理论物理概论授课材料讲稿

第一 量子力第一

经典物理所有落到（或照射到）G.Kirchhoff（基尔霍夫）E(,TA(,T)E(,

A(,T)f(,

（f与物质无关以E(,T表示。所以在t时间，从s面积上发射出频率

E(,T

能 焦耳米21米秒E(,T)c4

（u(,T)单位为焦耳秒米E(,T)f就等于普适函数（与物质无关（对物质而言）我们也可以以E(,T)dE(,T)dE(,T)ddE(,T)dE(,T)c E(,T)c

E(,

焦耳

秒

克分子Cv3nNok

R8.314

克分子K）称为能均分定律（Dulog–Relit经验规律它们都是以分立的能量nh显示，即能量模式是不连续的。：min。BminA.Einstein假设一束单色光由辐射能量大小为h物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量h。能Ekh

w电子吸引两个光量子的几率几乎为0，所以，要飞离金属，则至少Ek hminw，即有一最低频率。 Ekhwh(min)我们可以看到，的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量E除以频为一常数Eh是一个与经典物理学完全不相容的关系。康普顿散射（Compton实验发现，单色x射线与电子作用使电子发生散射，其散射x'A(1Eh，P2.431012

Enc

hnhn EhkPEnhnhn k 而h604焦耳秒404焦耳秒连续，辐射的微粒性。§1.2光的波粒二象所有落到（或照射到）G.Kirchhoff（基尔霍夫）E(,TA(,T)E(T)A(T)f （f与物质无关以E(,T表示。所以在t时间，从s面积上发射出频率

E(,T

能 焦耳米21米秒E(,T)c4

（u(,T)单位为焦耳秒米E(,T)f就等于普适函数（与物质无关（对物质而言）我们也可以以E(,T)dE(,T)dE(,T)ddE(,T)dE(,T)c E(,T)c

E(,

米3秒

E(,T)与（Wein）E(,T)2h3eh11 c2h（kBoltzmann常数：1.381023焦耳K②瑞利―金斯（Rayleigh-ns）根据电动力学及统计力学严格导出辐射领E(,T)22T

(

kTh。而在很高，即很小时，发生无穿，这即紫 所以，这两个并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-BeltzmannT4

E(,T)d（

25k

108

K4sm2显然，维恩或瑞利－金斯都得不出这样的结果维恩发现，对于一确定的T0，相应地有一波长0E(0T0)达极大而0T0常数 0T01T12T20.2898102K这一定律也是无法用维恩或瑞利－金斯给出回答：min。BminA.Einstein假设一束单色光由辐射能量大小为h物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量h。能Ekh

w电子吸引两个光量子的几率几乎为0，所以，要飞离金属，则至少Ek hminw， Ekhwh(min 的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量E除以频率为一常数Eh是一个与经典物理学完全不相容的关系。康普顿散射（Compton实验发现，单色x射线与电子作用使电子发生散射，其散射x'A(1Eh

PEnhnh hmec2h' PP' ①2/c2-1(hmec

2

(PP'

EE

eeh22m2c2h2'22mh(')P2P'22PP'm2c22h2ee2 2 mh(')h2'PP'

h(c

c)

'h

称为电子的康普顿散射波长，它等于 EhkPEnhnhn k 而h604焦耳秒404焦耳秒连续，辐射的微粒性。§1.3原子结构的玻尔理卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，大角度方向上，每两万个粒子约有一个粒子返回，飞向源的方向，从而提22

辐射能量（其功率为e3

c

c3，a为加速度该发生原子坍塌（106秒，但事实上没有出现这现象，原子基态是出奇地稳

nm（氢原子 8

a））0原子仅能稳定地处于与分立能量（E1E2,）(EmEn) （n1,2,）（圆形轨道Pidqi

（nqi—广义坐标Pi—广义动量Ze解 H

1(P2 )

常数（ H0 PP2P由E

Pr(2mE r2

)1 r P r2

)12dr 40402E (nnr)

（n

a

En

§1.4微粒的波德布罗意假设（deBroglie1923年

P

即P

（kEh

（Einstein关系P方 PE

Aei(PrEt)

Pkk2通常把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波Å,电子波长1Å。

EEk0P2c2m2c40

m0c2 hP

[Ek(Ek2m0c2)]1 2197.3MeV[Ek(Ek2m0c2)]1

m0c2EkEkEk戴维逊、革末（Davissonand P.R.30(27) （30600eV）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度方向有强的反射（即有较多电子波吸收，而满足asinnhP

，则上式与Bragg光栅衍射相（asinn

Pe（J.J.Thomson 电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象反映了电子的波动性n（1040keV，所以波长~0.40.06Å， nx射线照到单晶粉末压成的金箔上，满足2dsin 2dsinn

P（足衍射条件2dsinn（第二章波函数和薛定谔方如何统一起来？经典物理观点必须被修改。主要表现： （粒子 （波Eh

nck假设）EinsteinP

（hP

2 （deBroglie假设）deBrogliekkAei(krt)Ai(PrEt)

E

n

40 Ena

0n2

a0

mee2

0.529

，所以观察不到,衍射现象。微观

经典粒 √原子性（整体性 实在物理量的空间分轨 子，即电子确是以一个整体出电子数的强度P1P2 ；b'.不能想像，电子通过1,2时，能像经典电子（有轨道）那样来描述（c'.（现象I1I2 I1I2I12通过缝1h1eit通过缝2时，水波以h2eit描述通过12时，则以(h1h2)eit强度I1h12 I2h2I12h1h22h12h22(hh*h*hI1I2

