2023年公务员考点笔记

=数量关系=【代入与排除法】★直接代入法★倍数特性法2、4、8整除及余数鉴定基本法则1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除；3、9整除及余数鉴定基本法则1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；7整除鉴定基本法则1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位，与剩下的数之差为7的倍数；11整除鉴定基本法则一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差值为11的倍数题型一：直接倍数例1.将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生，在9个班中，其中1个班有学生32人，其余8个班人数相同且在40到50人之间。如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？A.40B.50C.60D.80解析：设每人分到2本，8个班每班学生y人，则（32+8y）x=20230，化简可得（4+y）x=2500，显然2500是x的倍数，B满足。例2.某工厂生产一批零件，原计划天天生产100个，因技术改善，实际天天生产120个。结果提前4天完毕任务，还多生产了80个。则工厂原计划生产零件（）个。A.2520B.2600C.2800D.2880解析：原计划生产的零件数目加上80，一定是120的倍数，选C。点睛：假如知道两个数的和为a，差为b，那么这两个数分别为EQ和，这是一个很重要的结论，一定要牢牢记住。题型二：因子倍数a+b\2例1.王明誊录一份报告，假如每分钟誊录30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完2/5时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完毕。问这份报告共有多少字？（）A.6025B.7200C.7250D.5250解析：设报告总共有X个字，完毕报告2/5后，效率提高40%，为30×1.4=42个，而42中有7因子，所以重量的3/5也应当有因子7，选D例2.学校组织学生进行献爱心募捐活动，某年级共有三个班，甲班捐款数是此外两个班捐款总数的2/5，乙班捐款数是丙班的1.2倍，丙班捐款数比甲班多300元，则这三个班一共捐款（）元。A.6000B.6600C.7000D.7700解析：题型三：比例倍数在整数运算中，若a：b=m：n（m，n互质），则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a＋b占m＋n份，是m＋n的倍数；a－b占m－n份，是m－n的倍数例1.某单位引进4名技术型人才后，非技术型人才在职工中的比重从50%降至43.75%。问该单位在引进人才之前有多少名职工？A.28B.32C.36D.44解析：43.75%=7/16，即非技术职工：现职职工=7:16，说明非技术职工是7的倍数，原有的比重是50%，则原职工数也一定是7的倍数。综合特性法题型一：大小特性题型二：奇偶特性1.两个奇数之和/差为偶数，两个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2.两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数之和/差为偶数，则它们奇偶相同；3.两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差为偶数。例1.有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数。（）A.44B.43C.42D.41解析：假如该整数是偶数的话，用它分别去除157、324和234，三个余数一定是奇数、偶数、偶数，和不也许是100，所以该整数一定是奇数，排除A、C。将B、D项代入，经验算可知41符合条件。所以选择D选项。题型三：尾数特性点睛：正整数的加、减、乘运算中，每个数字的最后N位，通过同样的计算，可以得到结果的最后N位题型四：余数特性例1.某单位组织参与理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，假如每组分派7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；假如每组分派5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参与理论学习的党员比入党积极分子多多少人？A.16B.20C.24D.28解析：由“假如每组分派5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可设提成了X组，则党员数为5X+2名，入党积极分子为2X，因此参与理论学习的党员比入党积极分子多3X+2名，即减去2是3的倍数，符合此条件的只有B项。题型五：幂次特性题型六：质数特性本章习题训练1.孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多少岁？（）A.2B.4C.6D.8解析：2人的平方和相减是爷爷的出生年份的后2位，40年代，那么后两位是在40-49之间。设孙儿、孙女的年龄分别为a、b，两人平均10岁，那么a+b=20。而a2-b2=（a+b）（a-b）=20（a-b），代入选A。2.某公司为客户出售货品，收取3％的服务费；代客户购置设备，收取2％的服务费。某客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备。已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支恰好平衡，则自产的物品售价是多少元？（）A.3880B.4080C.3920D.7960解析：设客户自产的物品售价是x元，购置的新设备是y元，由于收支平衡，即x×（1-3%）=y（1+2%），即97x=102y，可知x必然为102的倍数，103又是3的倍数，故而选B3.1！+2！+3！+…+2023！的个位数是（）。A.1B.3C.4D.5解析：从5！及以后的各个数里都具有因子2和因子5，尾数必然是是0，因此，这个式子的个位数是1+2+6+4+0+…+0的尾数，尾数为3。本题答案为B选项4.某单位组织职工参与团队操表演，表演的前半段队形为中间一组5人，其别人按8人一组围在外圈；后半段队形变为中间一组8人，其别人按5人一组围在外圈。该单位职工人数为150人，则最多可有多少人参与？（）A.149B.148C.138D.133解析：（总人数-5）是8的倍数，代入选项排除选项B、C；后半段：（总人数-8）是5的倍数，代入选项排除选项A。因此，本题答案为D选项。【转化与化归法】★划归为一法在“划归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分散，简化计算。例1.某水果店新进一批时令水果，在运送过程中腐烂了1/4，卸货时又损失了1/5，剩下的水果当天所有售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的（）倍。A.1.6B.1.8C.2D.2.2解析：设一共有20公斤水果，则剩下的水果为20-20×1/4-20×1/5=11，获利10%，则最终收入应为22元，售价则为22/11=2元。因此，本题选C。点睛：本题为利润问题，题干当中没有涉及重量、单价或者总价的任何一个量的具体大小，所以可以挑选其中两个量，大胆假设，这样不会影响结果。★比例假设法例1.一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为4:3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增长20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站尚有17公里。东、西两个车站的距离是（）公里。A.59.5B.77C.119D.154解析：两车相遇的点到东西两个车站的距离比是4:3.相遇后速度相等，均为3.6，则客车走3到站时，货车也走3，距离东车站的距离是整个路程的1/7，即17公里。17X7=119.答案为C。例2.某类型灯泡按功率大小划分为不同的型号，不同型号灯泡的功率和平均使用寿命成反比，假如20瓦灯泡的平均使用寿命正好比30瓦灯泡长2400小时，问45瓦灯泡的平均使用寿命比50瓦的灯泡长多少小时？（）A.240B.320C.480D.1200解析：比例问题。由于功率和平均使用寿命成反比，即功率和平均使用寿命的乘积应当相同，取20、30、45、50的最小公倍数900，则20、30、45、50瓦灯泡寿命分别为45、30、20、18，其中20瓦比30瓦寿命长45-30=15，而实际值为2400，是假设值的160倍。在假设条件下，45瓦比50瓦寿命长20-18=2，实际应当长2x160=320.★工程问题基础公式：工作量=工作时间x工作效率；核心思想：划归为一法（设“1”法）、比例假设法题型一：基础计算型例1.某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完毕一项生产任务。假如互换工人甲和乙的岗位，其别人不变，可提前1小时完毕任务；假如互换工人丙和丁的岗位，其别人不变，也可以提前1小时完毕任务。假如同时互换甲和乙，丙和丁的岗位，其别人不变，可以提前多少时间完毕？（）A.1.4小时B.1.8小时C.2.2小时D.2.6小时解析：设总工作量为72,则原效率为8；互换甲乙的岗位或丙丁的岗位互换之后的工作效率均为9，一起互换后效率提高2，变为10，于是完毕时间为72÷10=7.2小时，即提高了9-7.2=1.8小时。题型二：同时合作型题型三：先后合作型题型四：交替合作型“交替合作型”工程问题，由于合作的“交替性”，不能简朴地使用公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。题型五：撤出加入型题型六：两项工程型例1.A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路900米，李庄要修路1250米。已知A、B、C队天天分别能修24米、30米、32米，A、C队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问B队在王庄工作了几天？A.9B.10C.11D.12解析：总工程量为900+1250=2150米，总效率为24+30+32=86（米/天），总耗时为2150÷86=25天，那么A队工程总量为24x25=600米，所以B队在王庄的工程量为300米，耗时300÷30=10天。例2.甲、乙、丙三个工厂承接A和B两批完全相同的加工订单，假如甲厂和乙厂负责A订单而丙厂负责B订单，则丙厂要比甲厂和乙厂晚15天完毕；假如在上述条件下甲厂分派1/3的生产资源或者乙厂分派1/5的生产资源用于B订单的生产，则A、B两个订单同时完毕。问假如合并三个工厂的生产能力，第几天可以完毕A订单的生产任务？A.22B.24C.25D.26解析：设三个工厂的效率分别为甲、乙、丙，则丙+甲×(1/3)=甲×(2/3)+乙，丙+乙×(1/5)=甲+乙×(4/5)，解得：甲/乙=3/5，若赋值：甲=3、乙=5，则丙=6，设甲乙两厂合作T天可以完毕A订单，则丙厂需要(T+15)天可以完毕B订单，则有(3+5)×T=6×(T+15)，解得：T=45，即订单的工作量A=B=6×(45+15)=360，则三个工厂合作完毕A订单需要的时间为360÷(3+5+6)=25.7天，选D。题型七：三项工程型本章习题训练1.2023年某种货品的进口价格是15元／公斤，2023年该货品的进口量增长了一半，进口金额增长了20％。问2023年该货品的进口价格是多少元／公斤?（）A.10B.12C.18D.24解析：赋值法。假设2023年进口了2公斤，2023年进口金额是30元，2023年进口了3公斤，进口金额是30×（1+20%）=36，因此2023年进口价格是36÷3=12元/公斤。答案为B选项。2.商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度减少一半来促销，商品售价比以前减少了54元。问该商品本来的售价是多少元？A.324B.270C.135D.378解析：假设进货价是5份，则原售价为7份，减少后售价为6份，说明1份是54，所以7份是54×7＝378元。因此，本题选D。3.某城市共有A、B、C、D、E五个区，A区人口是全市人口的5/17，B区人口是A区人口的2/5，C区人口是D区和E区人口总数的5/8，A区比C区多3万人。全市共有多少万人？A.20.4B.30.6C.34.5D.44.2解析：解法2：假定全市人口为17×13份，则A区5×13=65份，B区2×13=26份，C：（D＋E）=5:8，C区占（17－5－2）××13=50份，则15份为3万人，每份0.2万人，全市共0.2×17×13=44.2。因此，答案选择D选项。4.甲、乙、丙三个工程队完毕一项工作的效率比为2:3:4。某项工程，乙先做了1/3后，余下的交由甲与丙合作完毕，3天后完毕工作。问完毕此工程共用了多少天？A.6B.7C.8D.9解析：设甲、乙、丙三人的工作效率分别为2、3、4，则甲、丙两人合作3天的工作量为

