第一章概率论的基本概念1

第一章概率论的基本概念

(一)

1、多选题：

⑴以下命题正确的是()。

a.(A8)U(A历=A；A若AuB,则AB=A；

c.若AuB,则豆uX；/若AuB,则AU8=8.

⑵某学生做了三道题，A,表示第i题做对了的事件(i=1,2,3),则至少做对了两

道题的事件可表示为().

a.AlA2Ai\jAlA2A3\JA1A2A3;b.AAU42A3；

c.AtA2UA2A3U&A；d.A〕A2A3U4A2A3UA,A2A3UA&&-

2、A、8、C为三个事件，说明下述运算关系的含义：

(1)A.(2)BC.(3)ABC.(4)ABC.(5)AUBUC.(6)ABC.

3、个工人生产了三个零件，4与4。=123)分别表示他生产的第i个零件

为正、次品的事件。试用4与％(i=1,2,3)表示以下事件：⑴全是正品；⑵至

少有一个零件是次品；⑶恰有一个零件是次品；⑷至少有两个零件是次品。

4、下列命题中哪些成立，哪些不成立：

⑴AU3=4万U8;(2)AB=A\JB；

(3)A\JBC^ABC；(4)(A8)(A历=0；

(5)若AuB则A=AB；(6)若4u8则8uA。

。

1、选择题：

(1)若事件A与6相容，则有()

a.P{AU8)=P(A)+P(B)；b.P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)；

c.P(AU8)=1-P(A)-P®；d.P(AU6)=1-P(A)P(B)

⑵事件A与6互相对立的充要条件是()

a.P(AB)=P(A)P(6),b.尸(AB)=OfLP(AU6)=L

c.AB=0且AU6=Q”d.AB=0

2、袋中有12个球，其中红球5个，白球4个，黑球3个。从中任取9个,

求此9球恰好有4个红球，3个白球，2个黑球的概率。

3、寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日为同一个月的概率是多少？

4、在扑克牌游戏（共52张牌，"A”最大）中，求以下事件的概率：6A=

以“A”为头的同花顺次五张牌；⑵⑶=其它的同花顺次五张牌；（3）C=有四

张牌同点数；⑷。=有三张牌同点数且另两张牌也同点数；⑸七二五张同花；

⑹产=异花顺次五张牌；⑺"=三张同点数且另两张牌不同点数；⑻/=五张中

有两对；⑼1/=五张中有一对。

（三）

1、选择题：

(1)已知P⑻>0且44=0，则()成立。

a.lfi)>0；U4)I8)=P(AI8)+(A218);

c.P(4416)=0;=

⑵若P(A)>0,尸(B)〉0且P(AI8)=P(4),则()成立。

a.P(BIA)=P[B)；b.P(AIB)=P(A)；

cA,8相容；d.A,B不相容。

2、知P(A)=LP(8IA)=LP(AI8)=1,求P(AU6)。

3、种灯泡能用到3000小时的概率为0.8,能用到3500小时的概率为

0.7o求一个已用到了3000小时的灯泡还可以再用500小时的概率。

4、某市男性色盲发病率为7%,女性色盲发病率为0.5%。今有一人到医

院求治色盲求此人为女性的概率。（设该市性别结构为男：女=0.502:

0.498）

5、有两箱同类型的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱

装30只，其中18只一等品。今从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中取

零件两次，每次任取一只，做不放回抽样。求⑴第一次取到的零件是一等

品的概率，⑵第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一

等品的概率。

（四）

1、选择题（可能不止一个选项）：

⑴对于事件A与8,以下命题正确的是（），

。，若A,8互不相容，则瓦片也互不相容；。，若相容，则《反

也相容；

c,若独立，则彳，耳也独立；d,若A8对立，则

X,后也对立；

（2）若事件4与B独立，且P（A）〉O,尸（B）〉0,则（）成立,

a.P（B\A）=P（B）；b.P（A\B）=P（A）；

c.A,B相容；d.A,8不相容。

2、知A,8,C互相独立，证明彳，反不也互相独立。

3、设A,8,C为互相独立的事件，求证4118,4民4-8都与。独立。

4、一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为

80,求此射手每次射击的命中率。

81

5、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目

标的概率分别是0.4、0.5、0.7o目标被击中一发而冒烟的概率为0.2,被击

中两发而冒烟的概率为0.6,被击中一发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。

6、袋中有。个黑球，b个白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一个球

（取后不放回），分别求出他们各自取到白球的概率。

7、甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1：7：2,而

各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2o现在目标已被击毁，

试求目标是被甲阵地击毁的概率。

第二章随机变量及其分布

(一)