1 1（h1h1ei1，h2h2ei2，12 cos即 中的现象也可用1,2函数来描述（它们一般P112，P22P121221222(**1 1

（12，上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方2来表征。，12§2.1波函数的统计解1926Max。如电子用一波函数(x)①从上面分析可以看到，在xxdxP(x)dx(x)2，②当发射电子稀疏到一定程度时上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为P(x，P(x)(x2是电子出现在x附近的几率密度（如P(x)dx

(r,t)是描述或刻划一个电子的几率振幅MaxBorn（1926年）t(rt描述的粒子进行位置测量，测得的结果可以是不同的；而在rrdr小区域中发现该粒子的几率为P(rt)dr(rt2dr（由于是几率，

P(rt)dr1①(r,t(rt2dr在体积元dr②粒子是由波函数(xt)t0时刻测量x1x2,x1x1dx1(x1t02dx1(xt02在某xt0时刻测量发现粒子在该处的机会越多（这表明，我们讲的是到什么，但x1，只测得一个值。但可想像有很多很多同样的体系，对体系进行同时，完全n1n2ni

x1—x1x2—x2xi—xi测量，那发现粒子在xixidx处的几率为

(xi,t)2会看到，体系的波函数(rt给出了体系所有信息（可能范围系处于态(rt)，或称(rt为体系的态函数。2dr为t时刻，发现粒子在rrdr(r,t)2dr1化后，才能说(rt)2dr是几率。否则在dr区域中，发现粒子的几率为(r,t)2(r',t) (r,t)2dr

(r,t)1(r,t)

（可差一相因子ei为实数(rt2dr才代表在rrdr例 (r,t)

rit(r,

2dr

rit

re

01

ar2drr(8a3)1(8a3)1而在r0r0dr

er2dr

r,,,t)sindd

r20dr

在00d2

(r,0,,

sin0dr2drdsin

8a3

ar在00d

sin0d 2a3201sind0d(r,,0,

2r2drsind

ear2drsind

2a31d当然，也可计算x0x0dx(x0,y,z,t)2dxdydz

1

dx

r0adydzxx0dx4a

(ax0)ex0显然，重要的是相对几率。(rt和1(rt)A数是完全相同的。即使归一化了，仍可有一相因子的差别ei（为实数。函数，如平面波ei(krt，(ra等。事实上，这也是一大类波函数（本征，§2.2态叠加原既然体系状态的波函数(rt给出了体系所有可能得到的信息，那么它有（已归一若体系由(xy,zt(xy,zt)（已归一若粒子处于C(p,1

ipr1

2

,t)eip

r

p，p，而不在pp之间取值。对于大量粒子，好像一部分电子处于p 1另一部分电子处于p2态。但你不能指定某一个电子只处于p态或只处于p21即对一个电子而言，它可能处于p态（即动量为p（ 1p2，即有一定几率处于p态，有一定几率处于p2态。1 如果 是体系的一个可能态，

也是体系的一个可能态，则c1a1c2a2是体系的可能态，并称为a1和a2态的线性叠加态。对体系测量力学量ˆ时，测得值为a1，使你认为体系（在未测之前）可能处于a1态上，则称a1是体系的一可能态；如测得值为a2，使你认为a2 为体系的一可处的态。因此，体系处的可能态为c1a 如体系处于c1ac2a，那测量力学量ˆ的测得值，可能为a1或a2 而不可能为其他值。而测得a1和a2的几率分别c12c22。态叠加原理是否讨论（与经典比较a(rt(r,t)a(r,t)a(r,t)2a(r,4a(rt)2a(rt)ˆ都只有一个值a，而空间的几率分布a(rt)2与2a(rt)2经典振动可处处为0，即没有振动。但量子力学中则没有(rt)0因a(rt2dr1 若(rt)C1a(rtC2a(rt a(r,t)来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作 (r,t)波动，或a1 可能作 (r,t)波动但对量子力学来说体系可能处于(r,t)态也可能 于 (r,t)态。但不会处于 (r, 得的测量值是不会为a3

态（a3a1a2。因测量力学量ˆ应该，有时在处理物理问题时，常常对函数(r,t)展开 (rt)Caa(rt i学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量ˆ，可能测a值仅为ai

0的ai值，其几率

ia，即系数 iai正比于取ai1知道一个动量为pp11

(rt)Cei(p1rEP1t)11

(rt)Cei(p2rEP2t) 2 体系（一个自由粒子）12(r,t)Cei(p1rEP1t)12

ei(p2rEP2t)可是这个态没有确定的动量P（当你动量的测量值时。但(r,t)也是(r,t)

t)

而EP22至于具体状态，那应由一定的条件来定C(p。所以，量子力学允许体系处于这定值）。具有确定动量

的自由粒子是以平面波p0

(r,t)

ei(p0rEp0t)1(2)31(2)31(2)31(2)3

,

(,)eiEP0t而在Ylmˆ2和角动量z分量ˆz的测得值为l(l1)2m 2 表明，这一自由粒子有一定几率处于Ylm态上，其几率为 l,m(k0,r)rdr另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系数C1C2（如12给定。对于C11C22，这时完全被C1C2所决定。C1

完全可替代来描述该态（以后要讨论）C1

C2 C

(t)e

2,atR1和(a,t

t a

R 1.高斯波包（TheGaussianwavepacket）一个质量为mC(P)221

2

P)2 C(Px,0) 求：相应的粒子波包

1

iPx(x,0)

