2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题练习06 等边三角形的判定和性质(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题06等边三角形的判定和性质

考试时间：120分钟试卷满分：100分

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一.选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）

1.（2分）（2021八上•河东期末）如图，过边长为4的等边AABC的边AB上一点P,作PEJ_AC于E,Q

为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为（)

2.（2分）（2021八上•牡丹江期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中,点D,E分别是BC,AC上的

点，且AE=CD,连接AD,BE交于点P,过点B作BQJ_AD,Q为垂足,PQ=2,则BP的长为（）

C.5D.6

3.（2分）（2021八上•海淀期末）如图，AABC是等边三角形，D是BC边上一点，。石_14。于点£.若

EC=3,则DC的长为（）

RD

A.4B.5C.6D.7

4.（2分）（2021八上•铁岭期末）如图，E是等边AASC中AC边上的点，N1=N2,BE=CD,则AADE

是（）

等腰三角形B.等边三角形

C.不等边三角形D.无法确定

5.（2分）（2021八上•哈尔滨月考）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线

上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那

么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60。的三角形是等边三角形.正确的说法有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.（2分）（2021八上•德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16,AABE是等边三角形，点E在正

方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则最小值为（）

中A.2B.3C.4D,6

7.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，等边AABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD±

的点，BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

8.（2分）（2021八上•句容期末）如图，边长为5的等边三角形48C中，M是高CH所在直线上的一

个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运

动过程中，线段HN长度的最小值是（）

B.1C.2D-I

9.（2分）（2021八上•牡丹江期末）如图所示，在等边三角形ABC中,D为AC边的中点，E为边BC延

长线上一点，BD=DE,DFLBE垂足为点F.下列结论：①AD=CE；②CE+CD=AB：®ZBDE=120°；

®CF：BF=I：3；@SACDE=-SAABE.其中正确的有（)

6

B.3个C.4个D.5个

10.（2分）（2021八上•台州期中）如图，AABC和ABDE均为等边三角形，且点E在^ABC内,

ZAEC=110°,若ACDE是不等边三角形，那么ZAEB的度数可能是（）

A.110°B.125°C.140°D.150°

11.（2分）（2020八上•昌平期末）如图,AABC是等边三角形，。是线段BC上一点（不与点B,C

重合），连接AO,点E,尸分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD,点。从8运

动到C的过程中，ABED周长的变化规律是（）

A

B.一直变小

D.先变小后变大

满分20分，每小题2分）

12.（2分）（2021八上•本溪期末）如图，AABC和ADEC都是等边三角形，连接AD,BD,BE,

/EBD=30°.下列四个结论中:①△AC£>gABCE；②ZADC+ZBDE=180°；③BE2+BD2=BC2；

④/BE。=90°,正确的是（填写所有正确结论的序号）.

13.（2分）（2021八上•东城期末）如图，BD,CE是等边三角形ABC的中线，BD,CE交于点F,则

ZBFC=_________

14.（2分）（2021八上•胶州期末）如图，AB=4,点M为线段AB上的一个动点,

在AB同侧分别以AM和BM为边作等边AAMC和等边ABMD,则线段CD的最小值为

15.（2分）（2021八上•道里期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC的

7

延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F,过点F作FNJ.AC于点N,DB=《CN,

EF=FD，若FB=17,则AN的长为.

16.（2分）（2021八上•铁西期末）如图，AABC是等边三角形，AD

是边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，NACP=

度.

17.（2分）（2021八上•中山期末）如图，AB=AC=5,N84C=110°,

AD是/BAC内的一条射线，且/84。=25。，P为AD上一动点，则归3-尸。的最大值是

A

18.（2分）（2021八上•灌云期中）如图，等边AABC中，AD为BC

D

边上的高，点M、N分别在AD、AC上,且AM=CN,连BM、BN,当BM+BN最小时，ZMBN=度.