1、填空题：

(1).当。=时，P(X=6=c/N,伏=1,2,…N)是随机变量X的概率分布，

当。=时，P(Y=k)=(l-c)/N,(k=1,2,…N)是随机变量丫的概率分布；

⑵.当。=时，/>(丫=幻="/"!,/=1,2,-、/1〉0)是随机变量丫的概率

分布；

⑶设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为p,若以X表示

射击进行到击中目标为止时所需的射击次数，则X的分布律

为;

(4)进行重复独立试验，设每次试验成功的概率均为3/4。用X表示直到试验获

得成功所需的试验次数，则X的分布律为；

⑸把--枚质量均匀的硬币独立地抛掷〃次，以X表示此〃次抛掷中落地后正面

朝上的次数，则X的分布律为0

2、15只同类型的零件中有2只次品，现在从中取3次，每次取1只，取

后不放回。以X表记取出的3只中的次品数，求X的分布律与分布函数。

3、袋中有6个球，其中三个球上各印有1个点，两个球上各印有2个点，

一个球上印有3个点。从此袋中随机地取出3个球，并以X表记取出的三个球

上点数之和，试求随机变量X的分布律与分布函数及以下概率：

P(4<X<6),P(4<X<6),P(4<X<6),P(4<X<6)-

(二)

1、以下函数能否成为某随机变量的概率密度:

—COSX,0<X<7T

⑴〃x)=2

0,其它

⑵f(x)=I

0,其它

X+y,x+y<2

⑶〃x)=

0,其它

);(2)

2、设连续型随机变量X的概率密度为:

kx,xe[0,4]

/(%)=<

0,x任[0,4]

试求：（1）常数左；（2）X的分布函数；（3）概率尸（X<3）。

3、设随机变量X的概率密度为：

Asinx,0<x<7rH

/（X）=l。，其它

试求：（1）常数A；（2）X的分布函数；（3）概率P（-;z74<X（乃/4）。

4、设连续型随机变量X的分布函数为

b-e-x,x>0

F(x)=<

0,x<0

试求：⑴常数b,⑵概率密度/(x),(3)P(ln2<x<ln3)o

(三)

1、设随机变量X的分布律如右。求：⑴U=X—1；⑵V=-2X；(3)

w=X2的分布律。X-1012

P0.40.30.20.1

2、已知随机变量x的概率密度为

1—|加

/（x）=~e「8<X<+00,

求X的函数y=x2的概率密度。

3、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从参数为4=0.2

的指数分布，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月

要到银行5次。以y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，写出y的分布

律，并求p（y»i）。

第三章多维随机变量及其分布

㈠

1、若随机变量x,y独立，分布函数分别为/x(x)，K(y)，则(X,Y)的联合

分布函数为()。

a.F(x,y)=Fx(x)FY(y);b.F(x,y)=Fx(x)+FY(y)

c.F(x,y)=Fx(x)-Fy(y);d.F(x,y)=Fx(x)/FY(y)

2、设二维随机变量(x,y)取数组(LT)、(o「)、(」一)、(0,-1)的概

2323

率分别为a、b,试求：

36

①(X,Y)的联合分布律；

②确定常数a和b,使X和y相互独立；

③(x,y)分别关于x和y的边缘分布律。

3、甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中

率为0.5；以X、Y分别表示甲、乙的命中次数，试求X、Y的联合分布律。

(二)

1、设(X,Y)为二维随机变量，其联合概率密度为:

cxy0<x,y<1

f(x,y)=<

0其它

试求：(1)常数c；

(2)P(X<0.5；Y<0.7}；P{X<0.5}；P{Y<1.5}；

(3)(X,Y)的边缘概率密度。

2、设二维随机变量(X,Y)在D={(x,y)IxZ+y'WLx》。}上服从均匀分

布，试求(X,Y)分别关于X、Y的边缘概率密度函数，并讨论X、Y的相互独

立性。

2、设随机变量X和Y独立，且都在区间［1,3］上服从均匀分布，引进事件

A={X|Wa},B={Y>a},已知P(AUB)=7/9,求常数a.