（2+4）x3=18，则工作总量

，因此乙完毕

，乙工作的天数为

9÷3=3天，故总时间为

3+3=6

天。因此，本题答案选择A项。5.早上7点两组农民开始在麦田里收割麦子，其中甲组20人，乙组15人。8点半，甲组分出10人捆麦子；10点，甲组将本组所有已割的麦子捆好后，所有帮乙组捆麦子；假如乙组农民一直在割麦子，什么时候乙组所有已割的麦子可以捆好？（假设每个农民的工作效率相同）（）A.10:45B.11:00C.11:15D.11:30解析：设每个农民一小时割麦子的量为1，甲割麦子总量为20×1.5+10×1.5=45，故每个人捆麦子=45÷（1.5x10）=3。设从10点之后通过x小时，乙组的麦子所有捆好，那么乙组割麦子的总量为15x（3+x）=20x3xX，解得x=1。所以甲组从10点开始捆麦子，再过一个小时即11点时能所有捆好。因此，本题对的案为B。6.甲、乙两个工程队共同完毕A和B两个项目。已知甲队单独完毕A项目需13天，单独完毕B项目需7天；乙队单独完毕A项目需11天，单独完毕B项目需9天。假如两队合作用最短的时间完毕两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完毕任务？A.1/12天B.1/9天C.1/7天D.1/6天解析：分析题干得知，甲完毕B项目，乙完毕A项目，然后甲乙共同完毕剩余的A项目，这样的时间最短。即B项目竣工时，乙做A项目已7天。令A工程总量为11×13＝143，则甲效率＝11，乙效率＝13，B项目竣工时，A项目剩余143－13×7＝52，所以完毕A项目还需52÷（11＋13）＝13/6，即还需的天数为1/6天。答案选择D。【典型解题技巧】★十字交叉法Aa+Bb=（A+B）r→=→例1.某单位共有职工72人,年终考核平均分数为85分,根据考核分数,90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？（）A.12B.24C.30D.42解析：其他职工优秀职工其他职工优秀职工=，说明优秀员工有30人。例2.学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？A.4：5B.5：6C.6：5D.5：4解析：本题设两个未知数，求两只之间的比例关系即可。足球打了25%折扣后为60元，篮球打了20%折扣后为80元。设购买足球与篮球的数量分别为X、Y，(80X+100Y)X0.78=60X+80Y,解得0.12X=0.1Y,X:Y=5:6，答案B对的。例3.有30名学生，参与一次满分为100分的考试，已知该次考试的平均分是85分，问不及格（小于60分）的学生最多有几人？（）A.9人B.10人C.11人D.12人解析：总分一定，要使不及格的学生人数最多，只有使及格的学生分数最高，即及格的学生都得100分，且不及格的学生的分数都为59.9分。设不及格的学生人数为x人，则及格的学生人数为（30-x）人，列方程为：85×30=59.9x+100(30-x），解得x≈11.2。11.2为不及格的学生最多的情况，因此只能取11。本题选C。构造设定法解题时，直接构造出满足条件的情况，从而得到对的的答案。例1.某公交线路从起点到终点共25个站点，天天早上6点分别从起点站和终点站同时发出首班车，晚上10点开出末班车，每班车发车时间间隔10分钟。假设每辆车从一个站点行驶到下一个站点所需时间为5分钟，则该线路至少需要配备（）辆车。A.24B.13C.12D.26解析：25个车站，一共有24段，每段是5分钟，所以一辆车从最开始至最末端是24x5=120分钟，120除以10=12辆车，由于是在两端发车，所以车辆的数量为24辆。因此，本题答案为A例2.一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，规定任意两个喷头都能被一根水管连通，问最少需要几根水管?(一根水管上可以连接多个喷头)A.5B.8C.20D.30解析：几何构造类，在没有连接技巧的情况下，需要的管子数为C(6,2)=15，C与D选项可以排除，A选项水管量太少，很明显不符合条件。因此，本题答案为B选项。具体构造图形如下：例3.往返A市和B市的长途汽车以同样的发车间隔从两个城市分别发车，以每小时40公里的速度前往目的城市。上午9点多，李先生以每小时50公里的速度开车从A市长途汽车站前往B市长途汽车站，路途中总共追上了3辆从A市开往B市的长途汽车。问他在路途中最多能迎面碰到多少辆从B市开往A市的长途汽车？A.27B.25C.36D.34解析：假设长途汽车发车间隔为1，那么相邻两辆长途汽车距离为40.想要最终碰到的长途汽车最多，那李先生行驶的间尽量最长，最抱负的情况就是李先生刚好和一辆长途汽车同时出站，追上3辆汽车后，恰好和一辆汽车同时进站，相称于李先生总共追及距离为4个长途汽车距离，即为160。由追及公式得160=（50-40）t，李先生总共行驶时间为16.一次相遇需要的时间为t=40/90=4/9，总共有36个相遇时间，所以最多相遇了36辆车。★极端思维法当试题当中出现了“至多”“至少”“最多”“最少”“最大”“最小”“最快”“最慢”“最高”“最低”等字样时，我们通常需要考虑“极端思维法”。这种方法需要分析题意，构造出满足题意规定的最极端的情形，所以从本质上来讲，极端思维也是一种“构造设定法”例1.5个人平均年龄是29,5个人中没有小于24的，那么年龄最大的人至多是多少岁？（）A.46B.48C.50D.49解析：5个人平均年龄为29，总年龄为145岁，5个人中没有小于24岁的，设年龄较小的4个人都是24岁，则4个人的总年龄是96岁，则年龄最大的也许是145-96=49岁。本题答案为D例2.一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？A.34B.37C.40D.43解析：求班级第6名和第15名之间的分差最大，则前5名的成绩差距要尽也许的小，即前6名成绩是连续的自然数，且后5名的成绩差距要尽也许的小，即后6名的成绩是连续的自然数。