19.（2分）（2020八上•昭平期末）已知：如图，点E、F分别在等边三角形ABC

的边CB、AC的延长线上，BE=CF,FB的延长线交AE于点G则/AGB=

20.（2分）（2021八上•平阳月考）如图，AABC中，ZB=30°,ZC=90°,等边

三角形DEF的三个顶点分别落在AC,AB,BC上，若CD=4,BE=6,则AB的长为.

21.（2分）（2020八上•江岸月考）如图，等边三角形ABC中,BD1AC

于D,BC=8,E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP,连DP,则DP的最小值为.

三.解答题（共7小题，满分58分）

22.（5分）（2021八上•盐池期末）如图，AABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E,使

CE=CD.求证：DB=DE.

E

V

/\23.（4分）（2021八上•莒南期中）如图

,已知等边AABGD,E分别在

BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交F点.求证：ZAFE=60°

A

//\24.（6分）（2021八上•嵩县期末）如图，

点D是等边AZIBC内一点，E是MBC

Dc

外的一点，ZCZ）B=130°,NBDA=a,2BDAmACEA.

C

/IVj（1）（3分）求证：是等边三角形；

B1

（2）（3分）若ACDE是直角三角形，求a的度数.

25.（9分）（2019八上•长沙期中）已知，如图,△ABC为等边三角形，AE=CD,AD、BE相交于点P,

A

BQ_LAD于Q,PQ=3,PE=1./'

K

Bn

（1）（3分）求证：AABE丝Z\CAD；

（2）（3分）求NBPQ的度数：

（3）（3分）求AD的长.

26.（10分）（2021八上•望花期末）已知，点P、点Q分别是等边AABC的边AB、BC所在直线上的动点

（端点除外）.点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP,直线AQ、CP相交于点

M.

（1）（5分）如图】，当点P、Q分别在AB、BC

边上时,

①求证：4ABQ丝4CAP；

②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，NQMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变,

求出它的度数;

（2）（5分）如图2,当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出/QMC的度数.

27.（11分）（2021八上•庄河期末）如图，AABC为等边三角形，点D、E分别为AC、BC边上一点,

且AD=CE,BD与AE交于点

(1)(5分)①求证：N3KE=60°；

②如图1,连接CK,若BK=2AK，求证：BDLCK.

（2）（6分）如图2,已知点F为等边AABC外一点，连接BF、EF,且5E+EK=3K，BK=EF.求

的度数.

28.（14分）（2021八上•吉林期末）如图，AABC是边长为6cm的等边三角形，点P,Q分别从顶点A,B

同时出发，点P沿射线A3运动，点Q沿折线3C—C4运动，且它们的速度都为lcm/s.当点Q到达点A

时，点P随之停止运动连接尸Q,PC,设点P的运动时间为f（s）.

（1）（2分）当点Q在线段BC上运动时,

（备用图）

BQ的长为（cm）,族的长为（cm）（用含t的式子表示）;

（2）（5分）当P。与AABC的一条边垂直时，求t的值；

（3）（5分）在运动过程中，当Ab。是等腰三角形时，直接写出t的值.

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题06等边三角形的判定和性质

考试时间：120分钟试卷满分：100分

一.选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）

1.（2分）（2021八上•河东期末）如图，过边长为4的等边AABC的边AB上一点P,作PEJ_AC于E,

Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为（）

【完整解答】解：过P作交AC于M,

二AAPA/是等边三角形，

又；PEA.AM,

：.AE=EM=-AM,

2

•••PM\\CQ,

；.NPMD=NQCD,NMPD=NQ,

VPA^PM,PA=CQ,

：.PA=PM=CQ,

'APDM=ZCDQ

在APMD和0CD中，，/PMD=ZDCQ,

PM=CQ

：.APMD^AQCD,

CD=DM=-CM,

2

DM+ME^-（AM+MC）=-AC=2,

22

故答案为：B.