3、设某班车起点站上车人数X服从参数为X(A>0)的泊松分布，每位乘客

在中途下车的概率为p(0〈p〈l),乘客中途下车与否相互独立。以Y表示在中途

下车的人数，求：

(1)在发时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；

(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布。

4、设随机变量X、Y相互独立，X具有概率密度

2x0<x<l

/（外=

0其它

Y服从［0,1］内的均匀分布，试求Z=X+Y的概率密度函数。

5、设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为:

X

]1_z

562x20,=<一e3y>0

7X（X）=,3

0x<00y<0

试求随机变量Z=X+Y的概率密度。

6、已知随机向量(X,Y)服从正方形G={(x,y):1WXW3,lWyW3｝上的

均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u)。

第四章随机变量的数字特征

（一）

1、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确的题号写的括号内）：

（1）掷一个均匀的骰子，所得点数的数学期望为（）o

।17,

a.1,b.一,c.一,d.6

62

（2）已知100个产品中有10个次品，从中任意取出5个产品其中次品数的期

望为（）.

a.0.5,b.0.25,c.1,d.-1

2、填空题：

（1）连续型随机变量X具有概率密度

x>0

x<0

则EX=_______

（2）设随机变量X与y相互独立，且都服从参数为〃=0.25的两点分布，并记

z=[i,x+y取奇数

一]。，x+丫不取奇数’

则x与z的联合分布为,z的期望EZ=.

3、游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25

分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点第X分钟到达底层候梯，且

X~17（0,60）,求该游客等候时间的数学期望。

4、某工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，其概率密

度为：

/(x)=<7

工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100

元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期

望。

5、设随机变量X1,X2互相独立，且其概率密度分别为:

2e%,>041二x>0

力（幻=<x/(x)-<

0,x<Q20,x<0

试求：(1)E(Xt+X2),(2)E(2X1-2X；).

6、设(X,y)在G上服从均匀分布，其中G由x轴，y轴及直线x+y=l围

成，求EX,E(3X+2Y),E(XY)0

7、设随机变量X』相互独立，且X~N(1,2),Y~N(O,1),试求随机变量

Z=2X-丫+3的概率密度函数。

(二)

1、选择题

(1)掷一对均匀的骰子，其点数之和的方差为

35356

a.—o匚b.—91oc.—oJd.—o

661235

2e-2\°的随机变量X的方差为

(2)概率密度为/(x)="

〔o，x<0

11

a.-=b.4。c.-odJ.-o

284

(3)设x与丫的相关系数p=o,则

a.x与y相互独立。b.x与y不一定相关。

c.x与y必不相关。d.x与丫必相关。

(4)设随机变量x与丫的期望和方差存在，且。(X-y)=ox+。匕，则下列

说法哪个是不正确的0

a.D(X+Y)=DX+DY,b.E(XY)=EX-EY,

c.X与丫不相关，d.X与丫独立；

2、填空题：

0,x<—1

(1)设随机变量X的分布函数为F(x)=」+/?arcsinx,-1<x<1,

2

1,x>1

则b=,DX=o

(2)设随机变量X与y相互独立，并且EX=EY=〃,OX=。丫=。2,

则E(X—丫尸=o

(3)设随机变量X取1与-1的概率都是0.5,那么X关于原点的前四阶矩

U1=,U2-，U3=，U4-O

(4)设随机变量X的数学期望EX=〃，方差DX=o"则由契比雪夫不等式

有P(|X-A|>3O)<-

3、设随机变量X的概率密度为/(x)=eR),求DXo

4、一门大炮不断地对目标进行轰击，假定目标被击中3次才能摧毁，且各

次轰击相互独立，在每次轰击中击中目标的概率是2/3,规定在5彳以内轰击

到摧毁目标为止，而轰击5次后必停止，求总共轰击次数的期望与方差。

5、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5,利用契比雪夫不等式估计:

在1000试验中，事件A发生的次数X在400~600之间的概率。

6、设(X,Y)是二维随机变量，已知：EX=2,砒2=20,EY=3,£丫2=34,

pxy=0.5,试求。(X+Y),£)(X-丫).

7、已知随机变量X与丫都服从二项分布B(20,0.1),并且X与y的相关

系数p『0.5,试求X+Y的方差及X与2丫-X的协方差。

8、设连续型随机变量X的概率密度是偶函数，且破2<+8,试证X与凶

不相关。

第五章大数定律与中心极限定理

1、每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2,方差为1$2,求在100次

射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率.

2、由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部

件能正常工作的概率为90%.为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%

的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率.

3、设有30个同类型的某电子器件3,。2,…,。30，若，(i=1,2,…,30)的

寿命服从参数为九=0」的指数分布，令T为30个器件正常使用的总计时间，求

P[T>350}.

4、在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服

从正态分布N⑴,0,22)，若以又；表示〃次称量结果的平均值，问〃至少取多大,

使得P{l%7-nl>0.1}<0.5.

5、某单位设置一电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的

时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至

少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线

可供使用.

第六章样本及抽样分布

1、设总体X~N(0,0.32),X1,X2,--,X10是来自X的样本，求

10

P{Zx；>1.44}.

