正负数及有理数

在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运算的问题．例如：1、天气预报2007年11月某天北京的温度为:－3~3°C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？第1页/共98页第一页，共99页。

在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运算的问题．例如：

这天的最高温度是零上3°C，最低温度是零下3°C，温差是6°C．第2页/共98页第二页，共99页。2、有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1），黄队胜蓝队（1：0），蓝队胜红队（1：0），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？第3页/共98页第三页，共99页。3、某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的尺寸为（mm），这里的代表什么意思？合格产品的长度范围是多少？第4页/共98页第四页，共99页。4、纳米是一种非常小的长度单位,它与长度单位“米”的关系为1纳米=米，应怎样理解这种记数法的表示？纳米冰箱生产线第5页/共98页第五页，共99页。这里出现了一种新数：-3

表示零下3摄氏度，-2

表示净输2球，表示小于设计尺寸而：3表示零上3摄氏度，2表示净胜2球，+0.5表示大于设计尺寸第6页/共98页第六页，共99页。

像-3，-2,-0.5,…这样的数（即以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数．

而在小学学过的除“0”以外的数都叫正数．第7页/共98页第七页，共99页。

为了突出数的符号,可以在正数的前面加“+”号，如+5,+，+1.2,…

我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量!0既不是正数,也不是负数.第8页/共98页第八页，共99页。观察下图，试着说明它们的海拔高度．

珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，鲁番盆地的海拔高度为-155米．0第9页/共98页第九页，共99页。

（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；例题

解：（1）这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg．

第10页/共98页第十页，共99页。

（2）2006年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%．写出这些国家2006年商品进出口总额的增长率．例题解：六个国家2006年商品出口总额的增长率：美国-6.4%，德国1.3%，法国-2.4%，英国-3.5%，意大利0.2%，中国7.5%．第11页/共98页第十一页，共99页。课堂练习

（1）如果零上5°C记作+5°C，那么零下3°C记作什么？（2）东、西为两个相反方向，如果-4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？物体原地不动记为什么？（3）某仓库运进面粉吨记作吨,那么运出吨应记作什么?第12页/共98页第十二页，共99页。解:（1）零下3°C记作-3°C．（2）+2米表示一个物体向东运动2米；物体原地不动记为0米．

（3）运出吨应记作吨．课堂练习第13页/共98页第十三页，共99页。自主学习问题:正负数与相反意义的量之间是什么关系？问题:这种关系说明了什么？1、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。第14页/共98页第十四页，共99页。练习11、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。1、如果将+8元计为收入8元，则-6元表示

_______

。2、高出海平面789米计为＋789米，则-789米表示__

______

。3、减少60千克计为－60千克，则+80千克表示

______

。4、把公元2008年记作+2008年，那么-20年表示

_______。2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。1、零下15℃，表示为____℃，比O℃低4℃的温度是____℃。2、正表示向西，则负表示为________。3、粮食产量增产11％，记作+11％，则减产6％应记作_______。4、某天中午11时的温度是11℃，早晨6时气温比中午11时低7℃，则早晨6时温度为_____℃，若早晨4时气温比中午11时低13℃，则早晨4时温度为_______℃。支出6元低于海平面789米增加80千克公元前20年—15—4东—6％4—2第15页/共98页第十五页，共99页。2、若将28计为0，则可以将27计为－1，试猜想若将27计为0，28应计为

。1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得90分应记作______，得80分应记作______。练习23．如果向东走12米记作+12米，则向西走120米记作______米。4．如果向东走12米记作—12米，则向西走120米记作_____米。+7分—3分+1—120+120第16页/共98页第十六页，共99页。

