2023年辽宁省辽宁某大学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,...

599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313157860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是()

A.324B.522C.535D.578

2.下列函数中，图象关于y轴对称的为()

A。SB./(x)=,7+2x+j7-2x,xe[-l,2]

ex+

C./(x)=sin8xD・f(x)=；

3.在AABC中，A3=2,AC=3,ZA=60°,。为AABC的外心，若而=不通+》/，x,yeR,则2%+3y=

()

.543

A.2B.-C.-D.一

332

/、flog(1-x)x<0/、

4.定义在R上的函数/(x)满足/(x)=I9；')r>0'则62°19)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.已知月、工是双曲线J-，=l(a>0,6>0)的左右焦点，过点工与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一

条渐近线于点M，若点“在以线段”工为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(瓜2)C.(叵百)D.(1,0)

6.在声学中，声强级L(单位：dB)由公式L=101g(V/)给出，其中/为声强(单位：W/m2).L,=60dB,

L,=75dB,那么4=()

一l2

4433

A.咛B.2C.--D.炉

7.已知数列4,—,—，…，’工是首项为8,公比为!得等比数列，则小等于()

q%2

A.64B.32C.2D.4

8.已知函数/(x)=3sin(<yx+°),(3>0,0<0<兀)，若/(一(=0,对任意xeR恒有/(x)W,在

区间上有且只有一个*使/&)=3,则①的最大值为()

9.已知定义在R上函数“X)的图象关于原点对称，且〃l+x)+/(2-x)=0,若/⑴=1,则

/⑴+/⑵+/⑶+…+/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

10.在AABC1中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,。是48的中点，若8=1,且

[asinA=(c+Z?)(sinC-sinB),则△ABC面积的最大值是()

A.史B.1C.姮D.亚

55105

11.执行如图所示的程序框图，若输入的1=3,则输出的i=()

A.9B.31C.15D.63

12.已知/(x)为定义在R上的奇函数，且满足/(x+4)=/(x),当xe(0,2)时，f(x)=2x2,则/(3)=()

A.-18B.18C.-2D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(%)=4cos@xsin(5-f)+0(。>0)的最大值与最小正周期相同，则在［-1,1］上的单调递增区间为

4

lx2+5x+4|,x<0,.

14.已知函数，(x)={1,।,若函数y=/(x)-ax恰有4个零点，则实数”的取值范围是________.

2|x-2|,x>0

1x2+£+J.<o

15.已知函数/(x)=6x2'x，若关于x的方程/(x)+/(—x)=O在定义域上有四个不同的解，则实数”

Inx—x,x>0

的取值范围是.

16.(5分)有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和

尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为45()cm,中间两个和尚的

身高之和为315cm,则最高的和尚的身高是cm.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，已知四棱锥底面A3CO为边长为2的菱形，24_L平面43CD,NA5C=6O。，E

是8C的中点，PA=AB.

(I)证明：AE1.PD；

(H)若F为PD上的动点,求即与平面PAD所成最大角的正切值.

18.(12分)已知函数=入£--ax

(1)讨论/G)的单调性；

(2)当x>-/时,/(x)+V-a+/>0,求。的取值范围.

19.(12分)已知椭圆。的短轴的两个端点分别为4(0,1)、5(0,-1),焦距为

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知直线>=加与椭圆C有两个不同的交点M、N,设。为直线AN上一点，且直线BO、BM的斜率的积

为--.证明：点。在x轴上.

4

20.(12分)已知函数/(*)=；才—ae*-2a2》.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)N0恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为产，准线为/,为抛物线C过焦点尸的弦，已知以AB为直

径的圆与/相切于点(一1,0).

(1)求〃的值及圆的方程；

(2)设M为/上任意一点，过点”作C的切线，切点为N,证明：MF1NF.

22.(10分)为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与8市之间建一条直达公路，中

间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2，篦，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概

率均为;.

(1)现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示:

A市居民5市居民

喜欢杨树300200

喜欢木棉树250250

是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；

(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M,求证：-l)(m-2).

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的,

重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,…，故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

2.D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

4中，xeR,/(一幻=J(二:+]=_/0),故/(幻二君工为奇函数;

5中，/（X）=47+2x+j7-2x的定义域为[—1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(x)=sin8x为奇函数；

。中，xeR且XHO,/(-幻=占葭=/(幻，故/•(x)=《¥：为偶函数.