/=1

2、设总体X~N(12,4),X,,X2,X3,X4,X5是来自X的样本，求

⑴样本均值与总体值之差的绝对值大于1的概率；

(2)P{max(X1,X2,X3,X4,X5)>15}；<10}.

3、设总体X~N(0,22),X,,X2,X3,X4是来自X的样本，求

1,1,

22

Z=—(X.-2XJ+——(3X,-4X4)

201210034

证明统计量Z服从自由度为2的犬分布.

第七章参数估计

1、设总体X服从负指数分布，其概率密度函数为

我叫x>0

/3)=<

0,x<0

其中；1>0,试求/I的矩估计量。

2、使用同一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果如下:

232.50,232.48,232.15,232.53,232.45,232.30

232.48,232.05,232.45,232.60,232.47,232.30

试用矩估计法估计测量值的真值和方差（设仪器无系统误差）。

3、设总体X服从儿何分布，它的分布律为

P[x=k}=(i-p)k-'p,k=i,2,…

XI,X2,…,X”是来自总体X的样本，求〃的极大似然估计量和矩估计量。

4、设总体X的概率密度为

(。+1)/，0<%<1

/(x)=<

0,其它

X1,X2,…,X”是来自总体X的样本，求分别用矩估计法和极大似然估计法求。

的估计量。

5、设总体X服从正态分布X1,Xz是从此总体中抽取的一个样本。

试验证下面三个估计量：

21

(1)认=-X,+-X

1332

13

(2)力=±X1+-X

241422

(3)u,+」X,

322

都是〃的无偏估计，并指出哪一个估计量有效。

6、设X,,X2,•••,%„和匕黑,…,，分别为来自正态总体和

N(〃,cr；)的样本，其中er；,er；已知，试求常数使。=cX+”为〃的无偏

估计量，并使其方差最小。

7、设参数。的无偏估计量为。，其方差。。依赖于样本容量〃。若

limO©=0,试证3是。的相合估计量。

8、设总体X~"(〃°2),用/2户、修0为其样本的观测值，试求参数〃的置信

度为0.95的置信区间(其中-力=22.4)o

/=!

9、随机地取某种炮弹9发作试验，测得炮口速度的样本标准差s=11

(米/秒)。设炮口速度X服从N(〃,cr2),求这种炮弹的炮口速度的标准差和方

差的95%的置信区间。

10、设两总体X,y,X~N(〃-64),丫~N(〃2,36)相互独立，从X中抽

取〃i=75的样本，元=82,从丫中抽取〃2=50的样本，9=76,试求(从-〃2)的

95%的置信区间。

11、设两总体x,y,x~N（〃「b：）,y~N（〃2相互独立，从x中抽

取〃1=25的样本，从y中抽取〃2=16的样本，算得s：=63.96,s；=49.05,

试求两总体方差比M■的90%的置信区间。

12、假定每次试验时，出现事件4的概率p相同但未知。如果在60次独立

试验中，事件4出现15次，试求p的置信度为95%的置信区间。

13、从一批某种型号电子管中抽出容量为10的样本，计算的标准差

s=45（小时兀设整批电子管寿命服从正态分布。试求出这批电子管寿命的标

准差的置信度为95%的单侧置信上限。

第八章假设检验

1、某工作人员在某一个星期里，曾经接见访问者12次,所有这12次的访问

恰巧都是在星期二或星期四.试求该事件的概率.是否可断定他只在星期二或星

期四接见访问者?若12次访问没有一次是在星期日，是否可以断言星期日他根本

不会客？

2、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9

炉铁水，其平均含碳量为4.484,如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁

水平均含碳量仍为4.55(a=0.05)?

3、有一批枪弹,出厂时，其初速时N(〃o,/,其中4=950米/秒，

%=10米/秒，经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值(单位:米/秒)如下:

914,920,910,934,953,945,912,924,940。

据检验，枪弹经储存，其初速v仍服从正态分布，且％=10可认为不变，问是否可

认为这批枪弹的初速u显著降低(a=0.025)?

4、设在木材中抽出100根，测其小头直径,得到样本平均数为最=11.2c〃z,已

知标准差。。=2&m.问该批木料小头的平均直径能否认为是在12cm以上

(a=0.05)?

5、从一批灯泡中抽取50个灯泡的随机样本，算得样本平均数最=1900小时,

样本标准差S=490小时，以a=1%的水平，检验整批灯泡的平均使用寿命是否

为2000小时？

6、某种导线的电阻服从正态分布N(〃,0.0052),今从新生产的一批导线中抽

取9