(2)4

2(PxP0)

ee2

ix x (2)4e

2(PxP022)

eiP0xe(2)1

1(2)121 (21(2)121

xe4

iP0x 2

1)4

x42eiP0xc(p,0)2dp(x,0)2dx1这是一个t0，位置在区域（不为0，而动量在P0

—P0

区域（动量几率明显不为0区域§2.3薛定谔方Schrodinger’sequation出的结果及的正确性来证实的。deBroglie关系和Einstein2EP2

P

n

（k

2ndeBroglie’sP Aei(PrEpt)P

i[Aei(PrEpt)]

piP(r,t)Ep(r,t)但这不是普遍适用的方程（因含有一特殊参量Ep因iP(rtEpP'(rt)

i(prEpt)

rEpt)而若A11

A22

i(r,t)Ep(r,t)Ep(r,t)(Ep

)(r, iAei(PrEpt)PAei(PrEpt)

i(PrEpt)ˆ

i(PrEpt)

i(PrEpt)itP(r,t)2mP(r,在这方程中无特殊参量EpPiP

(r,t)iC(P)ei(PrEpt)C(P)2m

i(PrEpt)ˆ而

(r,t)

i(Pr

t)C(P)2m

i(PrEpt) i(r,t)

2

2(r,ˆ自由粒子(r将上述情况推广，对于质量为m的粒子，在位势V(rtE V(r,t) 2 it(r,t)[2m

V(r,t)](r,ˆ

V(r,t)](r,ETVH(r,P,ˆ(ˆ,ˆ ˆˆ,

x

1PxxPxx Pxˆxx22 2 2m

2m(x24x2xPx和Pxx对经典是一样的，但对量子力学而言是不同的。所以规定：对于形式为与PiPifxyzi1[Pif(x,y,z)f(x,y,z)Pi

（f为实2③如果是矢量，则在x,y,z直角坐标下的分量表示，然后再作Pii

替换，为其它坐标Schrodingerequation的讨论当体系在时刻t0的状态为(rt0S,eq，所决定（t是一次偏微商。这就是量子力学的因果律，即决定状态的演化。ˆˆˆˆ无关，则t时刻的解可表为（如t0时为(rt0)） (r,t)eiHˆ(r,ˆ)(tt0)(r,t 如 Ffkk'(q)PkPk' ˆ[(i)fkk'(q)(i

fijPiPj1(fijPiPjfjiPiPj1(Pˆf

ˆ

ˆ 2

2

iij

iji2yzPyPz1(yzPyPzyzPzPyzyPyPzzyPzPy)(ˆyzˆzˆzzˆy如何从t0波函数来确定t时刻波函数？例如①t0时刻，已知为

t

eiPr

(r,0)C(P)eiPr

C(P)

dP，当(r,01(2)31(2)3e1(2)31(2)3也就是，当(r,0给定，则C(P由(r,0定出。我们知t时刻自由粒子的态是由ei(PrEPt)叠加而成，叠加系数为C(P)（已确定） (r,t)C(P)ei(PrEPt)P2而EP2mˆ

ˆ②从另一角度讨论，对于自由粒子H ，直接利(r,t)eiHˆteiHˆtC(P) eiPrdP(2)3 C(P) ei2m(2)3

teiPr

P1(2)3ei2mteiPr1(2)31(2)31(2)3

ei(PrEPt)EP③例：自由粒子在t0x(x,0)(22)14e(42iPK

Px

粒子处于x的几率密度为(2212ex22 发现粒子主要在区域(令ψ(x,0)1(2)11(2)1

1(2π)12eiPx1(2π)12eiPxx(22)14(2)12

x2

PK)x

2i(PxPK)2

2(PxPK(22)4(2)2

[x

dx 221

2(P

)2 (2 ψ(x,t)

C(P) ei(PxEx)1221x)1

(PxPK)

P2i(Pxxxt)(21

e(2)1(2)1

(22)

)1

(x

PK

4

2m

iPKxe 因

(PxPK)

Px2i(Pxxt) Px

K K

2Px

PxPK

iPxxixt 物体在t0时，它位于x0，（有一宽度(）,而平均动量为PKt0

m度vgPKm

Px

t

t1相位

PK

1

tt2相位

PKx

2

PKv

,vPK

EPEPx0x—x0（x0

PKt0mx

(xx2x2(x

)2]12设：T ，当tT，包波已扩散很大，因此似乎与经典粒子无任何相PxPxC(Px,t)2dPx*(x,

d)(x,t)dxPK(PxPx 2(PxPx

21 Px

Px

(

PKPK x

[1(

)2]12（以后讨论其物理意义所以，这样一个显示经典粒子的

tT

m102kg

0.4103T

0.16

/1.0545

秒1029所以，人活1029（当tT，才扩散得很大）但1年3107秒 对于经31021年仍还可以，这即31021年=1013亿年。因

m103T

104秒即经1016秒3108年3（原子中

m91031千克，T1017秒

0.51010

1016另外，求波函数随时间的演化，也可这样来做。t时刻的波函数，可由t时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着，必须满足齐次的微分方程(r,t)G(r,t;r',t')(r',t')dr'的演化。如tt0时刻，粒子处于r0(r',t0)(r'r0