由于我国农业的发展，每年我国从国外进口的粮食正逐年下降，2006年进口粮食比2005年增加了—5％，增加—5％是什么意思？

由于我国经济的发展，每年我国从国外进口的石油正逐年上升，2006年进口石油比2005年减少了—2.43％，减少—2,43％是什么意思？第17页/共98页第十七页，共99页。1、一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸______毫米，最小不低于标准尺寸______毫米．2、味精袋上标有“500±5克”字样中，+5表示_____________，-5表示____________．3、张大妈在超市买了一袋洗衣粉，发现包装袋上标有这样一段字条：净重：800±5g．张大妈怎么也看不明白是什么意思．你能给她解释清楚吗？505克495克这袋洗衣粉的质量在805—795克之间。第18页/共98页第十八页，共99页。小结：（1）正数和负数是表示一些意义相反的量；（2）零既不是正数也不是负数．第19页/共98页第十九页，共99页。1.2有理数第20页/共98页第二十页，共99页。一、知识回顾问题1：什么是正数？什么是负数？0是正数吗，0是负数吗？问题2：正数与负数之间具有什么意义？问题3：你能再举出一些用正、负数表示数量的实例吗？答案：例如＋5，＋，我们把这样带有正号的数叫做正数（正号可以省略不写）.例如：－3，－，－我们把带有负号的数叫做负数.0即不是正数也不是负数.正数与负数表示是具有相反意义.例如：存入银行1500元，记作＋1500元，支出500元，记作－500元.第21页/共98页第二十一页，共99页。按整数、分数分类：按符号分类：{整数分数{{正整数0负整数正分数负分数}自然数{正有理数0负有理数{{正整数负整数正分数负分数有理数有理数第22页/共98页第二十二页，共99页。整数：正整数、0、负整数统称整数。分数：正分数和负分数统称分数。有理数：整数和分数统称有理数。概念第23页/共98页第二十三页，共99页。第24页/共98页第二十四页，共99页。例1：把下列各数填入相应的集合内：

正数集合整数集合负分数集合非负整数集合…………第25页/共98页第二十五页，共99页。整数集合{}分数集合{}负分数集合{}非负数集合{}非正数集合{}有理数集合{}第26页/共98页第二十六页，共99页。

例3：判断题：（1）零不是整数，也不是正数。（2）自然数一定是整数。（3）一个数，如果不是正数，必定就是负数；（4）一个数，不是整数，必定就是分数；

（5）在有理数中，是负数而不是分数的是负整数；

（6）在有理数中，是整数而不是正数的是负整数。

第27页/共98页第二十七页，共99页。1.有理数中，最大的负整数是

；最小的正整数是

；

最小的非负整数是

；最大的非正数是

；最大的负偶数是

．-１１００-２第28页/共98页第二十八页，共99页。2.图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请分别在图中的三部分中各填入3个数.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗?………正数集合整数集合第29页/共98页第二十九页，共99页。

3.判断题：（1）零是正数.（2）零是整数.（3）零是最小的有理数.(4)零是非负数.(5)零是偶数.

第30页/共98页第三十页，共99页。

1．有限小数和无限循环小数都属于分数，你能将下列各数转化为分数吗？课后思考题第31页/共98页第三十一页，共99页。1.3有理数的

加减法第32页/共98页第三十二页，共99页。

小明在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走 了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向， 与原来位置相距多少米？

1. 若两次都向东，一共向东走了：(20)(30)50米 即小明位于原来位置的东方50米处

2. 若两次都向西，一共向西走了：(20)(30)50米 即小明位于原来位置的西方50米处

3. 若第一次向东走20米，第二次向西走30米， (20)(30)10米即小明位于原来位置的西方10米处第33页/共98页第三十三页，共99页。 4. 若第一次向西走20米，第二次向东走30米， (20)(30)10米即小明位于原来位置的 东方10米处

5. 若第一次向西走30米，第二次向东走30米， (30)(30)0 6. 若第一次向西走30米，第二次没走，

(30)030第34页/共98页第三十四页，共99页。

有理数的加法法则:（1）同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;（2）绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加 数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;（3）互为相反数的两个数相加得零;（4）一个数同零相加,仍得这个数.第35页/共98页第三十五页，共99页。[例1]