【思路引导】过P作PM||5C,交AC于M,得出AAPM是等边三角形，推出PA=PM=CQ,根

据等腰三角形的性质证出丝AQCD,推出CD=0M=’CM,即可得出结论。

2

2.（2分）（2021八上•牡丹江期末）如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D,E分别是BC,AC上

的点，且AE=CD,连接AD,BE交于点P,过点B作BQ1AD.Q为垂足，PQ=2,则BP的长为（）

【完整解答】解：:△ABC为等边三角形,

，AB=AC,/BAC=/ACB=60。，

在4BAE和AACD中，

AB=CA,ZBAE=ZACD,AE=CD,

/.△BAE^AACD（SAS）,

AZABE=ZCAD,

•；NBPQ为AABP外角，

ZBPQ=ZABE+ZBAD=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60°,

VBQ±AD,/.ZPBQ=30o,

.'.BP=2PQ=4.

故答案为：B.

【思路引导】先求出AB=AC,/BAC=NACB=60。，再利用SAS证明ABAEgaACD,最后求出

BP的值即可。

3.（2分）（2021八上•海淀期末）如图，AABC是等边三角形，D是BC边上一点，Z）E_LAC于点E.若

EC=3,则DC的长为（）

A

B.5C.6D.7

【完整解答】解：•••AABC是等边三角形,

ZC=60°,VDE1AC,

ZDEC=90°,/EDC=90°-60°=30°,•/CE=3,:.CD=2CE=6.故答案为：c

【思路引导】先求出NC=60。，再求出NDEC=90。，最后计算求解即可。

4.（2分）（2021八上•铁岭期末）如图，E是等边AABC中AC边上的点，N1=N2,BE=CD,则

是（）

等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定

【答案】B

【完整解答】解：•:△ABC为等边三角形

.,.AB=AC,ZBAE=60°,

VZ1=Z2,BE=CD,

/.△ABE^AACD（SAS）,

/.AE=AD,ZBAE=ZCAD=60°,

.•.△ADE是等边三角形.

故答案为：B.

【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。

5.（2分）（2021八上•哈尔滨月考）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平

分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的

一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60。的三角形是等边三角形.正确的说法有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【完整解答】解：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故原说法符合题意;

②等腰三角形的底边高、中线、顶角的角平分线互相重合，故原说法不符合题意;

③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形,

已知：如图，在AABC中，AD为BC边的中线,且,

2

求证：AABC为直角三角形,

证明：:AD为BC边的中线,

2

.,.AD=BD=CD,

/.ZB=Z1,NC=N2,

VZB+ZC+ZBAC=180°,Z1+Z2=ZBAC,

.,.ZBAC=90°,

...△ABC为直角三角形，故原说法符合题意:

④有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形,故原说法不符合题意;

所以正确的说法有：①③，共2个.

故答案为：C

【思路引导】根据线段垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的判定，等边三

角形的判定，进行分别判断即可.

6.（2分）（2021八上•德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16,ZkABE是等边三角形，点E

在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则最小值为（）

【答案】C

【完整解答】解：设BE与AC交于点P,连接BD,

•••四边形ABCD是正方形,

二点B与D关于AC对称,

.*.P'D=P'B,

.,.P'D+P,E=P'B+P'E=BE最小，

•.•正方形ABCD的面积为16,

；.AB=4,

•••△ABE是等边三角形，

.,.BE=AB=4,

/•PD+PE的最小值为4.

故答案为：C.

【思路引导】由于点B与D关于AC对称，连接BE,与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，

根据正方形ABCD的面积为16,得出AB=4,根据等边^ABE的性质得出BE=AB,即可得出答案.

7.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，等边AABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD±

的点，BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

【答案】C

【完整解答】解：如图,

vAABC是等边三角形,

:.BA=BC，

YD为AC中点，

/.BD1AC,

•.•AQ=4,QO=3,

二AO=r>C=AQ+QO=7,

作点Q关于BD的对称点Q，,连接PQ咬BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小值

PE+QE=PE+EQ'=PQ',

•.AQ=4,AD=DC=7，:.QD=D（2=3,

：.CQ'=BP=4,

.­.AP=AQ=10,

•.•ZA=60°,

：.^APQ'是等边三角形，

.-.PQ'=PA=\O,

/.PE+QE的最小值为10.

