（精品讲义）2-32.3-4平面向量共线的坐标表示word版含答案2

08/909/9/2．3.4平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0?a∥b.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.()(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()答案：(1)√(2)√2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是()A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)答案：C3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2答案：D4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))向量共线的判定[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.eq\f(1,2)B.eqB.eq\f(1,3)C．1D．2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2).法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2μ，,2＝－2μ，))方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以eq\f(1,λ)＝eq\f(2,1)，即λ＝eq\f(1,2).[答案]A(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．又＝－2，∴，方向相反．综上，与共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[活学活用]已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3)，此时ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．∴k＝－eq\f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行且方向相反．三点共线问题[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解](1)证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，∴＝eq\f(3,2)，即与共线．又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．(2)若A，B，C三点共线，则，共线，∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又与方向相同，所以x＝2.此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴＝，∴∥，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，∴||＝eq\r(5)＝||，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝eq\f(3,4).∴＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．法二：设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．∵，共线，∴4x－4y＝0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量，共线，∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝eq\f(1,2)e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()A．－eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)解析：选C根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝eq\f(2,3)，故选C.3．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A．(2,1) B．(－6，－3)C．(－1,2) D．(－4，－8)解析：选D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()A．－3 B．2C．4 D．－6解析：选D因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.5．设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，tanα))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(1,3)))，且a∥b，则锐角α为()A．30° B．60°C．45° D．75°解析：选A∵a∥b，∴eq\f(3,2)×eq\f(1,3)－tanαcosα＝0，即sinα＝eq\f(1,2)，α＝30°.6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.答案：17．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.答案：238．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A，B，C三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，求证：∥.证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．∵＝eq\f(1,3)，∴(x1＋1，y1)＝eq\f(1,3)(2,2)．∴点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))).同理点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又eq\f(8,3)×(－1)－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0，∴∥.10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．(1)求a＋b；(2)若a与m平行，求实数λ的值．解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a＝(2,1)，且a与m平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9解析：选DA，B，C三点共线，∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为?ABCD，则＝，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为?ACDB，则＝，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为?ACBD，则＝，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵∥，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．解析：若点A，B，C能构成三角形