(-X)x~

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

(1)定义法：对于函数/⑶的定义域内任意一个r都有/(x)=-/(-x),则函数/(x)是奇函数；都有/(x)于，x),

则函数/(x)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点()'轴)对称.

3.B

【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x,即可求出2x+3y的值.

【详解】

如图所示过。做三角形三边的垂线，垂足分别为O,E,F,

过。分别做AB,AC的平行线NO,MO,

B

心由旧zcnoAB2+AC2-BC29+4+BC2G

由题知cos60=---------------=----------=>BC-v7,

2-AB-AC12

则外接圆半径r=—BC—=—

2-sin6003

因为所以0。=〃。2一折

214

又因为NDMO=60°,所以。M=—nAM=—,M0=AN=-

333

由题可知M=xAB+yAC=AM+AN,

iAM1AN4

所以x==—，y=——=-,

AB6AC9

所以2x+3y=g.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.

4.C

【解析】

推导出“2019)=0(403x5+4)=/(4)=/(-1)=log22,由此能求出“2019)的值.

【详解】

log(l-x)x<0

•••定义在R上的函数/(x)满足/(%)=2

/(x-5)无>0’

.•.〃2019)=〃403x5+4)=/(4)=〃—l)=log22=l,故选c.

【点睛】

本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.

5.A

【解析】

双曲线三-方=1的渐近线方程为y=+-X>

不妨设过点F.与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-(x-c),

a

与y=-±hx联立，可得交点M(r；,he

a22a

：点M在以线段FFi为直径的圆外，

c2b2c2

/.|OM|>|OFi|,即有一+—>c*,

44ar

.2

—>3,即bi>3al

a"

c1-a1>3ai,即c>la.

则e=£>1.

a

•••双曲线离心率的取值范围是(1,y).

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,

c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的

坐标的范围等.

6.D

【解析】

由L=101g(备］得笆/=+一12,分别算出乙和乙的值，从而得到｝的值.

【详解】

”=则康>

A£=10(lgZ-lgl0-|2)=10(lg/+12),

；.怆/=±-12,

当右=60时，lg(=4一12=丝—12=—6,乙=10-6,

11()1()

当£,=75时，1g/,=区-12=三-12=-4.5,=10i5,

-21010

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，属于基础题.

7.A

【解析】

根据题意依次计算得到答案.

【详解】

根据题意知：4=8,幺=4,故4=32,幺=2,%=64.

%%

故选：A.

【点睛】

本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.

8.C

【解析】

根据/(%)的零点和最值点列方程组，求得④。的表达式(用k表示)，根据/(%)在［KJ上有且只有一个最大值,

求得”的取值范围，求得对应A的取值范围，由〃为整数对人的取值进行验证，由此求得口的最大值.

【详解】

71.3(2左+1)

----(P—%］兀，

4'

由题意知＜eZ,贝(),(21+1)兀其中k=M+k

71,兀

—co+e=hTt+—,夕二>~，

又/(内)在12，?］上有且只有一个最大值,所以2一二=四427,得。＜°W30,即N2八1)

＜30,所以

\1557515154

k<19.5,又ZeZ,因此4W19.

71.

——0)+(/)=攵］兀，

3成立，当xe兀71

①当左=19时，3=——，此时取°可使，时,

44兀.71I?'?

—co+(p=公兀+一，

U2

1111^Q

手x+半e（2.7兀,6.6兀），所以当皆占+?=4.5兀或6.5兀时，"％,）=3都成立，舍去;

兀

----(X)+(P=攵7］兀，

3

②当左=18时，=此时取*=工可使，成立，当兀71时，匕工+（£（2.1兀,5.8兀），

9

44兀,兀155

y69+^9=K27t+—,

所以当斗七+；=2.5兀或4.5兀时，/（5）=3都成立，舍去;

兀7

------69+9=k、冗,

③当％=17时，啰=皿，此时取夕=包可使＜3成立，当71TI,1053兀（一匚,、

X€时，工-£（兀,兀）

94x+2.569

44兀,兀155

—co-\-(p=K2TI+—.

所以当丁%+彳=4.5兀时，/（xj=3成立;

综上所得。的最大值为

4

故选:C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于中档题.

9.B

【解析】

由题知“X）为奇函数，且/（1+力+/（2-x）=0可得函数”X）的周期为3,分别求出

/（0）=0,/（1）=1,/（2）=-1,知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.