(r,t)G(r,t;r',t0)(r',t0)dr'G(r,t;r0,t0这就是格林函数的含义（t0时刻，粒子处于r0tr处发现粒子的几率密度振幅即为G(rt;r0t0）1 G(r,t;r,t)

iH(r,P)(tt0)(rr

00 e00

0)(iP ei[P(rr0)EP(tt0)]1

itt0[P2P2m(rr0)

tt

ttm(rr)0

[P3

tt

m(rr0)

i(S2S2S2

2(tt

)2ett0

dSxdSydSz 323

m(rr0i02(tt00[22(tt)] (i 0m(rr0G(r,t;r0,t0)

2(tt0)i

]3

e2(tt0根据

eix

(xGreen G(r,t;r,t)eiHˆ0(tt0)(r tt

G(r,t;r0,t0)(rr0§2.4粒子流密度和粒子数守恒定d2dr0Schrodingereq. i(r,t)ˆ(r,ˆ,t)(r,i*(r,t)ˆ*(r,ˆ,t)*(r,从而得

(r,t)

ˆ* *v

ˆ

*v*V（保证体系是稳定的，能量为实

ˆ(i)(**)

2(*))d(r,t)2dri

(*(*)ds2m对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数应平方可积（平方可积条件要求r0

r3r3i(*)ds2m d(r,t)2dr0

2drA2，而A与t若V非实，则d(r,t)2dr2 dr。所以当 虚

ji(**)

1m

(* j

j称为几率流密度矢ddrjdsdt

db(x,t)dxb

j(x,t)dxj(a,t)j(b,dt a (x,t)

j(x, dx0(x,t)j(x0,t)j(x0,dtx0d[(x02,t)2]j(x0,t)j(x0,t)当

则d[(x02t20 j(xt)因此，即使在特定情况下，波函数导数可不连续，但ˆj仍是处处连续 定态薛定谔方当位势与时间无关，即V(rt)V(r（1）不含时间的薛定谔方程ˆˆ

V(r))(r,由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。 (r,t)T(t)u(r)于是iu(rdT(t)ˆ(rˆ)u(r)T(t)i1

dT(t)

ˆˆ)u(rt或rtr

idT(t)ET(t)ˆ(rˆ)uE(rEuE(rHtE(r,t)uE(r)eiEt/其 ˆ(r,ˆ)uE(r)EuE(r)该方程被称为不含时间的薛定谔方程或在上述方程中，E实际上是体系的能量。因为在经典力学中，粒子在一中，对应波函数随时间变化为eiEt/从平面波看，它随时间变化就是eiEt界处(r,t)

能量的分立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的值根据态叠加原理，E(rt)uE(r)eiEt是含时间的薛定谔方程的一个(r,t)c(E)uE(r)eiEt/c(E)E(r,通常称E(rtuE(r)eiEt（其中

ˆˆ)uE(r,t)C才与tt（2）ˆˆ)uE在§2.4节中，我们已 ，当ˆ与t无关时（即V(r,t)V(r)态随时0(rteiHˆ(r,ˆ)(tt0(rt0E(r,t0)uE(r)eiEt0/ (r,t)eiHˆ(r,ˆ)(tt0)/(r,t)这正是我们所给出的 Hamiltoniant体系在初始时刻（t＝0）处于一定能量本征态uE(r刻，体系都处于这一本征态上，即E(rt)uE(r)eiEt/表现在因子eiEtE(r,t)2uE(r)所 ˆji(*(r,t)(r,t)(r,t)*(r, i(u*(r)u(r)u(r)u*t

任何不含tEt)ˆE

(r,E(r)ˆˆ)uE

t的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。根据态叠加原理，若对体系测量力学量ˆa1a2，……，那么体系的可能态必 (r,t) (r) （因讨论的力学量与t无关，所以 (r)与t无关。而在 (r) 量ˆ，其测得值仅为a。而测得a的几率正比于 (t)2 iE(r,t)uE(r)eiEt/ (c (r)c (r))eiEt 显然cait无关cai

(t)2=aia

eiEt/2=c2aia这正表明，对处于定态中的体系，测量ˆ取可能值的几率不变§2.6一维无限深方势V(x)

xax2d2

x2mdx2u(x)u(x)有 u(x)AsinkxBcos

xax0 x02其 k 。要求波函数在a处连续（当然，2AsinkaBcosa Asink2

Bcosa2

0a2a2a2a222a

a

0a

2

0ka

na

B

0ka

n

A0xAsinn n2,xaaun(x)Bcos

，x相应的本征能量 En

2π 2ma2n根据一定边条件,要求(xa处，波函数连续，薛定谔方程自然地给而言，ΔxΔpx

。所以，Δx0，Δ

0，即px002a2π 2a

u(x)

a

x

2ma

0 x0

2π

22，而u(x)

