广西壮族自治区南宁市武叫中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市武叫中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线C的方程为,若直线的曲线C有公共点，则的取值范围是A． B．C． D．参考答案：A2.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为：A、2

B、

C、6

D、参考答案：D3.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式（

）．种 ．种 ．50种 ．10种参考答案：A由题意，每个人有五种下车的方式，乘客下车这个问题可以分为十步完成，故总的下车方式有510种；故选A4.设的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（

）Ａ．直角三角形

Ｂ.钝角三角形Ｃ．等腰直角三角形

Ｄ.等边三角形参考答案：D5.有下列三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题.其中正确命题的序号是（

）A．①

B．②

C．③

D．①③参考答案：A略6.若，且，则（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：C7.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 （）A． B． C．1 D．参考答案：B略8.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，

，则这个二面角的度数为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.圆在点处的切线方程为（▲）

A．

B．C．

D．参考答案：B略10.长方体中，AB=15，BC=8，则与平面的距离为

（）A．

B．

C．8

D．15参考答案：Ａ二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=，则的值为

.参考答案：12.如下图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，己知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，不考虑A'与A、F重合的情形，给出下列命题：①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A'DE；③三棱锥A'-FED的体积有最大值.其中真命题的序号是_______________.参考答案：①②③13.已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为． 参考答案：﹣3【考点】定积分． 【专题】计算题． 【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可． 【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0， ∴f（x）=x2（x+a），有， ∴a=±3． 又﹣a＞0?a＜0，得a=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力． 14.函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．参考答案：（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．故答案为（0，1）．15.已知，则的最小值为____________参考答案：0略16.在中，已知，则角大小为

参考答案：17.已知函数在(0,2)上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是______.参考答案：【分析】根据条件得的范围，由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前，即得，解不等式即可得解.【详解】由题设，所以应该在第一个最小值后第二个最大值前，所以有，得，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.在应用函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ωx+φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求角B的大小；（2）求2sin2A+cos（A﹣C）的取值范围．参考答案：【考点】等差数列的性质；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）利用正弦定理、等差数列的定义和性质以及诱导公式可得，由此求得角B的大小．（2）三角函数的恒等变换把要求的式子化为，根据角A的范围，求出的范围．【解答】解、（1）∵2bcosB=acosC+ccosA，∴2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC．∴2sinBcosB=sin（A+C），又∵A+C=π﹣B0＜B＜π，∴，即

．（2）由（1）得：，，△ABC为锐角三角形，则，∴．=．∵，∴，即2sin2A+cos（A﹣C）．19.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为，求的面积.参考答案：解：（1）因为直线的参数方程为，得，故直线的普通方程为，又曲线的极坐标方程为，即，因为，，∴，即，故曲线的直角坐标方程为.（2）因为点的极坐标为，∴点的直角坐标为，∴点到直线的距离.将，代入中得，，，，∴的面积.

20.（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求证：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1D⊥DC．（2）求出平面A1BE的一个向量和平面A1BC的一个法向量，利用向量法能求出二面角E﹣A1B﹣C的余弦值．（3）设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），求出平面A1DP的法向量和平面A1BC法向量，利用向量法能求出在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．∴由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，由题意得DE=2，从而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），∵?=0，∴A1D⊥DC．解：（2）平面A1BE的一个向量=（0，0，1），=（2，﹣2，0），=（0，2，2），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则=（﹣，﹣，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣．（3）若存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），=（﹣2，0，2），设平面A1DP的法向量=（a，b，c），则，令c=λ，则=（），则平面A1BC法向量=（﹣，1），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴=﹣3λ﹣3+λ=0，解得λ=﹣，与0≤λ≤1矛盾，∴在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.已知圆台的上下底面半径分别是,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.参考答案：

解析：22.直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图），且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．（1）下面的三个问题中，直线分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）①直线斜率为，求线段的长．②，求直线的方程．③当面积最大时，求直线的方程．我选择问题__________，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．（3）直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．直角坐标系，圆锥曲线的方程，为原点．（如图），且，直线过曲线的上焦点，与椭圆交于点、．自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图3-4中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．参考答案：见解析．（1）①解：由题意可知直线的方程为，椭圆的方程为，由得，设，，则由韦达定理得：，，∴线段．②解：易知直线