【详解】

因为/（x）为奇函数，故/（。）=0；

因为/（l+x）+/（2—x）=0,故/（l+x）=—/（2—x）=/（x—2）,

可知函数〃x)的周期为3；

在/(l+x)+/(2-x)=0中，令％=1,故/(2)=-/(1)=一1,

故函数/(x)在一个周期内的函数值和为0,

故/(1)+/(2)+/(3)+.-.4-/(2020)=/(I)=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用

奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

10.A

【解析】

根据正弦定理可得(a-g。)=(c+3(c-))，求出cosC,根据平方关系求出sinC.由2丽=5+而两端平方，

求出?的最大值，根据三角形面积公式S==oAinC,求出AABC面积的最大值.

2

【详解】

△ABC中,A=(c+Z?)(sinC-sinB),

由正弦定理可得("；"a=(c+b)(c-8),整理得

由余弦定理=cr+kr-ZabcosC.得cosC=Ce(O,^),sinC=

•.•。是A3的中点，且C£>=1,

•••2CD^CA+CB,.'.(2CD)2=(互+函『，即\cD=CA+CB2+2CA-CB，

BP4=/?2+c，+2hacosC=a2+b2+—ab>lab+—ab--ah

2229

8

:,曲£三,当且仅当。=〃时，等号成立.

/.△ABC的面积S=—absinC<—=

22545

所以AABC面积的最大值为史.

5

故选：A.

【点睛】

本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.

11.B

【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【详解】

执行程序框"3,j=0；r=8,z=l；f=23,j=3；

t=68,z=7；t=203,i=15；t=608,；=31,

满足1>606,退出循环，因此输出，=31,

故选:B.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

12.C

【解析】

由题设条件/(x+4)=/(x),可得函数的周期是4,再结合函数是奇函数的性质将/(3)转化为/(1)函数值，即可

得到结论.

【详解】

由题意，J，(x+4)=/(x),则函数“X)的周期是4,

所以，/(3)=/(3-4)=/(-1),

又函数”X)为R上的奇函数，且当xe(0,2)时，/(x)=2x2,

所以,/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.

【详解】

■:/(%)=4cossincox-孝coscox)+A/2

=2V2sincoxcoscox-2V2cos2cox+丘

=yflsin2cox-V2cos2a)x

TT

=2sin(269x--),

则函数的最大值为2,周期7=弃=生,

2。co

•・•/(X)的最大值与最小正周期相同，

■--=2,得@=

co2

TT

贝！J/(x)=2sin(〃x----),

4

当—1融1时，一2融了_工网，

444

则当一工轰打x-2工时，得—2领k

24244

即函数.f(x)在［-1,11上的单调递增区间为

44

13

故答案为：［-■.

44

【点睛】

本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为

定义域的一个子区间.

14.(1,3)

【解析】

函数y=/(x)-a|H恰有4个零点，等价于函数Ax)与函数y=a|X的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用

数形结合思想进行求解即可.

【详解】

函数y=/(x)-4国恰有4个零点，等价于函数f(x)与函数y=a|x|的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图

故答案为：(1,3)

【点睛】

本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

15.‘别

【解析】

2

由题意可/(X)+/(-X)=0在定义域上有四个不同的解等价于V=yX+-+^关于原点对称的函数

6x2

丁=一：/+£一g与函数〃力=1门一%(%>0)的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析

单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.

【详解】

1+—4-1x<0

已知定义在(F,O)D(O,”)上的函数/(x)=6X2'

lnx-x,x>0

若/(x)+/(-x)=O在定义域上有四个不同的解

一5^+色一!与函数Ax)=，〃x・x(x>0)的图象有两个交点,

6x2

联立可得In%—xH—x2-----1—=。有两个解，即a=xlnx—尤“4—x3H—x

6x262

2o]3]123

可设g(x)=x\nx-x+—X+—x9贝!Jg'(x)=lnx-2x+—x+—,

6222

进而g〃(x)=x+[-22O且不恒为零，可得g'(x)在(0,+力)单调递增.

由g'(l)=O可得

Ovxvl时，，(x)〈O,g(x)单调递减;

x>l时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

即g(无)在％=1处取得极小值且为q

作出y=g(x)的图象，可得一,<〃<()时，lnx—x+!x2一0+'=0有两个解.