又由于班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，则前5名的成绩决定了后5名的成绩。而同时满足这些条件的数列有多组，则可以使前5名的成绩为100、99、98、97、96，则第6名的成绩为95，由此，后5名得成绩为51、50、49、48、47，则第15名得成绩为52，此时与平均分为79分不矛盾，所以第6名和第15名之间的分差最大为95-52=43。例3.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？A.12人B.14人C.15人D.16人解析：一共会跳舞的人次为12+8+10=30（人次），假如让会跳两种舞蹈的人数最多，则需要会跳舞的人尽量会跳两种舞蹈，此刻最多有30÷2=15人。因此，本题选C。点睛：假定总数为M，满足三个条件的数目分别为A、B、C，请问“满足两个条件的最多有多少？“答案为，假如不是整数，向下取整。以下两个特例除外：果A、B、C不能构成三角形（即最大的数字大于较小两个数字之和），那么答案应当为较小两个数字之和；假如A+B+C＞2M，那么答案为3M-（A+B+C）例4.公司举办的内部业务知识竞赛有若干人参与，所有参赛者获得的名次之和为300,且所有人没有并列名次。其中，销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者获得的名次平均数分别为11.3、10.4和9.2，问其他部门获得的名次最高为多少？A.16B.18C.20D.21解析：名次之和为300，即1+2+3+…+N=300，根据等差数列求和公式可以解出N=24，即总人数为24人。根据销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者获得的名次平均数分别为11.3、10.4和9.2，则销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者名次总和分别为11.3×N1，10.4×N2，9.2×N3，它们一定是整数，所以N1只能是10、20，N2只能是5、10、15、20，N3只能是5、10、15、20，在考虑到所有部门参赛总人数为24人，所以N1=10，N2=5，N3=5，这三个部门参赛总人数为20人，名次总和为11.3×N1+10.4×N2+9.2×N3=113+52+46=211，所以其他部门参赛总人数为4人，名次总和为89，要其中一人名次最高，那么只要其他3人名次最低，分别为24、23、22，所以该参赛者名次最高为89-（24+23+22）=20，所以答案选择C选项。例5.老王和老赵分别参与4门培训课的考试，两人的平均分数分别为82和90分，单个人的每门成绩都为整数且彼此不相等。其中老王成绩最高的一门和老赵成绩最低的一门课分数相同，问老赵成绩最高的一门课最多比老王成绩最低的一门课高多少分？（）A.20B.22C.24D.26解析：由于老王的成绩最高的一门和老赵成绩最低的一门相等，而每人的各个成绩都不相等，求老赵最高的一门最多比老王成绩最低的一门高多少分，则应当使老赵的其他两门分数尽也许低，而老王的其他两门分数尽也许高，则可设老王高分数为x，最低的成绩为y，老赵的最高成绩为z。则：所以有

，两个方程相减求得z－y=26。因此，本题答案选择D选项。枚举归纳法解题时，直接列举满足条件的所有情况，从而得到答案的方法叫作“枚举法”。在此基础之上，总结提炼出其通用性质，从而解出更复杂的情况，这种方法叫作“归纳法”。枚举法：当满足条件的情形比较少时，直接一一列举；归纳法：当答案规定数字很大时，我们从较小的数字出发，总结归纳其通用规律。题型一：枚举法例1.某工厂某种产品每月的产能为8000个，1月的销量为5000个，且预计每月销量环比增长10%，则当年该产品库存最高的月份是（）。A.4月B.5月C.6月D.7月解析：由题得当月销量大于每月产能8000时库存开始下降，即求5000（1+10%）x≤8000的x的最大值，1.1x≤1.6，1.14＜1.6，1.15＞1.6，所以是4个月后库存最大，即1月后的4个月，5月份库存最高。答案选B。例2.从1，2，3，4，5，6，7中任取2个数字，分别作为一个分数的分子和分母，则在所得分数中不相同的最简朴真分数一共有多少个？A.14B.17C.18D.21解析：从7个数字中随机取2个数字均能构成分子小，分母大的真分数，因此个数为C27=21个，但要得到最简朴分数，则减掉2/4、2/6、3/6、4/6这4个，因此一共有17个例3.某工厂有甲、乙两个车间，其中甲车间有15名、乙车间有12名工人。每个车间都安排工人轮流值班，其中周一到周五天天安排一人、周六和周日天天安排两人。某个星期一甲车间的小张和乙车间的小赵一起值班，则他们下一次一起值班是星期几？A.周一、周二或周三中的一天B.周四或周五中的一天C.周六D.周日解析：每周需要9人值班，故小张以后每次值班的星期可以用(15n+1)/9的商和余数来得到，商相应第几周，余数相应具体的星期（余数为1-5相应周一到周五，余数为6-7相应周六，余数为8和0相应周日），小赵值班情况同理。具体如下表：故本题答案为C选项。题型二：归纳法例1.100个骨牌整齐地排成一列，一次编号为1、2、3、4、……99、100。假如第一次拿走所有偶数位置上的牌，第二次再从剩余牌中拿走所有偶数位置上的牌，第三次再从剩余牌中拿走所有奇数位置上的牌，第四次再从剩余牌中拿走所有奇数位置上的牌，第五次再从剩余牌中拿走所有偶数位置上的牌，以此类推，问最后剩下的一张骨牌的编号是多少？（）A.77B.53C.39D.27解析：第一次拿走所有偶数，只剩下50个奇数；第二次拿走25个偶数，这些偶数的特点是：3,7,11,15,19,23,27,31,35,39……尾数为3,7,1,5,9进行循环，剩下的25个数为尾数是1,5,9,3,7进行循环；第三次拿走13个奇数，这些奇数的特点是：尾数为1,9,7,5,3进行循环，剩下的12个偶数的尾数特点是5,3,1,9,7；以此类推，最后剩下的数是尾数为7的数，由于27在第二次消除的时候就消掉了，所以选择的为A。例2.