故答案为：C.

【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q，,连接PQ,交BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小，

最小值PE+QE=PE+EQ，=PQ，,进而判断AAPQ，是等边三角形，即可解决问题.

8.（2分）（2021八上•句容期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的

一个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点

M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

5

2

【答案】A

【完整解答】解：如图，取BC的中点G,连接MG,

AH

•:旋转角为60。,

.,.ZMBH+ZHBN=60°,

又：ZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

.,.ZHBN=ZGBM,

VCH是等边△ABC的对称轴，

AHB=-AB,

.*.HB=BG,

又：MB旋转到BN,

在^MBG和△NBH中，

BG=BH

<ZMBG=NNBH,

MB=NB

(SAS),

.-.MG=NH,

根据垂线段最短，MGJ_CH时，MG最短，即HN最短,

此时：/BCH=-X60°=30°,CG=-AB=-、5=2.5,

222

；.MG=-CG=-,

24

.\HN=

4

故答案为：A.

【思路引导】取BC的中点G,连接MG,根据旋转角为60。可得NMBH+NHBN=60。，根据等边三角

形的性质可得NMBH+NMBC=NABC=60。，推出NHBN=NGBM,易得HB=-AB,则HB=BG,

2

根据旋转的性质可得BM=BN,证明^MBG四△NBH,得MG=NH,由垂线段最短可知：MGJ_CHEI寸，

MG最短，即HN最短，此时NBCH=30。，CG=-AB=2.5,据此求解.

2

9.（2分）（2021八上•牡丹江期末）如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为边BC

延长线上一点，BD=DE,DF_LBE垂足为点F.下列结论：①AD=CE；②CE+CD=AB；③/BDE

=120°；@CF：BF=1：3；⑤SACDE=，SAABE.其中正确的有（）

【答案】D

【完整解答】解：:△ABC是等边三角形，AD=DC,

/.BD1AC,BD平分/ABC,

,//ABC=/ACB=60°,

.,.ZDBC=30°,

•/DB=DE,

.•.NDBC=/DEC=30。，

NACB=NCDE+NCED,

，NCDE=NCED=30°,

.1.CD=CE=AD,故①符合题意,

・・・AB=AC=2CD,CD=CE,

・・・AB=CD+CE,故②符合题意，

VZBDC=90°,ZCDE=30°,

AZBDE=ZBDC+ZCDE=120°,故③符合题意，

VDF1CB,

JZCDF=30°,

Z.CD=2CF,BC=2CD,

・・・BC=4CF,

ABF=3CF,故④符合题意，VBC=2CE,

SABCD=2SADEC,

VAD=DC,

.•.SAABD=SACBD=2SACDE,SAADC=SACDE,

・・・S/kABE=6SziCDE,故⑤符合题意.

故答案为：D

【思路引导】利用等边三角形的性质，线段的中点，结合图形，对每个结论一一判断即可。

10.（2分）（2021八上•台州期中）如图，△ABC和ABDE均为等边三角形，且点E在ziABC内,

ZAEC=110°，若^CDE是不等边三角形，那么ZAEB的度数可能是（）

A.110°B.125°C.140°D.150°

【答案】D

【完整解答】解：♦•.△ABC和aBDE均为等边三角形,

・・・AB=CB,BE=BD,ZABC=ZDBE=ZBED=ZBDE=60°,

，ZABC-ZCBE=ZDBE-ZCBE,

/.ZABE=ZCBD,

在4ABE和KBD中，

'AB=BC

<NABE=ZCBD,

BD=BE

.•.△ABE^ACBD（SAS）,

/.ZAEB=ZCDB,

设/AEB=NCDB=x,

二ZCDE=ZCDB-ZBDE=x-60°,

/.ZCED=360°-ZAEB-ZBED-ZAEC=360°-x-60°-110°=190°-x,

/.ZDCE=180°-（ZCDE+ZCED）=50°,

•••△CDE是不等边三角形，

ZCDE/ZCED^ZDCE,

Ax-60V190°-x^50°,

解得xr125。，x*40。，x/110°.