计算:（1）（2）（3）

（4）（5）（6）第36页/共98页第三十六页，共99页。 [例2]

一口水井，水面比水井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了米又往下滑了米；第二次往上爬了米又往下滑了米；第三次往上爬了米又往下滑了米；第四次往上爬了米又往下滑了米;第五次往上爬了米，没有下滑;第六次往上爬了米.问蜗牛有没有爬出井口?解(0.1)(0.15)(0.15)(0.1)03答:蜗牛没有爬出井口.第37页/共98页第三十七页，共99页。

[例3]

若x3与

y

2互为相反数，求xy的值 解：

x3

y

2

0，

x3,y2

xy(3)(2)5第38页/共98页第三十八页，共99页。[例4]

计算:（1）（2）（3）第39页/共98页第三十九页，共99页。（4）（5）（6）第40页/共98页第四十页，共99页。[例5]

两个加数的和一定大于其中一个加数吗?答案为：不一定。第41页/共98页第四十一页，共99页。[例6]

若a

15,

b

8,且ab,

求ab解：a15,b=8,ab

则a15,b8,

当a15,b8时，ab23

当a15,b8时，ab7第42页/共98页第四十二页，共99页。[例7]已知

求:（1）(a)b(c)

解：（2）第43页/共98页第四十三页，共99页。[例8]

分别列出一个含有三个加数的满足下列条件的算式:(1)所有的加数都是负数,和为13;1(2)(10)(2)一个加数为0,和为13;(9)(4)0(3)至少有一个加数是正整数,和为13;(1)(4)(10)第44页/共98页第四十四页，共99页。 [例9]

如图,将数字2，1，0，1，2，3，4，5，6，7这是个数字分别填写在五角星中每两个线的交点处(每个交点只填写一个数),将每一行上的四个数相加,共得到五个数,设a1,a2,a3,a4,a5.

则（1）a1a2a3a4a550

（2）交换其中任何两数的位置后,a1a2a3a4a5的值是否改变?

1627213504第45页/共98页第四十五页，共99页。无论怎样交换各数的位置，按规则相加后，每个数都用了两次，a1a2a3a4a5=2(1201234567)=50所有值不变。答:不变.第46页/共98页第四十六页，共99页。

有理数的减法

第47页/共98页第四十七页，共99页。

有理数的减法法则:

减去一个数,等于加上这个数的相反数.第48页/共98页第四十八页，共99页。

[例1]

计算:

（1）852758

（2）278527(85)(8527)58

（3）(13)(21)13(21)21138

（4）(13)(21)13(21)

34

（5）(21)(13)21(13)(2113)8

（6）(21)(13)21(13)34第49页/共98页第四十九页，共99页。[例2]

计算：（1） (4.8)(4.8)8（2）（3） 00(5.6)（4）第50页/共98页第五十页，共99页。[例2]

全班学生分成6个组进行游戏,每组的基分为100分答对一题加50分,错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下: (1)第一名超过第二名多少分?350200150 (2)第一名超过第六名多少分? 350(200)350200550第一组第二组第三组第四组第五组第六组20050350200100150第51页/共98页第五十一页，共99页。[例3]

某日长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下:问:哪个城市的温差最大?哈尔滨哪个城市的温差最小?大连城市哈尔滨长春沈阳北京大连最高气温233126最低气温1210822第52页/共98页第五十二页，共99页。[例4]

下表列出国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)（1）如果现在的北京时间是中午

12:00, 那么东京时间是多少? 12113（2）如果小芳给远在纽约的舅舅打电话,她在北京时间下午14:00打电话,你认为合适吗?答案：14(13)1不合适城市时差纽约13巴黎7东京1第53页/共98页第五十三页，共99页。 [例5]

计算11796

解原式11(7)(9)6

276

21第54页/共98页第五十四页，共99页。[例6]