如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1号蜂房到8号蜂房，假设只向右方（正右或右上或右下）爬行，则不同的走法有（

）。A.

16种B.

18种C.

21种D.

24种解析：解法一：由于蜜蜂只能往右爬，所以归纳规律如下:1号到2号蜂房：1种方式。1号到3号蜂房：其左边1号、2号进入，2种方式。1号到4号蜂房：其左边的2、3号进入，由上知：进入2号1种方式，进入3号2种方式，共3种方式。1号到5号蜂房：左边3、4号进入，4号3种，3号2种，共5种。依次类推，进入8号：左边6、7号进入，6号8种，7号13种，所以共21种。因此，本题答案选择C选项。例3.用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面提成2块，第2条直线将平面提成4块。第3条直线将平面提成7块，按此规律将平面分为22块需：A.7条直线B.8条直线C.9条直线D.6条直线解析：1条直线将平面分为2部分，2条直线将平面提成2＋2＝4部分，3条直线将平面提成2＋2＋3＝7部分，4条直线将平面提成2＋2＋3＋4＝11部分，5条直线将平面提成2＋2＋3＋4＋5＝16部分，6条直线将平面提成2＋2＋3＋4＋5＋6＝22部分。可以发现n条直线将平面分为2＋2＋3＋…＋n＝1＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋

部分。因此，答案选择D选项。点睛：n条直线最多可将平面分割为个部分。逆向分析法逆向推导型：将变化过程完全颠倒，互换运算法则，从后往前逆推，得到初始值。正反互补型：若“正面”不好求解，用”总体“剔除与之互补的“反面”来求解。题型一：逆向推导型题型二：正反互补型调和平均数a=题型一：等距离平均速度核心公式：其中v1和v2分别代表前后两次速度。点睛：来回上下坡问题当中，去的上坡一定是回的下坡，去的下坡一定是回的上坡。因此，来回一趟走的上坡与下坡距离一定是对半平分。这是解题的关键。题型二：等价钱平均价格核心公式：其中p1和p2分别代表之前两种商品的价格。题型三：等溶质增减溶剂核心公式：EQ其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度。例1.浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入同样多的水后，浓度为多少？A.9%B.7.5%C.6%D.4.5%解析：10%=题型四：等发车前后过车核心公式：发车时间间隔例1.某人沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔.A.2分钟B.4分钟C.6分钟D.8分钟解析：沿途数车问题。发车间隔=

=

=6（分钟），本题答案为C选项。题型五：前后轮消耗模型核心公式：最多行驶距离本章习题训练1.红酒桶中有浓度68%的酒，绿酒桶中有浓度为48%的酒，若每个酒桶中取若干酒混合后，酒浓度为52%。若每个酒桶中的数量比本来都多12升，混合后的酒浓度为53.2%。第一次混合时，红酒桶中取的酒是（）。A.17.8升B.19.2升C.22.4升D.36.8升解析：运用“十字交叉法”，知第一次混合比应当为1:4，假设i依次分别取x、4x升；再用“十字交叉法”得到第二次混合比为13:37，所以（x+12）：（4x+12）=13:37，得x=19.2升。2.某单位每四年举行一次工会主席选举，每位工会主席每届任期四年，那么在2023期间该单位最多也许有（）位工会主席。A.5B.6C.7D.8解析：要想2023期间工会主席最多，那么第一年与次年就要是不同的工会主席，2023正好有4位工会主席，剩下最后一年正好又有1位新的工会主席，共有1+4+1=6位工会主席。因此，本题答案选择B选项。3.为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才干保证每个角落都能浇灌到?（）A.4B.7C.6D.9解析：由于每个小圆的直径为10，所以每个小圆至多盖住圆心角为60度相应的弧长，所以想盖住整个圆周，需要至少六个小圆，当且仅当这六个小圆以大圆的内接正六边形各边中点为圆心，但此时大圆的圆心未被盖住，所以至少需要七个圆。下面可以构造的证明，七个圆是可以的：

因此，本题答案为B选项。4.有一个上世纪80年代出生的人，假如他能活到80岁，那么有一年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。问此人生于那一年？A.1980年B.1983年C.1986年D.1989年解析：由题意可知这个人年龄的平方介于1980～2069年之间，那么他的年龄只有45才干满足条件，45×45=2025，所以出生年份为2025－45=1980。因此本题答案为A。5.甲、乙、丙同时给99盆花浇水，已知甲浇了75盆，乙浇了66盆，丙浇了58盆，那么三人都浇过得花至少有（）盆。A.1B.2C.3D.4解析：三人未浇的盆数为：甲=24，乙=33，丙=41，则有人浇过得花最多为24+33+41=98盆，所以三人都浇过得花至少为99-98=1盆。6.将参与社会活动的108个学生平均提成若干小组，每组人数在8人到30人之间，则共有（）种不同的分法。A.3B.4C.5D.6解析：要想将108个学生平均分，那么每组人数必然108的约数。在8到30之间108的约数只有9，12，18，27，故有4种不同的分法，因此，本题答案为B选项。7.某突击队150名工人准备选一名代表上台领奖，选择的方法是：让150名工人排成一排，由第一名开始报数，报奇数的人落选退出队列，报偶数的站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小李非常想去，他在第一次排队时应在队列的什么位置上才干被选中？（）A.64B.128C.148D.150解析：设第一次排在第x位，根据题意，要留下，需要x为偶数，第二次，将会排在