故答案为：D.

【思路引导】根据等边三角形的性质有关边和角相等，利用角的和差关系求出NABE=/CBD,利用

SAS证明证明AABE四4CBD,则可得出NAEB=NCDB,设NAEB=NCDB=x,然后把NCDE、ZCED

分别用含x的代数式表示，根据三角形内角和定理求出NDCE的度数，然后根据不等边三角形的定义

分析即可解答.

11.（2分）（2020八上倡平期末）如图，AABC是等边三角形，。是线段BC上一点（不与点B,C

重合），连接AD，点、E,F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点。从8

运动到C的过程中，周长的变化规律是（）

C.先变大后变小D.先变小后变大

【答案】D

【完整解答】解：•••△ABC是等边三角形,

ZABC=ZACB=ABAC=60°,

:./EBD=/DCF=120。，

•;DF=AD，

ABAD+ACAD=ABAC=60°

..NC4T>=ZF

ZCDF+NF=ZACB=60°

：.ZBAD=ZCDF,

\DE=AD,

；.NBAD=NE,

：.ZE=ZCDF，

NEBD=NDCF

在ABDE和ACFD中，■ZEZCDF,

DE=FD

:ABDENACFD（AAS）,

BE=CD,

则ABED周长为BE+BD+DE=CD+BD+AD=BC+AD,

•••在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点

位置时，AD最小，

在点D从B运动到C的过程中，&BED周长的变化规律是先变小后变大，

故答案为：D.

【思路引导】利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行求解即可。

填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

12.（2分）（2021八上•本溪期末）如图，和AOEC都是等边三角形，连接AD,BD,BE,

ZEBD=30°.下列四个结论中:①AACD空RCE；②ZADC+ZBDE=180°；③BE2+BD2=BC2;

④/BED=90°,正确的是（填写所有正确结论的序号）.

c

E

【答案】①③

AB

【完整解答】解：•.•△ABC和AOEC都是等边三角形，

：.ZACB=ZDCE=O)°,AC=BC,CD=CE,

,"CB=ZACD+NDCB,ZDCE=ABCE+ZDCB,

:2ACD=/BCE,

.△AC哈ABCE,

故①符合题意；

NEBD=30。,

在四边形BEC。中，

.-.ZBDE+/BED=360°-180°-30°=150°,

ZADC+ZBDEZBDE+ZBED+60°=210°#180°,

故②不符合题意；

ZADC+NCDE+ZBDE=ZBEC+Z.CDE+ABDE=270°,

ZADB=360°-ZADC-ZCDE-ZBDE=90°，

AD2+BD2=AB2<

-.AD=BE,AB=BC，

BE1+BD1=BC2,

故③符合题意：

ZEBD=30°,

:.NBDE+/BED=150°,

ZBDE不一定等于60°,

：.NBED=900不一定成立，

故④不符合题意；

故答案是：①③.

【思路引导】由“SAS”可证故①正确，由全等三角形的性质和四边形内角和定理可得

ZADC+ZBDE=210°,故②错误，先求出NADB=90。，由勾股定理可得BE?+5。？=5。？，故③

正确，由/ADC的大小无法确定，可得NBED不一定为90。，故④错误，即可求解。

13.（2分）（2021八上•东城期末）如图，BD,CE是等边三角形ABC的中线，BD,CE交于点F,

则=

【答案】120

【完整解答】解：；AABC是等边三角形

ZABC=ZACB=60°

VBD,CE是等边三角形ABC的中线

/.NDBC=-/ABC=30°,/ECB=-NACB=30°

22

又•:ABFC=1800-ZDBC-ZECB

/.ZBFC=180°-30°-30°=120°

故答案为：120°.