36x2

故答案为：(一

【点睛】

本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

16.181.5

【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为％cm,a2cm,%cm,第四个(最高)和尚的身高为a4cm,则4+/+4=3%=450,解

得见=150,又％+a,=315,解得心=165,又因为々，4，出成等比数列，则公比4吟=瑞=口，故

a4=a3q=165x1.1=181.5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析；(U)如.

2

【解析】

试题分析：（I）由底面ABC。为边长为2的菱形，R4_L平面ABC。，N/LBC=60°,易证A£，平面PAD，可

得AE_LPZ）；（II）连结AE,由（I）易知NA7芯为EE与平面尸AD所成的角，在R/APAD中，可求得

*AE_46

tan/LAFE--•

AF2

试题解析：（I）；四边形A8CD为菱形，且NABC=60。，

二AA8C为正三角形，又E为8C中点，

/.AEA.BC；又ADIIBC,

:.AEYAD,

VPA_L平面ABCD,又AEu平面ABCD,

:.PA±AE,

二AE_L平面PAD,又月Du平面B4£）,

：•AE±PD;

（II）连结A/7,由（I）知AEL平面240，

•••ZAFE为EF与平面PAD所成的角，

在R/AAEF中，AE=5Z4EE最大当且仅当AF最短,

即A尸，PD时Z4EE最大，

依题意，此时，在RAPA。中，PAAD=PDAF,

:,AF=叵，tanZAFE=—,

AF2

:.EF与平面PAD所成最大角的正切值为限.

2

考点：1.线线垂直证明；2.求线面角.

18.（1）见解析：（2）（-8,1]

【解析】

(1)r(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论，即可得出单调性.

1XX

(2)由xe'・ax・a+lK),可得a(x+l)＜xex+L当x=・l时，恒成立.当x＞・l时，a＜丝----令g(x)士f-----；

。~x+1x+l

利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

【详解】

解法一：(1)f(x)=e+xe-ax-a=(e-a)(x+1)

①当aWO时，

Xf-00,-1)-1(-1,+幻

f(x)-0+

f(x)极小值/

所以〃制在8,-〃上单调递减，在(・1,+©单调递增.

②当a＞。时，f(x)=0的根为,v=Ina或:v=-1.

若Ina＞-1,即a＞—，

X6-00,-1)-1(-7,Ina；\naflnn,+g)

f(x)+0-0+

f(x)7极大值X极小值/

所以仆•，在6・8,-1),fliu,+到上单调递增，在(・/JnR上单调递减.

若Inq=-I9即。=一，

e

f(x)＞庶(-0+到上恒成立，所以的在8,+◎上单调递增，无减区间.

若Ina＜・/,即0＜。＜-，

X(-Q0,ln(7>Inaflna,-1)-1

f(x)+0-0+

f(x)/极大值极小值/

所以他在(・co,Ina),(.1,+ao＞上单调递增，在-〃上单调递减.

综上：

当CT曲，”制在，・8,・。上单调递减，在+匈上单调递增；

当0<a<-时,在<-<lna),(-，+到上单调递增,在flna,-〃上单调递减;

e

自”,时，向在(-8,+到上单调递增，无减区间；

e

当Q〉'时，f(x)在(也+3上单调递增，在上单调递减.

e

(2)因为.ax.a+120，所以"x+1)<xey+1*

当X=-/时，o£'+/恒成立.

e

当CM时，左上

-x+/

设贴)=e(x"+x+/)-/，

因为。的二eYG+7)(x+2)>原工£(・1，+到上恒成立，

即/?Cv)=ex(x2+x+/)-/在x£(・，，+8)上单调递增.

又因为"(0)=0,所以以刈=贮土2在(一1⑼上单调递减，在”,+划上单调递增,

则g«，min=g(0)=1，所以a4人

综上，”的取值范围为(-8〃].

解法二：(1)同解法一；

(2)令g(x)=f(x)+~x'-a+1=xe-ax-a+b

所以g(x)=e+xe-a=e(x+1)-a>

当aWO时，g(x)>fl,则g,)在[-/,+oo)上单调递增,

所以gdNg0,满足题意.

e

当0<aW/时，

令h(x)=e+xe-a9

因为6(x)=2e+xe>0，即6㈤=e+xe--L+oo)上单调递增.