位，要留下，需要

为偶数，依此类推，到第n次，位置为

，要留下，需要

为偶数，因此，最后留下的人其位置序号应当是2的最大整数次幂，150以下是128。所以选择B选项。8.假期里，汪老师有一个紧急告知要用电话告知到50位同学，假如每告知一位同学需要1分钟，同学接到电话后可以互相告知，要使所有同学都接到告知至少需要几分钟？A.5B.6C.7D8解析：最开始的时候，只有1个人知道这个告知；1分钟之后，有2个人知道；2分钟之后，有4个人知道；3分钟之后，有8个人知道……所以n分钟之后，一共有2n个人知道，除了老师之外，相称于可以告知（2n-1）个人。所以6分钟可以告知26-1=63人。9.某法院刑事审判第一庭有6位工作人员，现需要选出3位分别参与乒乓球、羽毛球、跳绳比赛，每人与一项比赛，其中甲不能参与跳绳比赛，则不同的选派方案共有（）。A.64种B.80种C.100种D.120种解析：任选3位参与比赛共有A36种方案，甲参与跳绳比赛有A25种方案，则满足条件的方案A36-A25=100种10.小张下个月结婚，他想去商店购买两种糖混合制成的喜糖发给同事商店里巧克力糖、奶糖、酥糖、椰糖、玉米糖每公斤的价格分别为20元、18元、15元、12元和10元，小张拿出预算的一半所有购买了巧克力糖。假如他希望他的喜糖包平均重量为2两/包，平均成本为2元/包，那么他应当将剩下的一半预算购买此外哪种糖？A.奶糖B.酥糖C.椰糖D.玉米糖解析：小张的混合喜糖平均成本应为：2元/包÷2两/包=1元/两=20元/公斤。其中巧克力糖的成本为30元/公斤，运用等价钱平均价格核心公式：求得，p2=15【方程与不等式】★基本方程思想题型一：基础列方程例1.某条道路安装了60盏功率相同的路灯，如将其中24盏的灯泡换为200瓦的节能灯泡，则所有路灯的耗电量将比之前节约20％。如将所有灯的灯泡换为150瓦的节能灯泡，则耗电量能比之前节约多少？（）A.62.5％B.50％C.75％D.64％解析：唯一未知量为原路灯的功率，设为x，则原总耗电量为60x，更换24盏节能灯泡之后的耗电量为24×200+36x，根据题意，0.8×60x=24×200+36x，解得x=400，若换为150瓦的灯泡，可节约(400-150)/400=0.625，故本题答案为A选项。题型二：巧设未知数设未知数的时候，应当一方面考虑未知数设出来要便于理解，便于表达其他量，便于列出方程。在某些情况下，不一定要直接设所求量，也可以设中间量为x，还可以设某种倍数关系的未知数，以消除方程当中的分数形式。例1.某服装假如降价200元之后再打8折出售，则每件亏50元。假如直接按6折出售，则不赚不亏。假如销售该服装想要获得100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？（）A.90B.110C.130D.150解析：设原价为x，则成本是0.6x。有

，x=550，成本为

；所以想要获得100%利润的话则售价应当为660，比原价高

。因此，本题答案为B选项。例2.某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（）。A.10人B.11人C.12人D.13人解析：设只能胜任C的为x人，则只能胜任B的为2x。设能兼职的人数为阴影部分共为y，则根据题意得出下列两个方程：

因此，本题答案为B选项。例3.甲、乙、丙、丁共有48本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增长3本，乙减少3本，丙增长到本来的3倍，丁减少为本来的1/3，此时四人的书同样多，则原有书本最多的人有（）本书。A.18B.24C.27D.36解析：假设相等的中间量为x，则：（X-3）+(X+3)+X/3+3X=48。解得：X=9，那么甲、乙、丙、丁本来分别有6、12、3、27本书，最多有27本。题型三：快速解方程求解方程（组）技巧，涉及但不限于：1.当方程中由于有小数或分数而计算复杂时，应一方面考虑两边乘以一个数以化为整数；2.方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保存我们关心的未知数；3.方程组中有一些无关的未知数，完全可以作为整体直接消去；4.比例型的方程形式，可以有很好的化简方法。例1.一项工程假如交给甲乙两队共同施工，8天能完毕；假如交给甲丙两队共同施工，10天能完毕；假如交给甲丁两队共同施工，15天能完毕；假如交给乙丙丁三队共同施工，6天就可以完毕。假如甲队独立施工，需要多少天完毕？（）A.16B.20C.24D.28解析：赋工作总量为120，所以效率：甲+乙=15，甲+丙=12，甲+丁=8，乙+丙+丁=20；可解得甲=5，所以甲队独立施工，需要的天数=120÷5=24天。因此，本题答案为C选项。例2.甲购买了A、B、C三种书籍各若干本捐赠给希望小学。其中B书籍比C书籍少了3本，比A书籍多2本；B书籍的单价比A书籍低4元，比C书籍高4元。其购买B书籍的总开销与C书籍相称，比A书籍少4元。问甲购买三种书籍一共用了多少元？A.724B.772C.940D.1084解析：设B书籍的总数为x本，单价为y元；则A书籍总数为（x-2）本，单价为（y+4）元；C书籍的总数为（x+3）本，单价为（y-4）元。由题意列方程组得xy=（x+3）×（y-4），xy=（x-2）×（y+4）-4；解得x=15，y=24。故购买三种书籍一共花了15×24×3+4=1084元。因此，本题答案选择D选项。核心提醒当方程出现比例形式的时候，可以通过下面的转换进行简化：1、当两个分子或两个分母的和或差为常数时2、EQ当一个分数的分子、分母之和或差为常数时例3.某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。假如该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少？A.50%B.40%C.70%D.60%解析：设该单位原有党员x名，结合题干可以得到：x/45＋6%＝（x＋5）/50，解得x＝18人，最终的党员人数为18＋5＋2＝25人，即现在党员占总人数的比重为25÷50＝50%。答案选择A。注意：题中说的是“单位又有2名职工入党”，总人数没有增长，是50人例4.有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为16%和25%；质量分别为600克和240克，若向这两瓶溶液中加入等量的水，使他们的浓度相同，则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为A.320克B.360克C.370克D.377克解析：设加入的水量为Xg，则：例5.有一类分数，每个分子与分母的和是100，假如分子减K，分母加K，得新的分数约分后等于2/3，其中K是正整数，则该类分数中分数值最小的是（）A.42/58B.43/57C.41/59D.39/61解析：解法一：假设分数为m/n，根据题意可得(m-k)/(n+k)=2/3，得出3m-2n=5k，而m+n=100，所以5m=200+5k，当k=1时，m取最小值，为41，此时n=59，所以该类分数中分数值最小的是41/59。因此，本题答案选择C选项。题型四：整体解方程例1.一个长方体形状的玻璃鱼缸，从鱼缸内侧量，它的2个相邻的侧面及底面的面积分别是5、6、7.5平方分米，则这个玻璃鱼缸最多可以装（）立方分米的水。A.12B.15C.16D.18★不定方程（组）多元不定方程组：特值代入法二元不定方程：代入试值法题型一：多元不定方程组我们一般可以直接设定一种最特殊的情况，譬如假设其中1个未知数为0，从而简化计算过程。例1.小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（）元。A.9B.12C.15D.18解析：【解法一】假设U=钢笔+笔记本+墨水，代入方程组：U+2钢笔+墨水=35U+4钢笔+2墨水=52，则U=18【解法二】设钢笔价格为0，笔记本价格为X元，墨水价格为Y元，可得方程组：X+2Y=35…①X+3Y=52…②解得Y=17，X=1所以三者价格之和为0+1+17=18元。因此本题对的答案为D。例2.某班级去超市采购体育用品时发现买4个篮球和2个排球共需560元，而买2个排球和4个足球则共需500元。问假如篮球、排球和足球各买1个，共需多少元？A.250元B.255元C.260元D.265元解析：【解法一】由题意可知4个篮球+2个排球+2个排球+4个足球一共是1060元。因此篮球、排球和足球各买1个需要1060/4=265元。因此本题答案为D。【解法二】假设排球为0元，则一个篮球140元，1个足球125元，三球各一个则需140+0+125=265元。例3.一项工程，甲、乙合作12天完毕，乙、丙合作9天，丙、丁合作12天完毕。假如甲、丁合作，则完毕这项工程需要的天数是（）A.16B.18C.24D.26解析：假设工程总量为题中时间的最小公倍数36，根据题意可得各自效率满足：甲+乙=3；乙+丙=4；丙+丁=3；令甲=0，则乙=3，丙=1，丁=2，所以甲+丁=2，甲丁合作需要36÷2=18天。例4.某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作天数的a倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合作天数的b倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合作天数的c倍，则的值是（）。A.1B.2C.3D.4解析：假设三队工作效率相同，很容易得到a=b=c=2，进而结果为1。题型二：二元不定方程例1.现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中球比乙箱：A.多1个B.少1个C.多2个D.少2个解析：设甲、乙、丙第一次分别放入小球x、y、z个，则x+y+z=6，（x+y+z）+2x+3y+4z=22，即2x+3y+4z=16，由数字特性思想，3y必为偶数，即y必为偶数，故y=2，x=3，z=1。所以甲箱共有小球9个，乙箱共有小球8个，甲比乙多1个。因此，本题答案选择A选项。例2.小张购买了2个苹果、3根香蕉、4个面包和5块蛋糕，共消费58元。假如四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高也许为多少元？A.5B.6C.7D.8解析：设苹果的价格为a，香蕉的价格为b，面包的价格为c，蛋糕的价格为d，则有2a+3b+4c+5d=58。由于规定蛋糕的价格最高，代入排除，从最大选项开始代入，则使蛋糕的价格为8，则2a+3b+4c=18。由于2a、4c、18为偶数，则3b为偶数，所以可使b=2，则有a=4，c=1，符合题意。因此，本题答案选择D选项。例3.射箭运动员进行训练，10支箭共打了93环，且每支箭的环数都不低8环。问命中10环的箭数最多能比命中9环的多几支？A.2B.3C.4D.5解析：按照题目规定，每支箭的环数不低于8环，故假定10支箭都打了8环，共80环，还差93-80=13环，欲使差值最大，则让10环的数量尽也许多，由于13÷2=6……1，所以最多可以有6个10环，1个9环，和3个8环。10环与9环的差值为5。因此，本题答案选择D选项。例4.商店促销某种商品，一次购买不超过10件，每件5元；超过10件，超过部分每件3元。甲，乙两人分别购买此种商品，甲比乙多付19元，则甲乙共买了多少件？A.22B.21C.20D.19解析：假设甲比乙多买的商品中，有x件是5元/件，有y件是3元/件，那么：5x+3y=19，试值可知，只有x=2、y=3这一组解，所以乙应当是8件，甲为13件，总共21件。不等式例1.某县筹备县庆，园林部门决定运用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，则搭配方案共有（）。A.3种B.4种C.5种D.6种解析：设A种造型有x个，B种造型有y个，依题意可列方程组：