【思路引导】根据等边三角形的性质可得NO8C=LNA5C=30。，ZECB=-ZACB=30°,再利用

22

三角形的内角和可得4BFC=180°-30°一30°=120°“

14.（2分）（2021八上•胶州期末）如图，AB=4,点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM

和BM为边作等边AAMC和等边ABMD,则线段CD的最小值为.

【完整解答】解：设AM=x,BM=4-x,

VAAMC,ABDM均为等边三角形，

；.CM=AM=x,DM=BM=4-x,

VZAMC=60°,ZBMD=60°,

.•.ZDMC=60°,

过点D作DE±CM于E,D

则NDEM=90°,

.,.ZMDE=30o,

/.ME=-DM=-(4-x],

22V'

DE=y/DM2-EM2-x),

.,.当x=2时,CD有最小值,最小值为4,

故答案为:4.

【思路引导】设AM=x,BM=4-x,根据AAMCMBDM均为等边三角形，得出CM=AM=x,DM=BM=4-x,

过点D作DELCM于E,则/DEM=90。，利用勾股定理即可得出CD的最小值。

15.（2分）（2021八上•道里期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线

7

段AB上，连接ED交线段BC于点F,过点F作RVJ.AC于点N,=所=9，若FB=17,

A

则AN的长为

【答案】22

【完整解答】解：作DG〃AC交BC于G,

,/AABC是等边三角形,

...AB=BC=AC,ZABC=NBCA=ZBAC=60°

.,.ZDGB=ZACB=60°,ZDGF=ZECF,

VZDFG=ZEFC,EF=FD，

.,.△DFG^AEFC,

:.GF=FC,

VZDGB=ZACB=60°,

.••△BOG是等边三角形，

/.BD=BG,

7

•；DB=-CN,

5

设CN=5a,则80=7。，

FNA.AC,

/.ZNFC=30°,Z.CF=2CN=10a,

：.GF=FC=\Qa,BD=BG=7a,

FB=17Q=17,

a=l>

则3C=AC=27a=27,CN=5a=5,

AN的长为27-5=22,

故答案为：22.

【思路引导】作DG//AC交BC于G,根据AA3C是等边三角形,证出ADFG丝aEFC,得出GF=，

再证出ABDG是等边三角形，得出现>=3G,设CN=5a,则BO=7a,根据垂直的性质得出a的

值即可。

16.（2分）（2021八上•铁西期末）如图，AABC是等边三角形，AD是8C边上的高，E是4c的中点，

P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，ZACP=度.

【答案】30

【完整解答】解：如图,连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,

「△ABC是等边三角形，AD1BC,

.,.PC=PB,.\PE+PC=PB+PE>BE,

即BE就是PE+PC的最小值，

「△ABC是等边三角形，

/.ZBCE=60°,

VBA=BC,AE=EC,

.\BE±AC,

ZBEC=90°,

ZEBC=30°,

VPB=PC,

二ZPCB=ZPBC=30°,

，ZACP=30°,

故答案为：30.

【思路引导】连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，根据^ABC是等边三角形，AD1BC,得

出PC=PB,即BE就是PE+PC的最小值，根据AABC是等边三角形，得出BEJ_AC,从而得出/ACP

的度数。

17.（2分）（2021八上•中山期末）如图，A3=AC=5,=110°,AD是NBAC内的一条射线，

且/BAD=25。，P为AD上一动点，则|PB-PC|的最大值是.

作点B关于射线4）的对称点3'，连接43'、CB',B'P.

则AB=AB',PP=PB,ZB'AD=ABAD=25°,ZB'AC=ABAC-ZBAB'=110°-25°-25°=60°.

•••AB=AC=5,

AB'-AC-5,

二AAB'C是等边三角形，

...B'C=5,

在APB'C中，|P?-PC|W5'C,

当P、B'、C在同一直线上时，-PC|取最大值B'C,即为5.

.」P5r一/C|的最大值是5.

故答案为：5.

【思路引导】作点B关于射线的对称点8'，连接AB'、CB',B'P.易证AAB'C是等边三角形，

可得B'C=5,在dB'C中，由于|P?-PC|WB'C,所以当P、B'、C在同一直线上时，|PB'-PC|

取最大值，即为B'C的长.