sin22a2a

x。 2ma

0 x02π

cos3 x第二激发态：

32，而u(x) 。 2ma

0 x02an个能级，有n1个节点，函数奇偶性为1n12a 线性谐振d2d2Vd2xV(x)V0

(xx0)x

(xx0)x如x0

0dVdxxdVdxd2d2Vd2xV(x)V0

(xx0x

V(xV02Κ(xx0于大多数连续的物理体系的行为能由谐振子的叠加来描述。因此，V(x)V1Κ(xx

V(x)1x2 d2 (2m

)uΚm ω ，Κm d2 2(2m

mωx

)uP.76，我们介绍后一种处理。在本征方程中，我们有参数m,,ωm，时间，长度ω

ˆω 1

m1ˆ

2

ˆx

ˆ] 1

m1

2

ˆx

ˆ]ˆˆ

12

ˆ

mˆ2

i

xˆˆˆxx1ˆ1xˆ

2ˆ

mˆ2i

ˆˆ 2

1ˆ1 于是，我们有二个重要结论[ˆ,ˆˆ(ˆ(ˆˆ ˆˆˆˆˆ(ˆˆˆ(ˆˆ(ˆ

) 若un(xˆ的本征态，相应本征值为EnˆunEnun ˆˆu

ˆ(

所以，当un是ˆ的本征态，相应本征值为En时，那ˆun也是 的征函数，本征值为En，能量下降了一个（即称为一个量子ˆ

ˆunˆ的本征函数，相应本征值为

aˆ被称为一个量子的产生算符，即声子的产生算符由于ˆ 最小的本征态u0（相应能量为E0ˆu0， ，因此ˆu0态应不存在，即ˆu ˆu0E0u(ˆ

1u 1。于是，任一激发态的能级波函数u，在aˆ 0的连续作用下，最终必须到态u（1的能级02若un经ˆnunu0，则unˆ

(n1)(ˆ

也 ˆ*ˆ(ˆn(ˆ1

2

1)，(22

1)(n2

1)2(n(2)

)，n2ˆu

0

ˆ

(d

)，于是有2du 2其中，x是无量纲量， 。

Ae2/020

2

1

dxAm m1A

, m

e2/2

e2x2/ 而其它本征函数，可由aˆ作用而获0n 0nu是归一化的，相应本征值为(s1)。那ˆ

(s1

1)2 s s22

[(

u*

us

2 s2

uss2s2ss

1

1u s

ss

因uS是归一化的，那us1

ˆˆusss1

121

(ˆ0un 0因

x2xx

ˆx2

ˆˆˆn于 u*xunn

ˆˆ 0 0 n 0

n

u*

n

n1

xnnu*x2unn

u*u*

ˆa ˆˆˆˆa

ˆˆ

ˆ

n *

un2 n(n2munn(n

n(n1)un2ˆ(ˆ

(n1)unnunu(u(nˆ

(n

un2

n(n(n1)unnunn(n

u*

n(n

(n1)u

n (n1n

x2

(n1) 1u

e2/un

(ˆ2n (d2n

)n

1

2e。e

(d

)

2de

2(d

)2(

2de2(1)2

2de2

2e2

2de2

e2

d

e2

n

(1)n

nde2 22de，d

un(x)

122nn! 2nn!

(1)n

d d

2e2

2Hn其 Hn(x)

e2

dn

e它是一多项式，最高幂次为n，系数为2n；宇称为1n，被称为厄密多项式（HermitPolynomials

1m2x2

中，其能量取分立(n

1)2ˆun

(n ˆ(ˆ2

[ˆˆ 00

un

(ˆ

（而ˆu

0un(x)

n

1 2nn!dn

2Hn

Hn(x)

1

(

e2x2 2u1(x)

e2x22u2(x)

1 8e2x2 8u3(x)

1 48e2x22 48u0显然是偶函数

ˆ

21(2

以un(x的宇称为1n，即每条能级的宇称是确定的。1

x ˆ2x2AB24

xˆ ˆ2x

14

2m

4x0x2 0x0x2 0p2xx0px02但由测关系要

x0px0因而，只有x0px

才不违背 关系。这表明最低能量不能小2。这与经典不同，经典粒子可停在原点，能量为02unn个节点（n+1条解级 2nn!un(x)

2HnHn(x)

e2

dn

e

，

( H1()2xu1(x 0，有一个实根

e

0n-1个实根，即有（n-1）个节点，而

及其导数在x0dn1

0x轴分为n每一段总有一个极值，不可能没有（但不可能多于一个，因否则极值数大于dn从而dn

d

ed

(d

e

0n

d

nn个节点。所以，如un1n-1个节点，则un(n00

和(n2

2ˆun

ˆ

(ˆ0 n0ˆu

ˆˆ

(ˆxun

nu

ˆn1nnn

2un1

un1n2dn2

n2ˆn2

nun12

un1平均值，测量取某值的几率（当然，这时也要知该力学量的本征函数。 势垒贯E<V0的粒子，从x0x方向入射，则应E>V0时，则应完全透射到xaEV0大得不太多，仍有一部分被EV0小得不太多，仍有一部分被透射过去。e-射波）xaeikx（透射波uE(x)

ikx

xaxmmA、B、S则要根据位置的具体形式mmji

A2

jRBABA

B

jT mSAmSA2R T

B,SA

即可。对于0xa d2(2m

V0)u(x)uE(x)

Fex其

(2m(V0E))12由x0xauE(xuE(xABDik(AB)K(D

Fea kD

i

F

2

Seika

D

a

Seika

ik FSeika

1(1ik

1(1i

)A)

a

Seika

kB

k k

coshaiksinh coshaiksinhka

A Bcosha

k

cosha

由（1）

(k22)sinhB(2k2)sinha2ikcosha

S (2k2)sinha2ikBA 4E(VE)BAR V0sinh2aSA Vsinh2aSAT 1 4E(V0E)当E这时只要将ik1,并由sinhaisink1a,BAi(k2k12)sinBAS12kk1cosk1ai(k12k2)sink1a2kkeS1A2kk1cosk1ai(k12k2)sinBA 4E(EBA

)

