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为()A。（x＋1）2＋y2＝2 B.(x＋1)2＋y2＝8C。(x－1）2＋y2＝2 D.(x－1)2＋y2＝8答案A解析根据题意直线x－y＋1＝0与x轴的交点为（－1，0)。因为圆与直线x＋y＋3＝0相切,所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝eq\f（|－1＋0＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，则圆C的方程为（x＋1）2＋y2＝2，故选A。5.已知圆C:(x－a）2＋(y－a)2＝1（a＞0)与直线y＝2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积为eq\f(1，2）时,实数a的值为()A。eq\f(\r（5)，2）B.eq\f(\r（10)，2)C。eq\f(\r(5),4)D.eq\f（\r（10）,4)答案B解析由题意得，圆C：（x－a)2＋（y－a)2＝1（a＞0)的圆心为C（a，a），半径r＝1，所以圆心到直线y＝2x的距离d＝eq\f(a,\r(5）），所以弦长|PQ|＝2eq\r（r2－d2)＝2eq\r（1－\f（a2,5)），所以△CPQ的面积为S＝eq\f(1，2)|PQ｜·d＝eq\f(1，2)×2eq\r（1－\f（a2,5）)×eq\f（a，\r(5))＝eq\f(a\r(5－a2),5）＝eq\f（1,2)，解得a＝eq\f（\r(10）,2）.6。已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为（）A。(－3eq\r(2)，3eq\r(2)) B.(－∞，－3eq\r（2)）∪(3eq\r（2)，＋∞)C.（－2eq\r（2），2eq\r（2)) D。［－3eq\r(2），3eq\r(2)]答案A解析由圆的方程可知圆心为（0，0）,半径为2。因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝2＋1,即d＝eq\f（｜－a｜,\r（12＋12))＝eq\f(｜a｜,\r（2））＜3，解得a∈(－3eq\r（2)，3eq\r(2)).7。已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB|等于（)A.2B.4eq\r（2）C.6D。2eq\r(10)答案C解析根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴,∴圆心C（2,1）在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A（－4，－1）.∴｜AC|2＝36＋4＝40。又r＝2，∴｜AB|2＝40－4＝36。∴|AB｜＝6。8。(2017·泉州质检）过点P（－3，1)，Q（a，0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________.答案－eq\f(5,3)解析点P（－3，1）关于x轴的对称点为P′(－3,－1）,由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切,因为P′Q：x－（a＋3）y－a＝0，所以由eq\f(|－a｜,\r(1＋a＋32)）＝1，得a＝－eq\f（5,3）。9.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是________________。答案eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(2)，4),\f(\r(2），4）））解析因为已知直线过点（－2，0),那么圆的方程x2＋y2＝2x配方为(x－1）2＋y2＝1，表示的是圆心为（1，0)，半径为1的圆，设过点（－2，0)的直线的斜率为k，则直线方程为y＝k(x＋2)，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即d＝eq\f（｜k－0