（江苏专用）2023版高考数学总复习第十三章第四节空间向量的应用（一）-证明平行与垂直课时作业苏教版

〔江苏专用〕2022版高考数学总复习第十三章第四节空间向量的应用〔一〕——证明平行与垂直课时作业苏教版PAGEPAGE14第四节空间向量的应用(一)——证明平行与垂直课时作业练1.空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)向量a为平面ABC的法向量,且|a|=3,求向量a的坐标;(2)设M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,求x,y,z满足的关系式.解析(1)设向量a=(x,y,z),由题意知a·AB=0,a·AC=0.又AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),|a|=3,所以得方程组-解得x=1,所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).(2)由题意知AM=(x,y-2,z-3),由(1)知a·AM=0,不妨取向量a=(1,1,1),那么x+y-2+z-3=0,即x+y+z-5=0.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,DD1的中点,试求平面ABEF的一个法向量.解析建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,那么A(1,0,0),B(1,1,0),E0,1,所以AB=(0,1,0),AF=-1设平面ABEF的法向量为n=(x,y,z),那么n·AB=(x,y,z)·(0,1,0)=y=0,n·AF=(x,y,z)·-1,0,13.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,假设四边形ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.证明取DP的中点E,连接AE,EN,那么EN=12DC=12AB=AM,又EN∥DC∥AB,所以四边形AMNE为平行四边形.所以MN=AE=12AP+124.(2022江苏宿迁高三模拟)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:BC∥EF;(2)求四棱锥F-OBED的体积.解析(1)证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,又易知QE⊥AD,故以Q为坐标原点,QE、QD、QF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系,那么E(3,0,0),F(0,0,3),B32,-3所以BC=-32,0,32,EF=(-3(2)易得OB=1,OE=2,∠EOB=60°,所以S△EOB=32因为△OED是边长为2的正三角形,故S△OED=3,所以S四边形OBED=S△OBE+S△OED=33由(1)得FQ是四棱锥F-OBED的高,且FQ=3,所以V四棱锥F-OBED=13FQ·S四边形OBED=35.(2022江苏南京、盐城、连云港高三模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=π3,E,F分别是BC,A1(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,且A1MA解析因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.在菱形ABCD中,∠ABC=π3,连接AC,那么因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.以{AE,AD,AA那么A(0,0,0),C(3,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(3,0,0),F32(1)AD=(0,2,0),EF=-32,12,1,故cos<AD故异面直线EF,AD所成角的余弦值为24(2)设M(x,y,z),因为点M在线段A1D上,且A1MA1D那么M(0,2λ,2-2λ),CM=(-3,2λ-1,2-2λ).设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).因为AE=(3,0,0),AF=32,12,1,由n·AE=0,n·AF=0,得x0=06.(2022江苏无锡普通高中高三调研)在四棱锥P-ABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD.DA=AB=2BC=2.(1)求二面角P-CD-A的正弦值;(2)试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.解析(1)因为底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,所以BC∥AD,AD⊥AB,BC⊥AB.过点E作ES∥BC,那么ES⊥AB.又PE⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,ES⊂平面ABCD,所以PE⊥AB,PE⊥ES.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系,那么E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,3),CD=(-2,1,0),PC=(1,1,-3).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),那么n·CD=-2x+y=0,n·PC=x+y-3z=0,取x=1,那么y=2,z=3,故n=(1,2,3).又平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<n,m>=n·m|n||m|(2)设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD,所以EM∥n,即x11=y12=z13,那么y1=2x1,z又PM=(x1,y1,z1-3),PD=(-1,2,-3),PC=(1,1,-3),所以PM=λPC+μPD=(λ-μ,λ+2μ,-3λ-3μ).所以x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),解得λ=4μ,z1-3=-3λ-3μ,λ=12,所以μ=18.所以M点的坐标为根底滚动练(滚动循环夯实根底)1.集合A=x∈Zx-2x+2答案8解析集合A={x∈Z|-2<x≤2}={-1,0,1,2},B={0,1,4},那么集合B的子集有23=8个.2.假设复数z=(a2+a-6)+(a-2)i为纯虚数(i为虚数单位,a∈R),那么|z|等于.

答案5解析由复数z是纯虚数得a23.平面向量a,b满足|a|=3,|b|=23,且a+b与a垂直,那么a与b的夹角为.

答案5π解析由a+b与a垂直可得(a+b)·a=|a|2+a·b=0,那么a·b=-|a|2=-9.那么cos<a,b>=a·b|a||b|4.(2022江苏盐城中学高三模拟)一支田径队有男运发动28人,女运发动21人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取14位运发动进行健康检查,那么男运发动应抽取人.

答案8解析男运发动应抽取2828+215.(2022江苏启东中学高三月考)如图是一个算法流程图,那么输出的n的值是.

答案6解析该流程图运行3次,那么输出的n=2+2+2=6.6.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.假设将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,那么新的底面半径为.

答案7解析V圆锥=13π×52×4=1003π,V圆柱=π×22×8=32π,那么总体积V=1963π.设新的圆锥与圆柱的底面半径为r,那么它们的体积和为13πr2×4+πr2×8=283πr27.定义在R上的函数f(x)=x,-1≤x<0,x答案7解析由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2,在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)在[-5,9]上的图象(图略),由图象可得,两个函数图象的交点个数为7.8.(2022苏锡常镇四市高三调研)直线l:x-y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x-2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,那么点P的横坐标的取值集合为.

答案1解析A(-2,0),设P(x0,x0+2),由AB⊥BP得,点B的轨迹是以AP为直径的圆D,那么圆心Dx0-22,x0当两圆外切时,CD=12x02-2x0+10=2当两圆内切时,CD=12x02-故点P的横坐标的取值集合是139.(2022江苏扬州中学高三月考)向量m=(2,-1),n=sinA(1)当m·n取得最大值时,求角A的大小;(2)在(1)成立的条件下,当a=3时,求b2+c2的取值范围.解析(1)m·n=2sinA2-cos(B+C)=2sinA=-2sin2A2+2sinA令t=sinA2原式=-