已知a4,b5,c7,求代数式abc的值．解:原式

abc(4)(5)(7)8第55页/共98页第五十五页，共99页。[例7]若a0,b0,试求ab1

ba1的值解:

ab1

ba1

ab1[(ba1)]

ab1ba1

0第56页/共98页第五十六页，共99页。[例8]（1）两个负数的和为a,他们的差为b,则a与b的大小关 系是（）

A.abB.abC.abD.ab（2）已知b0，a0,则a，ab，a+b的大小关系是() A.aabab B.abaab

C.ababa D.abaab第57页/共98页第五十七页，共99页。[例9]点A，B在数轴上分别是表示有理数a，b,A，B两点间的距离表示为AB

ab

回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点间的距离是：（2）数轴上表示2和5的两点间的距离是：（3）数轴上表示1和3的两点间的距离是：（4）数轴上表示x和1的两点间的距离是：,如果

AB

2，那么x25

3

2(5)31(3)

4

x11或3第58页/共98页第五十八页，共99页。[例10]设(x)表示不超过数x的整数中最大的整数，例如(2.53)2， (1.3)2，根据此规定，试做下列运算：（1）(5.3)(3)538（2）(4.3)()505（3）()(1)0(2)2（4）(0)(2.7)0(3)3第59页/共98页第五十九页，共99页。有理数的

加减混合运算第60页/共98页第六十页，共99页。1．有理数加减法统一成加法的意义(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式， 如(12)(8)(6)(5)(12)(8)(6)(5)(2)在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省l略不写，写成省略加号的和的形式： 如(12)(8)(6)(5)12865(3)和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作＂12，8，6，5的和〃；二是按运算的意义，读作＂负12，减8，减6，加5〃．第61页/共98页第六十一页，共99页。2．有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号（2）运用加法法则，加法运算律进行简便运算第62页/共98页第六十二页，共99页。[例1]

计算：(10)(13)(4)(9)6

解原式10(13)(4)(9)6

12第63页/共98页第六十三页，共99页。[例2]

计算解：原式第64页/共98页第六十四页，共99页。[例3]把 算式省略加号代数和,并计算出结果.解算式第65页/共98页第六十五页，共99页。[例4]

填空（1）比小2的数是_________,比大3的数是___________.（2）6xy的最大值___,此时x与y是什么关系____（3）如果

a

4,b8，a与b异号,

则ab____第66页/共98页第六十六页，共99页。

[例4]

填空（1）比小2的数是___________,比大3的数是

__________.（2）6xy的最大值是

6,此时x与y是什么关系

xy

.（3）如果a4,b8，a与b异号,

则ab

12,12.第67页/共98页第六十七页，共99页。[例5]

求值:若a与3的相反数的和为1,b的绝对值等于2,c6,求代数式abc的值解: a31,a4,b2,b2 abc42612 abc4268第68页/共98页第六十八页，共99页。[例6]

你能找到三个整数a，b，c,使得关系式

(abc)(abc)(abc)(abc)3388成立吗?

如果能找到,请你举出一例;如果找不到,请你说明理由.解: 不妨设abc

为偶数.

则abc(abc)2b

为偶数

abc(abc)2c

为偶数

abc(abc)2a

为偶数

∴(abc)(abc)(abc)(abc)能被16整除,而3388不能被16整除.第69页/共98页第六十九页，共99页。1.4绝对值第70页/共98页第七十页，共99页。

小明的家在学校西边3Km处，小丽的家在学校东边2Km处。-3-2-101232你能建立数轴恰当表示他们的位置吗？假如他们步行的速度相同，谁先到学校？为什么？第71页/共98页第七十一页，共99页。