解得31≤x≤33。即可以有（33,17）（32,18）（31,19）共3种组合。故共有3种搭配方案，因此，本题答案为A选项。例2.某饼店一种成本为1.4元的点心卖2元一份，天天没卖完的点心会在晚上8点后半价促销，所有卖完。已知一个月30天中，平均有15天天天晚上8点前可卖出100份点心，而其余15天天天晚上8点前只能卖出60份。假如饼店天天做的点心数量相同，一个月可以获得的最大利润是（）元。A.1080B.1200C.1320D.1440解析：可知绝对不能超过100份天天，设天天x(<=100）份，赚钱：x×0.6×15+[60×0.6+(x-60)×(-0.4)]×15=900+3x，可知x=100时，赚钱最多为1200。因此，本题答案选择B选项。【基础运算模块】纯粹计算问题1.小数、带分数、“÷”、“/”、“：”等形式，尽量化为标准上下分数形式“”。2.计算当中可以消去或者凑整的项，尽量消去或者凑整之后再进行综合计算。3.计算当中碰到如下形式的情形，优先考虑运用这些公式进行运算。·完全差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）·完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2·幂次运算律：amxan=am+n；（am）n=amn；（axb）n=anxbn题型一：直接计算例1.的值为（）。A.1511B.1972C.2023D.2023解析：分母=20232-（2023-1）x（2023+1）=20232-20232+1=1；分子=2023x-2023x=x（2023x2-2023）=x2023=1511题型二：弃九推断在整数或小数范围内的+、-、x三种运算当中，我们可以使用“弃九法”来排除选项：1、在计算时，将计算过程中数字所有除以9，留其余数进行相同的计算；2.计算时如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达成0-8之间；3.将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。例1.11338×25593的值为：A.B.C.D.解析：11338÷9余7,25593÷9余6,7x6=42,42÷9余6.只有B选项÷9余6.。例2.1005×10061006－1006×10051005＝?A.0B.100C.1000D.10000解析：原式→6x5-7x3→9→5，只有A除以9余0.题型三：乘法分派题型四：循环数字题型五：比较大小题型六：裂项相消核心公式：根据两项分母裂项公式“”得：记忆方法：“小分之一”减去“大分之一”，再乘以“差分之分子”例1.的值为：A.n+1B.nC.n2-1D.n2解析：原式分母有理化：=题型七：整体消去题型八：乘方尾数核心口诀：1.底数留个位；2.指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）。例1.2023的2023次方的末位数是（）。A.2B.4C.6D.8解析：20232023→24→6数列综合运算等差数列求和公式：等差列数项数公式：题型一：基础数列型例1.合唱团成员排练时站在一个五级的台阶上，最上面一级站N个人。若上面一级比下面一级多站一个人，则多了7个人；若上面一级比下面一级少站一个人，则少多少人？（）A.4个B.7个C.10个D.13个解析：根据第一种站法，可算出总人数为：N+（N-1）+（N-2）+（N-3）+（N-4）+7=5N-3；第二种站法所需要的人数为：N+（N+1）+（N+2）+（N+3）+（N+4）=5N+10。因此，缺少的人数为：（5N+10）-（5N-3）=13。故本题选D。例2.某学校在400米跑道上举行万米长跑活动，为鼓励学生积极参与，制定了积分规则：每跑满半圈积1分，此外，跑满1圈加1分，跑满2圈加2分，跑满3圈加3分……以此类推。那么坚持跑满一万米的同学一共可以得到的积分是（）分。A.325B.349C.350D.375解析：本题问一共是多少分？应当是积分+加分。先看积分：10000/400=25圈，每跑半圈加1分，因此跑满一圈就是2分，共跑了25圈，积分为50分。再看加分：每多跑一圈多加1分，所加分数总的为等差数列：1+2+3+......+25=13×25=325。分数共为325+50=375。题型二：等差拓展型例1.65.某次智力测验的形式为选择题，规定答对一题得20分，不作答的题不扣分，而在答题的题中，第一道答错的题扣10分，此后每一道答错的题的扣分都比上一道答错的题多10分，小张在测验中拿到一份100道试题的试卷，总共获得1270分。问他至少有几道题没有作答？