R 0 V0sin2k1aSA SA

sin2

aT 1 1 4E(EV0)2m(EV022m(EV022RT1（EV0或EV0）当EV0时，仍有一定几率流透射过去，而且敏感于a，EV0aTka1T

v0

e2a当EV0时，仍有一定几率流被反射回去。但当k1an 透射（仅在EV0条件下发生，这En被称为能级

2 2ma2

这种现象是量子现象，过多地用经典语言去解释会产生：如一种解释认为

anann

1 1 0区域中某点x，你并不能说有动量0

，所以谈不上粒子有波长1，而被边方位 ：这时只要将V0V0即可i(k2k12)sinB 112kk1cosk1ai(k2k2)sink11S12kkS1A2kk1cosk1ai(k12k2)sinBA 4E(EBA

)R 00 V2sin2k1a0SA V2sin2kaSAT 1 1 4E(EV0)2m(EV022m(EV02

k 2当k1anπ时，则同样出现T1， 透射。这时2π22 En 2ma2

nEn大于零如果位势量

处选取为V0，那在x0和x0EEV0，而0xa区域，粒子能量为EV0E2k12

k 2m(EV02第2m(EV02第一章晶体结 晶体的宏观特氯化氯化面了，而发展成八面体的八个晶面。属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）有固定--长程有序时对应的温度石石

晶体中的微观结AABSi原子（A，B）问阵点特点（又称结点或点子四个子B（又称单式格子（格。四个子复式格子=aaA1A2A1A2A1、A2原子组原 原体称为布拉菲格子的初级原胞，a1,a2,a3称为原胞基矢原胞体积aaaaaRn格T(aT(a1,a2aa,b,c晶胞中包含的格点（阵点）nW-S原胞W-SW-S二维二维W-S原W－S元胞的原因W－S 晶体的基本类aφaa1,a2和夹角aφaa1,a2与夹角φ长长方晶aa正方晶a六角晶aa正方晶a六角晶aa有心长方晶aaaaaabcγbβ1、七大晶 14种点阵（B-格子abg90，abccab简单 =g=90，abcb>90cbacb简单单 底心单c90a=b=g=90，c90a=b=g90，a=b=a=b=g=90，a=bca9ca9简单正 体心正a=b=90,g=120，a=bccba六caba=b=g=90，acab简

面心 体心简立方（SimpleCubicSCaaa1aaa aba3c体心立方(BodyCenteredCubic,

1以体心原子1以体心原子a(aa)1akaa(ikaa(ijkaa(ijkjai面心立方(FaceCenteredCubic,

aa(jk12aa(ik22aa(ij32aaacaaaaaaacaaaaa四caaa立立六单正三单正三cba

典型的晶体结平衡位置: cc188

1818

1816

1211236斜c斜ccababrCN致密度η：或称空间利用率是指原子所占体积与总体积之比，有：1、fccCN？rCN致密度η：或称空间利用率是指原子所占体积与总体积之比，有：1、fccCN？rr2rr2ra

2rr 2rras

2a

3a

aac261 晶晶 氯化钠晶格是由Na+和Cl-两面心立方子晶格沿轴矢平移半个晶格常数典型晶体：NaCl、LiF、KBr––+Cl-Cs+1/2的长度典型晶体：TiCl、CsBr、CsBrCCC1/40

00000C原子共价键取向晶胞中含有几个碳原子硅晶胞特点：石结构的立方晶胞843843 和石结构相SZn1/4长度套构闪锌矿结构物质有α-ZnS、CdS、GaAs、-SiCSZnABCA配配位数Cu、Ag、Au、Ca、Sr、Al、ABABABABA配位数晶胞有6个原典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti 晶体的对岩盐岩盐晶对称元素：对称操作所借助的几何元素（点、线、面等OOu旋转角度θ=2π/nu度（n次）n1，2，3，4，6 2度；3度；4度；6度符号： SC5度(n>6)5n>6iccr-Obam或x=-x，y，z问题：SCu旋转角度θ=2π/n以后，再经过中心反演，晶体能un度（次）旋转反演轴或象轴。n1，2，3，4，6记为 符号 C2 C41im表示，代表垂直于转轴的对称面。33i63度转轴加上垂直于该轴的对称面的效果一样,634：是一独立对称操作，石结构就有4晶体的宏观对称性共有八种基本的对称操作:C1.C2,C3,C4,C6,i,m和C4。这些基32种宏观对称操作u2π/nul·T/n，晶体中原子自重u为nnlTu的周期矢量；l<n晶体只能有：1，2，3，4，6uu43TA214100000041T/nAAAAATAM 晶面和晶面指B-格子，O（a,b,c）P，OPP坐标(l,m,n)为格点指数，记为l,m,nPOP[(5,1,2)OP[(5,1,2)12晶向指数--RlRl=h’a+k’bh’:k’:l’=h:k:l互质数[h,k,l]cbOaO沿晶向到最近格矢，该格矢的坐标指格点分布相同，理化性质相同的晶向，记为简立方常用简立方常用晶OA的晶向C A 2：OD的晶向？1 2xra,sb,tc，坐标(r,s,t)，

h:k:l

11:rs（hkl）就是xccobaX3a,b,c为坐标轴来表示晶面指数，表征晶面取向的互质整GCcbBAFOaEcbd大；格点的面密度也大；表面能小，在等效晶面—立方晶格等效晶面—立方晶格引入四轴系：a1，a2，a3，c晶向指数a3=-(a1+ ua1va2ta3wcUa1Va2u1(2UV)v1(2VU)wt1(UV)c 晶体的倒格子与布里渊为了后面计算上的方便，引入一个新的概念——a1,a2,a3，原胞体积为Ω=a1·（a2×a3）建立其倒格子基矢，ΩΩO2(a22(a2a3)a1(a2a3a1(a2a3aa2cbac baai·bj=2i

a1·b1=a1·2(a2a3)/a1·(a2a3)=2a1·b2=a1·2(a1a3)/a2·(a1a3)=0除(2)3因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积**Ωb1[b2b3]*