数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。例如：表示-3的点与原点的距离是

，-3-2-101232所以-3的绝对值是

；表示2的点与原点的距离是

，表示0的点与原点的距离是

，所以2的绝对值是

；所以0的绝对值是

。第72页/共98页第七十二页，共99页。

如图，你能说出数轴上A、B、C、D、E、F各点所表示的数的绝对值吗？点点所表示的数点到原点的距离数的绝对值

ABCDE012345-1-2-3-4-5ABCDEFF第73页/共98页第七十三页，共99页。归纳：有理数的绝对值的求法1.画数轴,标出有理数所在点，得到点到原点的距离2.求得有理数的绝对值有理数绝对值点距离第74页/共98页第七十四页，共99页。例1.求4与-3.5的绝对值.解：在数轴上画出表示4和的点A和点B.-3-2-1012-434AB因为点A与原点的距离是4，所以4的绝对值是4因为点B与原点的距离是，所以的绝对值是4第75页/共98页第七十五页，共99页。绝对值的表示方法4的绝对值表示为:的绝对值表示为:0的绝对值表示为:∣4∣=4∣-3.5∣

∣0∣

=3.5=0第76页/共98页第七十六页，共99页。例.比较-3与-6的绝对值的大小.∵∣-3∣=３，∣-6∣=６36<∴

∣-3∣

∣-６∣<即-3的绝对值小于-6的绝对值。36-5-4-3-2-10-6解：第77页/共98页第七十七页，共99页。练一练：1.（1）在数轴上画出表示下列各数的点：（2）填空：∣0∣=∣9∣=∣-0.4∣=∣∣=∣-2∣=(3)比较-3、、-2的绝对值的大小，并用“<”号把它们连接起来.-3∣∣=-3-0.409-2第78页/共98页第七十八页，共99页。一.回答下列问题:1.说出表示的意义.∣∣2.到原点距离为3的数是

.3.绝对值为3的数是

.4.绝对值为-3的数是

.5.“任何数的绝对值都是正数”的说法对吗?第79页/共98页第七十九页，共99页。6.最小的绝对值为

.7.绝对值最小的数是

.8.绝对值小于的整数是

.9.绝对值不大于3的整数是

.第80页/共98页第八十页，共99页。二.比较下列各对数的大小:(1)2与0(2)-2与0(3)2与-2(4)-2与-4(5)-2与∣

∣

-4(7)-2与∣

-∣

-4(6)与0∣

∣

-4第81页/共98页第八十一页，共99页。三.计算:×(1)∣∣

-24+∣∣

-5(2)-∣∣

-24∣∣

-5(3)∣∣

-24∣∣

-5(4)÷∣∣

-24∣∣

-5第82页/共98页第八十二页，共99页。小结:1.绝对值的实质是什么?2.最小的绝对值是多少?3.绝对值最小的数是多少?4.有理数的绝对值的范围是?第83页/共98页第八十三页，共99页。绝对值与相反数第84页/共98页第八十四页，共99页。有理数王国的公民+1一天不小心掉进了一个魔瓶里。谁知出来后竟变成胖乎乎的0，你说怪不怪？冷眼旁观的2说：“谁叫这瓶里睡着他的相反数兄弟呢？幸好我兄弟不在里面！”同学们，你想知道+1的相反数兄弟是谁？为什么他俩见面后就变成0呢？就让我们一起走进神奇的相反数的世界吧!我怎么就变胖了呢？哈哈！我还是我！第85页/共98页第八十五页，共99页。

请两位同学背靠背，一人向前走5步，一人向后走5步。如果向前为正，向前走5步，向后走5步，分别记作什么？向前5步记作+5，向后5步记作-5。+5与-5就叫做互为相反数。活动一第86页/共98页第八十六页，共99页。你能在数轴上找两个点，使它们所代表的数互为相反数吗？试一试01-12-2哈哈！我来了。我的相反数在哪？第87页/共98页第八十七页，共99页。具备什么样特点的两个数才互为相反数呢？（小组讨论）像+2与-2，+5与-5这样符号不同，绝对值相等的两个数叫做互为相反数（o