A.0

B.5

C.7

D.9

解析：假如所有对的则得分为100x20=2023，但事实上只得了1270，说明差了730分；已知做错一个扣10分，多错一个多扣10分，说明扣的分数满足等差数列，扣的分数为10,20,30,40，50,60,70、、、、、，又由于我们把错的当成了对的，所以扣的分数应当在每个错的扣分上加20分，所以错的题扣分为30,40,50,60，70,80,90,100，110,120、、、、前九个数之和为630，前十个数之和为750，不存在730.所以A不对；选项B，假设有五个没有作答，则作答了95个，假设所有作答对的得分为95x20

=

1900，实际得分1270，说明还扣了630分。而扣的分数也是从30,40,50开始，刚才计算得到前9个之和是630满足条件。所以选B。题型三：缺数求和型例1.训练时，若干名新兵站成一排，从1开始报数，除了甲以外其别人报的数之和减去甲报的数恰好等于50，共有多少名新兵？（）A.10B.11C.12D.13解析：代入选项。从1开始报数，除了甲以外其别人报的数之和减去甲报的数恰好等于50。假如总人数为10人，那么1-10的和为55，故甲报的数为2.5，所以排除A项；若为11人，1-11的和为66，甲报的数为8，满足题意。因此，答案选择B选项。例2.某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是70。问小周排名第几？A.7B.8C.9D.10解析：（1）等差数列求和，所有选手的名次成首项为1，公差为1的等差数列，设总的人数为N，小周排名为a，有a<N所以有70+a=N（N+1）÷2，即N2+N=140+2a，所以N2-N<140<N2+N，所以N=12，所以所有选手名次和为78，小明排第8名（2）代入排除法。排名成等差数列，则70+小周的排名=N*（N+1）/2;题型四：奇数求和型核心公式：前n个奇数1、3、4、5、7、9…之和为[1+（2n-1）]xn÷2=n2例1.甲和乙两个汽车销售经理上个月都超额完毕了自己的月度任务，已知公司奖金计算方法是超任务销售一辆汽车奖励100元，第2、3、4......辆车奖励300、500、700......元。如两人当月合计得到1万元的销售奖金，问他们两人本月合计超任务销售了多少辆车？A.15B.16C.17D.14解析：解析一：设甲乙超额x辆和y辆，由从1开始的n个连续奇数之和等于n2，依据题意可知，x2+y2=100（百元），根据勾股数推得：x和y是6、8，6+8=14，故选D题型五：等比数列型等比数列递推公式：an=a1xqn-1求和公式：例1.一个公比为2的等比数列，第n项与前n-1项和的差等于5，则此数列前4项之和（）A.70B.85C.80D.75解析：解法一：根据等比数列求和公式，得

，一定能被15整除，结合选项发现只有D项是15的倍数。因此，本题答案选择D选项。解法二：根据“第n项与前n-1项和的差等于5”，采用赋值法，假设第1项为5，则第二项为10，所以第三项、第四项分别为20、40，因此数列前4项之和为5+10+20+40=75。因此，本题答案选择D选项。题型六：规律查找型本章习题训练1.计算：（1+

)×（1-

）×(1+

)×(1-

)×…×(1+

)×(1-

)=（

）。A.

B.

C.

D.

解析：原式可以转化为：

×

×

×

×

×

×…×

×

，通过观测可以发现，第n个数字和第n＋3个数字的乘积为1（

1≤n≤195，且n为奇数）。所以，最后各个项相乘余下

×

＝

。因此，本题答案选择B选项。2.某学校组织活动进行队列训练，学生们组成一个25排的队列，后一排均比前一排多4个人，最后一排有125个学生。则这个队列一共有（）学生。A.1925B.1875C.2023D.1765解析：等差数列，项数为25，公差为4，第25项为125，则据公式：末项=首项+（项数-1）×公差，可求得首项为125-24×4=29，总人数为（29+125）×25÷2=1925。因此，本题选A。3.某部队组织新兵从甲地到乙地进行长途拉练。去的时候第一天走25公里，以后天天都比前一天多走5公里，结果最后一天只走25公里便到达了目的地。回程时，第一天走35公里，以后还是天天比前一天多走5公里，结果最后一天只走30公里便回到出发地。则甲乙两地相距（）公里。A.175B.200C.225D.250解析：去的时候，走的路程就是25、25、30、35、……;回来的时候，走的路程就是30、35、40、……;由于路程相同，所以和值同样，那么回来的最后一天走的路程就是25+25=50，则总路程就是30+35+40+45+50=200。因此，本题答案选择B选项。4.50个数，1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、5、6、7、6、7、8…之和是：A.568B.497C.523D.491解析：原式可化为：（1+2+3）+（2+3+4）+（3+4+5）+…（16+17+18）+17+18=[（1+2+3）+（16+17+18）]×16÷2+17+18=57×8+17+18，尾数为1，排除A、B、C。因此本题对的答案为D。5.在连续奇数1,3,…，205,207中选取N个不同数，使得它们的和为2359,那么N的最大值是（）。A.47B.48C.50D.51解析：和为2359，求N的最大值，那么尽量从最小数连续选起，才干满足这个规定。同时，和为2359，只有奇数×奇数才为奇数，说明N必为奇数，排除B和C。而（1+99）÷2×50=2500,D选项明显大了，所以本题答案为A选项。6.数列（1/4+9），（1/2+9/2），（3/4+3），（1+9/4），（5/4+9/5），…中，数值最小的项是（）。A.第4项B.第6项C.第9项D.不存在解析：通过观测，我们可以得到数列的通项公式为：