[a2a3][a3a1][a1a2

[a3×a1]×[a1×a2]={[a3×a1]·a2}a1-{[a3×a1]·a1}=Ω*

(2

[a2a3]Ωa1

(2

[a2a3]a1

(2Ω正格子中一族晶面(h1h2h3)Ghh1b1h2b2+ Gh·CB=(h1b1+h2b2+h3b3)·(a2/h2-a3/h3)CBA表示正格ABC为一族晶面(h1h2h3)GhBCOBOCa2/h2a3/Gh的长度正比于晶面族(h1h2h3)

a(hbhbhb 1 h 1 2 33

hh

h

h 11 2 3晶面族(h1h2h3)mdh1h2h3Rl·Gh/|Gh|= 得出正格矢和倒格矢的关系：Rl·GhCBA表示正1布里渊区(B.Z.)bk=bk=OπB-B.Z.fcc的1

b2B.Z.

kaa1=a1i，a2=a2j

b2

2a 2 *

2B.Z.边界 k1a,k2 a1=a1ia2=a2ja3=a3kb2i,

2i,b

2a *B.Z.也是简立方，其边长 aaaaa(ij aa(ijk) aa(ijk)

b1b2b3

a(jk)a(ki)a(ij)

aa(jk) aa(k aa(i

b1b2b3

(ijk)(ijk)(ijk)

晶体中x光衍X +阴阳性质:具有很强的能力，能使感光，空气电离。本质是什么？不知道，就叫“X射线”吧！1912年德国物理学家劳厄想到用晶体作为三维衍射光栅，经两次实验后终于做X射线的衍射实验。劳厄劳厄晶X--XhveVX射线最小波ch λ极小XZnSFour-Four- Three-CSD（Database,PDB（无机晶体结构数据库（TheInorganicCrystalStructureDatabase，ICSD（NRCC金属晶体学数据文件库（ICDD（1电子波。电子波不仅受电子散射，还受原子核散射，散XP

Aaei[0tk0 ApPdτ内的电子ρ(r,t)dτ强迫振动，辐射球面波，B点散射CA(r,t)ddAB RRr,(r,t)(r)0pAaei[0tk00pAa0Cei[0t]ei[k0R0kR]

(r)ei[kk0]rR R

A(k)

(r)ei[kk0]rd

(r)eiSrk

I(k)

A(k)2

(r)eiSrd晶体对入射XX光子的散射；rrRnRrA(k)

(r)ei[kk0]rd

(r)eiSr eiSRneiSRa

a

fa

SeiSRa 散射矢量（倒格矢

Rauaa1aa2Skk0n(hb1kb2lb3Sh(hkl

fi2n(huakvafa晶胞中在(000),(1/21/21/2)Sh(hkl)fa[1ein(hkl) n(h+k+l)= n(h+k+l)衍射面指数之和为奇数的衍射线如Na是bcc结构衍射谱中无(100),(300)体心立晶胞中在(000,(1/21/20),(1/201/2),(01/21/2)h(hkl f[1ein(hk)ein(hl)ein(kh(hkl h,k,l h,k,l中既有奇数也有偶数衍射面指数中既有奇数又有偶数的衍射线面心立方

A(k)eiSRn

h

I(k)F

A(k)2FShhRnn1a1n2a2N1N2FeiSRneiS(n1a1n2a2n3a3 n1n2其中，N1、N2、N3a1、a2、a3

N1N2

i(hbhbhb)(nananaFe

11223 11223n1n2 12ei2h1n1ei2h2n2ei2h3n3NNN12 消光条件：Sh=0hI(k)A(k)2FSh问题：bcc的(010)(011)两晶面,哪个面消光?kkX-

反射

B O

OC=

2dhkl·sinq=

sin

SOPBS通过相邻两个格点的光程差为OABPOABPRA·SRA·SoSOPBSXX射线互相叠加，即所谓的衍劳厄方程：RA·（S-So）=μλ 将劳厄方程用X射线的波矢表示：定义波矢

k0

λS0

2πλRA·（kk0）=k–k0nGh（n为整数k反射O（h1h2h3）（nh1nh2nh3）为衍射面指数。X光波矢也确定了时，利用作图方法能找出晶体中所|k|=|k0|=2/倒格倒格Cθ—布拉格O厄瓦尔德反射劳厄法：x-R~rx-2体的结N个原子在自由时的总能量。因此，原子能自发结合形成形形的晶体。 内能函数与晶体性U：在绝对零度下将晶体分解为相距无限远的、静止的中性自WU=-U(r)=UT(r)+UUrO吸引作用=

f(r)

1amrbnam r=r0处，晶体内能最小，为

U(r)

a1mc rm n0

越大原子结合越牢固，晶体也就越稳定，晶体也就较F排斥总排斥总合rOUU(V1、晶格常 K KV PV

P

U KKV 22Nr03

VN β为与晶体结构有关的因子，如面心立方结 2U

得：K9

r2

9N00 0Km、nr033 外电子组态相关C(WW Wa：基态中性气态原子获得一个电子成为负离子所释放的能量2 离子结I-VIINaCI、CsCI；II-VI族化合物可以看作离子晶体，如：CdS、ZnS。