18.（2分）（2021八上•灌云期中）如图，等边AABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、

AC上，且AM=CN,连BM、BN,当BM+BN最小时，NMBN=度.

【完整解答】解：如I图1中，作CHLBC,使得CH=BC,连接NH,BH.

二ZHCN=ZCAD=ZBAM=30°,

VAM=CN,AB=BC=CH,

/.△ABM^ACHN(SAS),

ABM=HN,

VBN+HN>BH,

AB,N,H共线时，BM+BN=NH+BN的值最小,

如图2中，当B,N,H共线时，

,H

「△ABMg△CHN,

图2

.,.ZABM=ZCHB=ZCBH=45°,

：/ABD=60°,

/.ZDBM=15°,

/.ZMBN=45°-15。=30。，当BM+BN的值最小时，NMBN=30。，

故答案为30.

【思路引导】作CHLBC,使得CH=BC,连接NH,BH,根据等边三角形的性质和平行线的性质得

出有关角或边相等，利用SAS证明aABM丝△CHN,得出BM=HN,根据两点之间线段最短得出B,

N,H共线时，BM+BN=NH+BN的值最小，由△ABM24CHN,求出NABM=45。，然后由角的和差

关系求出/DBM=15。，从而求出NMBN的度数即可.

19.（2分）（2020八上•昭平期末）已知：如图，点E、F分别在等边三角形ABC的边CB、AC的延长

线上，BE=CF,FB的延长线交AE于点G则NAGB=.

【答案】60°

【完整解答】解：•••△ABC为等边三角形,

；.AB=BC,

VBE=CF,

■:ZABE=ZBCF=180°-60°=120°,

.,.△ABE^ABCE(SAS),

...ZGEB=ZF,

...ZAGB=ZGEB+ZGBE=ZF+ZCBF=ZACB=60°.

故答案为：60°.

【思路引导】由等边三角形的性质得边和角相等，利用边角边定理可证△ABE^^BCF,则对应角/

GEB=NF,利用三角形外角的性质把NAGB转化成NF和NBFC之和，则可知其值为60。.

20.（2分）（2021八上•平阳月考）如图，ZiABC中，ZB=30°,ZC=90°,等边三角形DEF的三个顶

点分别落在AC,AB,BC上，若CD=4,BE=6,则AB的长为.

【答案】y

【完整解答】解：如图，在EB上取一点G,使EG=AD,连接FG,

ZA=90°-ZB=60°,

:△DEF为等边三角形，

.•.NDEF=60。，DE=EF,

ZFEG+ZAED=180°-ZDEF=120°,ZADE+ZAED=180°-ZA=120°,

.,.ZADE=ZFEG,

在^AED和^GEF中，

AD=EG

<ZADE=4FEG,

DE=EF

.".△AED^AGEF(SAS),

/.ZFGE=ZDAE=60°,

ZGFB=ZFGE-ZB=30°,

二ZB=ZGFB,

，GB=GF,

设AD=EG=x,

・・・BG=BE-EG=6-x,

・・・AE=FG=GB=6-x,

.\AB=AE+EG+GB=2(6-x)+x=12・x,

VAC=AD+CD=x+4,

VZB=30°,ZC=90°,

V2AC=AB,

A2(x+4)=12-x,

4

解得：X=],

432

AB=12-x=12--=—.

33

32

故答案为：—.

3

【思路引导】在EB上取•点G,使EG=AD,连接FG,根据等边三角形的性质得出NDEF=60。,DE=EF,

然后利用角的和差关系求出NADE=NFEG,则可利用SAS证明aAED名Z\GEF,得出NFGE=NDAE,

AD=EG,通过三角形外角的性质求出4FGB为等腰三角形，设AD=EG=x,然后把AC和AB用x表示

出来，结合AB=2AC建立方程求解，即可求出AB长.