，我们知道这个式子的值

，而要使得其中档号成立的条件是，这两个数的值必须相等，从而可以得知，这个通项公式的最小值为m为6的时候，因此，本题答案选B选项【计数问题模块】★容斥原理题型一：两集合标准型核心公式：满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数。例1.某社区有40%的住户订阅日报，有15%的住户同时订阅日报和时报，至少有75%的住户至少订阅两种报纸中的一种，问订阅时报的比例至少为多少？A.35%B.50%C.55%D.60%解析：有15%的住户同时订阅日报和时报，且有40%的住户订阅日报，因此只订阅日报的住户为25%。而已知至少有75%的住户至少订阅两种报纸中的一种，因此订阅时报的比例至少为75%—25%=50%。题型二：两集合图示表述型核心公式：文氏图例1.一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。只去了A的游客和没去A的游客数量相称，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（）。A.2/3B.3/4C.4/5D.5/6解析：根据题意，“只去了A的游客和没去A的游客数量相称”，“且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍”，设AB都去的是1份，则两者之和为3份。两者之和加上AB都去的即为总数，总数为4份，故只去一个景点（即只去A和只去B的和）占游客总数为3份：4份=3:4.只去一个景点占总人数的比例=3：4。因此，本题答案为B选项。题型三：三集合标准型核心公式：特别注意：上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足的情况。题型四：三集合图示标数型核心要点：当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑运用图示配合，标数解答。特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形标数时，注意由中间向外围标记。题型五：三集合整体反复型在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可得到下面两个等式：W=x+y+zA+B+C=x1+yx2+zx3例1.五年级一共有55个学生，暑假期间都参与了暑假专长培训班，35个人参与书法班，28人参与美术班，31参与舞蹈班，其中以上三种专长培训班都参与的有6人，则有（）人只参与了一种专长的培训班。A.45B.35C.29D.22解析：假设只参与一种项目的有x个人，只参与两个的有y人，则：x+y+6=55，x+2y+3*6=35+28+31。解方程得：x=22。因此，本题答案为D选项。例2.某单位运用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参与。在参与义务劳动的人中，只参与1次.参与2次和3次所有参与的人数之比为5：4：1。问该单位共有多少人参与了义务劳动?A.70B.80C.85D.102解析：设参与1次、参与2次、参与3次人数比分别为5x、4x、x，代入公式得：W=55x+4x+x，112=5x+4Xx2+3x，解得W=70，x=7.则共有70人参与了义务劳动例3.某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点的人数的4倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？A.48B.72C.78D.84解析：设参观了三个景点的人数为x，则只参观了一个景点的人数、至少参观了两个景点的人数均为4x，所以只参观了两个景点的人数为3x。由于该旅行团的游客都报名参观了三个景点中的至少一个，有4x+3x+x=48，解得x=6。所以需要买的景点门票张数为4×6×1+3×6×2+6×3=78。因此，本题答案选择C选项。例4.有100人参与运动会的三个比赛项目，每人至少参与一项，其中未参与跳远的有50人，未参与跳高的有60人，未参与赛跑的有70人。问至少有多少人参与了不止一个项目？（）A.7B.10C.15D.20解析：解析一：参与不止一个项目的人数+参与最多一个项目的人数=总人数，即参与不止一个项目的人数+至少不参与两个项目的人数=总人数，要想使参与不止一个项目的人数最少，规定至少不参与两个项目的人数最多。不参与项目的总人次为50+60+70=180，所有为不参与两个项目的人数时不参与两个项目的人数最多，即不参与项目的人每人占2人次，不参与两个项目的人数最多=180÷2=90。所以参与不止一个项目的人数至少为100－90=10人。因此本题对的答案为B。解析二：参与跳远的人数为50人，参与跳高的为40人，参与赛跑的为30人；即参与项目的人次为120人次；故欲使参与不止一项的人数最少，则需要使只参与一项的人数最多为x，参与3项的人数为y;故x+3y=120，x+y=100，解得y=10。答案为B。★基础排列组合加法原理：分类用加法乘法原理：分步用乘法排列：与顺序有关排列公式：组合：与顺序无关组合公式：逆向公式：满足条件的情况数=总情况数-不满足条件的情况数题型一：基础公式型题型二：分类讨论型例1.某单位有职工15人，其中业务人员9人。现要从整个单位选出3人参与培训，规定其中业务人员的人数不少于非业务人员的人数。问有多少种不同的选人方法？（）A.156B.216C.240D.300解析：由题意，满足条件的分为两种情况：参与培训的3人均为业务员；参与培训的为2名业务员和1名非业务员，则总的选择方法数为

。因此，本题答案选择D选项。例2.用同样的木棍制作一批三节棍，每一节木棍分别随机涂成红、白、黑三种颜色中的一种，那么最后生产出的三节棍有多少种？（）A.18B.21C.24D.27解析：

排列组合问题。木棍有三节，每一节的颜色都有三种选择，所以生产出的三节棍共有3×3×3＝27（种）,但是类似（红红白）和（白红红）是同样的，因此反复计算了＝9（种），故有27-9＝18（种）。答案选A。题型三：分步计算型例2.某科室共有8人，现在需要抽出两个2人的小组到不同的下级单位检查工作，问共有多少种不同的安排方案？（）A.210B.260C.420D.840解析：由于选出的人是去两个不同的下级单位，假定为A单位和B单位。即先从8人中选出2人去A单位，再从其余的6人中选出2人去B单位即可，所求方法数=

。因此，本题答案选择C选项。例2.某单位有老陶和小刘等5名工作人员，需安排在星期一至星期五的中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的事不能排在星期五，则不同的排法共有（）种。A.36B.48C.78D.96解析：假如只考虑老陶不安排在周一，则共有=4×4×3×2×1=96（种），但这包含小刘在周五的情况=3×3×2×1=18（种），需要除掉，所以老陶不在周一且小刘不在周五的情况共有96-18=78（种）。题型四：逆向计算型例1.单位要从8名职工中选派4人去总公司参与培训，其中甲和乙两人不能同时参与。问有多少种选派方法？A.40B.45C.55D.60解析：逆向公式：总的情况数-不符合条件的情况数=种情况。例2.某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式？A.7种B.12种C.15种D.21种解析：本题属于排列组合题型。每种学习报都可以选择“订”或者“不订”，四种学习报就有2×2×2×2=16种方法，除去四种报纸都不订的情况，还剩下15种满足条件。拓展排列组合题型一：捆绑插空型1.相邻问题捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；2、不邻问题插空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素插入所成间隙之中例1.四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序？（）A.24种B.96种C.384种D.40320种解析：本题用捆绑法解题：第一步，把每对情侣绑在一起，一共是4对情侣，4对情侣排序共有=24种。第二步，每种情侣互换位置又有2种，4对情侣是4个2相乘即16种。把这两步相乘，24X16=384种。答案为C。提醒二：错位排列型错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，也许的方法的种数记作Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44……题型三：反复剔除型将6个人平均提成三组，请问一共有多少种分派方法？A、15B、30C、45D、90解析：从六人中挑两人一组，从剩余四人中挑两人一组，最后两人一组，共有种情况，剔除反复的情况A33，最后答案为15种。点睛：N个人排成一圈，有（ANN÷N）种排法。题型四：分派插板型（中公-同素分堆）将n个相同元素提成m组，且每组“至少一个”元素时，可用（m-1）个“挡板”插入这n个元素之间形成的（n-1）个“空”中，将元素隔成m组，此时有Cm-1n-1种情况。此法称为“插板法”例1.某办公室接到15份公文的解决任务，分派给甲、乙、丙三名工作人员解决。假如每名工作人员解决的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（）种分派方式。A.15B.18C.21D.28解析：可以构造插板法，先给每个人2份，还剩9份。9份文献之间有8个空，把两个板插入这8个空中，C28=28，答案为D。题型五：概率换算型例1.A、B、C、D、E、F六人排成一排，请问A要站在B的前面（不规定挨着）的站法有（）种？A、120B、240C、360D、720解析：6人排成一排总共有A66=720种，A要么在B前面，要么在B后面，两种情况概率各为1/2，所以A在B前面共有720÷2=360种。例2.A、B、C、D、E、F六人排成一排，请问A要站在B的前面（不规定挨着），并且B要站在C前面的站法有（）种？A、120B、240C、360D、720解析：6人排成一排总共有A66=720种，对于A、B、C三人而言，他们一共有A33=6种情况，其中只有ABC这