又因为。(・1)=・av0,力(0)=1-a>09

所以力的=/+xe'-a=冰:I，。】上有唯一的解，记为X。，

X(-1'XQ)xo(Xff+8)

g(x)-0+

g(x)极小值/

gaJmin=g(xJ=xoe°-axo-a+1

=xoe-(e+xoe)xQ-(e+x/)+1

]2s，x

=-e°(x+~)+:+1>-e°+1>0>满足题意.

nuZ4

当a>/时，g(O)=-a+1<0,不满足题意.

综上，”的取值范围为(-8,1].

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

V-2*4

19.(1)—+/=1；(2)见解析.

4'

【解析】

(1)由已知条件得出。、。的值，进而可得出。的值，由此可求得椭圆。的方程；

(2)设点/(%,〃?)，可得N(-x”〃z),且x尸0,求出直线3M的斜率，进而可求得直线8D与AN的

方程，将直线直线与AN的方程联立，求出点。的坐标，即可证得结论.

【详解】

b—\

(1)由题设，得广，所以〃2=82+02=4,即〃=2.

c=

2

故椭圆C的方程为上+y2=i；

4

(2)设则N(-外,机)，再#0,-1<m<\.

加一(一1)+1

所以直线BM的斜率为一—=——,

再一0

Ix.

因为直线肛的斜率的积为-“所以直线9的斜率为一而而.

l-mX1

直线河的方程为"二T'+l'直线8。的方程为二一而四、7

1-7711

y=----x+l-m2+1

x\

联立,解得点。的纵坐标为％=Y---------

1221

y=-4(〃l)i——X.-+W-1

41

因为点〃在椭圆C上，所以W~+m2=1,则%=0,所以点。在X轴上.

4

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

20.⑴当a=O时,，(x)在(一8,田)上单调递增；当。>0时，/(x)在(―8,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),田)上

3

单调递增；当a<0时，/(x)在(-8,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+oo)上单调递增；(2)ae-e4,^-

2

【解析】

(1)对a分三种情况。=0,。(0,。)0讨论求出函数/(幻的单调性；(2)对a分三种情况。=0,。(0,。)()，先求出每

一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.

【详解】

(1)f*(x)=e2x—aex—2,a2—e'+a

2x

当。=0时，f\x)=e>09/(幻在(-8,+00)上单调递增;

当。>0时，f\x)<0,X<ln(2a),f\x)>0,x>ln(2a),

二f(x)在(-«Jn(2a))上单调递减，在(ln(2a),+oo)上单调递增;

21

滔+3=1

当a<0时，/'(-«)<0>,cV2，f'(x)>0,x>ln(-a),

{-=—

a2

a2=b2+c2

/(x)在(-8,ln(一。))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增.

综上：当。=0时，/(x)在(一8,田)上单调递增;

当〃>()时，/(x)在(-8/n(2a))上单调递减，在(ln(2a),+o))上单调递增；

当。<0时，f(x)在(一8,ln(—a))上单调递减，在(ln(-a),+co)上单调递增.

(2)由(1)可知：

当a=0时，/(x)=e2、>0,，a=0成立.

2,n(2a),n(2a)22

当a>()时，/(x)min=/(ln(2a))=1e-ae-2aln(2a)=-2aln(2a)>0,

ln(2a)<0,0<a<-.

2

2,n(a),n(a)2

当a<0时，f(x)min=f(ln(-a))=^e--ae~-2aln(-a)

Q2

=^|--2a2In(-tz)>0,

333

ln(-a)<-,即一/«”()•

-3[一

综上ae-e4,-.

2

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推

理能力.

21.(1)2,(X-1)2+/=4；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由题意得/的方程为％=-5,根据AB为抛物线C过焦点厂的弦，以为直径的圆与/相切于点(—1,0)・.利

用抛物线和圆的对称性，可得圆心为口(1,()),半径为2.

(2)设M(—1,%),MN的方程为丫=%(》+1)+%,代入。的方程，得"-”+4(%+«)=0,根据直线与抛物线

122

相切，令A=16—162(%+%)=。，得%+%=；,代入62_分+4(%+&)=0,解得y=：.将y代入。的方程，

kkk

得X=A，得到点N的坐标为然后求解而小丽.

【详解】

(1)解：由题意得/的方程为％=-4，

2

所以一^=一1,解得〃=2.

又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为F(LO),半径为2.

所以圆的方程为(x—iy+y2=4.

(2)证明：易知直线MN的斜率存在且不为0,

设M(—1,%)，MN的方程为y=Mx+l)+%,代入C的方程,

得@2-4y+4（%