21.(2分)(2020八上•江岸月考・)如图，等边三角形ABC中，BDLAC于D,BC=8,E在BD上一

动点，以CE为边作等边三角形ECP,连DP,则DP的最小值为.

【答案】2

【完整解答】解：如图，连接AP,

p

,：AABC为等边三角形，BD±AC,BC=8,ABC=AC=AB=8,DA=DC=4,

//D

B

ZBCA=ZABC=60°,NCBE=30°,

:△CEP为等边三角形，

.♦.CE=CP,ZPCE=60°,

.,.ZPCE=ZACB,

.*.ZBCE=ZACP,

...在aBCE和zkACP中，

'BC=AC

<ZBCE=ZACP：.ABCE^AACP（SAS）,

CE=CP

/.ZCBE=ZCAP=30°,AP=BE,

.•.当DPJ_AP时，DP值最小，

此时NAPD=90。，NCAP=30。，DA=4,

/.DP=2.

故答案为：2.

【思路引导】连接AP,由等边三角形的性质可得BC=AC=AB=8,DA=DC=4,ZBCA=ZABC=60°,

ZCBE=30°,CE=CP,ZPCE=60°,证明△BCE^^ACP,得到NCBE=NCAP=30。，AP=BE,推出当

DPJ_AP时，DP值最小，据此求解.

三.解答题（共7小题，满分58分）

22.（5分）（2021八上•盐池期末）如图，AABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E,使

CE=CD.求证：DB=DE.

•:△ABC是等边三角形，

，Z4BC=N1=6O°，AB=BC.

,/BD是中线，

AZ2=-ZABC=30°.

2

*：CE=CD，

，ZE=N3.

：N1=NE+N3=6O。，

AZ£=Z3=3O°.

ZE=N2=30。.

/.DB=DE.

【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得NABC=N1=6O。，N2=gNABC=30。，由

等腰三角形的性质得NE=/3,由外角的性质得Nl=NE+N3=60。，故NE=N3=30。，则NE=N2=30。,

据此证明.

23.（4分）（2021八上•莒南期中）如图，已知等边AABC,D,E分别在BC、AC上，且BD=CE,

连接BE、交F点.求证：ZAFE=6QC

【答案】AABC是等边三角形ZABC=ZC=6Q°AB=BC

^△ABD和ABCE中

AB=BC

<NABC=NC：.AABD^ABCE

BD=CE

：.NBAD=NCBE

：.ZAFE=ZBAD+ZABE=ZCBE+ZABE=ZABC=60°.

【思路引导】根据AABC是等边三角形得出NABC=NC=6（）°，AB=BC,利用SAS证明

AABD^ABCE,得出NB4O=NCBE,即可得出结论。

24.（6分）（2021八上•嵩县期末）如图，点。是等边△/bC内一点，E是△45C外的一点，ZCDfl=130°,

ZBDA=a,ABDAmACEA.

(1)(3分)求证：A/EO是等边三角形;

（2）（3分）若ACDE是直角三角形，求a的度数.

【答案】（1）证明：•••△3D4MACEA,ZBDAa,

AD=AE,ZBAD=ZCAE,ZBDA=ZAEC=a,

AZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC,

AZBAC^ZDAE,

,/AABC是等边三角形，

...NA4c=60。，

AZDAE^6O°,

VAD^AE,

/.AAEZ）是等边三角形；

（2）解：•••△/!£/）是等边三角形，

NADE=NAE£>=60°,VZCDB=130°,NBDA=a,

/.ZCDE=3600-a-6（）°-130°=170°-a,NCED=a-60°,

ZDCE=180°-（«-60°）-（170°-cr）=70°.

•:ACDE是直角三角形，ZDCE=70°.

当NCED=9CP时，90。=。—6（）。，

...a=150。，

当NCDE=90。,170°-a=90°,

.••a=80°,

•••a=150。或80°.

【思路引导】（1）利用全等三角形的性质得NBAD=NCAE,ZCEA=a,AD=AE,易得NBAC=NDAE；

再利用等边三角形的性质可