4ru(r1j)UT(r) 4r01 1“+”、“-”对应于相同、相异离子的互作用势由2N个离子组成晶体的总互作用势能：

2) u(r

1

1r1j z2e22

12NbUTotN4r

rnan 0j 1 j11j2 2N令a，Ban，则 1 j11 BUTotN4rrn α--马德隆常数，仅与晶体几何结构有关的常数

0 (r0

N( )04r2

0B4n0 K036r4(n 36n 0K 离子晶体依靠较强的库仑引力而结合因而具有高硬度大热膨胀系数小 共价结典型晶体：IV族元素，C（石、Si、Ge、Sn(灰锡）的晶体H2分子中电子云的等密H2分子中电子云的等密度 U 反反rO态2两种不同原子的共价结合--GaAs-GaAs8若为完全的离子结合，Ga3eAsGa+3As-3Gaq*在-1~+3之间；Asq*在+1~-3之间GaAsε-ε-反键ε+成键1、饱和性：指一个原子所能形成共价键的数目（配位数）8N≥4,有(8-N)定则，即Ⅳ-Ⅶ族元素依靠共价键结合可形成(8-N)共价键的强弱取决于形成共价键的两个电子轨道的程3、Sp3 石四个共价键等同，键角C四个未配对电子：2s，2px，2py典型原子晶体，高、导电性能差、硬度高。：石为3280K、Si为1693K，Ge为1209K导电性：石是一种良好的绝缘体，而Si和Ge在极低温度下才是绝 金属结典型：I、II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体 范德瓦尔斯结色散力（伦敦互作用力：由瞬时电偶极矩的相互作用引起的非极性分取向力（葛生互作用力+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+2He，Ne，Ar晶格：以分子（或原子）特点：结合能很低，导电性能差、低，在可见光波段透明

U(r)A

64r

r

6U2N4A12r

A6r 氢键结典型的氢键晶体：冰X—H…Y强键- 晶体结合的规律石墨晶体和石是同素异构体，石是典型的共价键晶一个碳原子的三个价电子(sp2杂化)与其最近邻的三个原子组成Ⅲ-GaAsGaAs是闪锌矿结构，但解理面不同于完全共价键，其解理面是（110）Si、Ge的解理面为（111）3格振 一维单原子晶格的f与相对位移δ=xn+1-xnnxn-xn-dW 1d2W 2W(a)W(a) 2

,Ra

2dR

dWdRdW d2W

f

dR2

d2W f

dR2 只考虑相邻原子（近邻作用近似nUn1UnUnUn1

fnUn1UnUnUn1Un1Un12Unnndnmdt

2Un（n=1，2，3a很小，用△xnaa

Un(t)U(na,t)U(x,t)ntU(x,t)n+1U(x+△x,t)；n-1U(x-△x,t)，同理，以泰勒级数展开，可得：d2U(x,dt

d2U(x, a2

d2U(x,t)2d2U(x,令0

,m

U(x,t)n为 U(t)Aeiqnatn全部原子以同一角频ω，Aqa的集得：ei(qnat)ei[q(nN)ateiqNam=0,±1,q2mqqqλ=2π/q=Nat1时刻，n1at2n2a qn2an1axt2t1txn2an1a t 2在晶格振动理论中，把ω-qn将解：U(t)Aeiqnatn

ndnmdt

2Un得：22[1m122sinqa

sinqam 2 2 弹性ωm弹性ωmaaq的取值范围-π/a≤q≤π/a,22qam

sinqa22sinqa22ωq的线性函数；即υp不是q3长波近似—极限情况下的波动性质a<<λ时，λ→∞,q→0，sinqa

,是常 ωq

这是连续煤质性波的色散关4q的取值范围ωq的周期函数q2

q Ut

i[(q2m)nata

Aei(qnat)ei2nmAei(qnat)

tnq´=/(2a)q=5/(2a)的原子的振动（q-q´=2/a）q=5/(2a), =4a/5两相邻原子振动的位相差是2+/2q´=/(2a)，=4a q q W-Sqq（1）q和q对应相同的ω，（2）q5格波数（模式数q aqN6NNNUtAeiqnatnqn

§3.2一维双原子链的晶格振AdNmU1na2[U1naU2na]1[U1naU2(n1)amU2na2[U2naU1na]1[U2naU1(n1)a2N2NUnaAei(qna naAei[q(nad) [m2()]A(eiqd)eiqdA (eiqd)eiqdA[m2( A1,A2

2

12

222

cosqa1 1 12

12

222

cosqa1 1 12

12

222

cosqa1 1 1-π/aqπ/aq=0时，ωA=0,ωO≠022mωmm在第一布里渊区：-π/aq≤π/a，q允许的取值总数q2m,

N,2N2N个格波的线性叠2N当︱q0,λ→∞qa由cosqa1122和1x121x2

1 2m1221o

2 eq=0附近时，ωoq无关，ωo=ωmAB原子的振幅比为：e 1 A eiqa 1 1 eiqa 1

1 2A eiqaA 112q︱q→π/a时，λa21o 2m有格波频率“间隙”，ω2()1o 2 d<<a,d→0时

AAeiqd

AAeiqd β2>>β12β2>>β1β1/β2221

A 1

11m

2

12

o 2 11m

2d<<a,d→0时

AAeiqd

AAeiqd NS个原子。1qq（支。其中，3支声学支格波；3(s-1)3个自由度，3S