2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第7讲 代数方程的复习(含详解)

第7讲代数方程的复习

本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及

其解法，学习了列方程解应用题.到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大

体完整.

本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习.

二元•次方

.程组.

代

数二元二次方

方程组

程

列方程解应用题

一、选择题

例1.下列方程中，是二项方程的是（）

A.V+3x=0B.X4+2X2-3=0C.x4=1D.x，+l）+8=0

例2.（2019•上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（）

-x-l-1,--X+-2---1•=0八DC.-x-l-,1-X-+-2----1-

32xmnnm

例3.（2019•上海八年级单元测试）如果％a0,y>0,且3%-2y=y[xy,贝吐的值可能是

（）

A.B.1C.1D.以上都无可能

44

例4.（2019・上海八年级单元测试）下列判断错误的是（)

A.方程=x-1没有负数根B.方程正不2=xVT不I的解的个数为2

C.方程由=3-x没有正数根D.方程口向笑詈=0的解为/=2/2=3

X=1x+y=a

例5.（2019・上海八年级单元测试）如果〈）是方程组《\的一组解，那么这

[y=4xy=b

个方程组的另一组解是（）

x=4x=-1x=-4x=4

A.〈B.<C.<D.

y=iy=-4y=-l

例6,下列方程中，不是无理方程的是)

A.«(6+2)=3B.(5/2—l)x4—f==3

V2

C.(V2x+l)(V2x-l)=3D.\fx—=3

x4+x=2；③4■-6=0;④13

例7.已知方程：①—+一=3x；②(-)(x6)=-l.

52x+2x+i+

这四个方程中，分式方程的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

r3r2-4-3

例8.用换元法解分式方程一一-33+2=0时，设>==，r，原方程可变形为（）

x2+lXx2+l

A.y2+2y-3=0B.y2-3y+2=0C.3y2-y+2=0D.y2-2y+3=0

例9.如果关于x的方程(kl)x=l无解，那么相满足()・

A.m>\B.m—\C.D.任意实数.

例10.下列方程中，没有实数解的是()

f1____

A.——=--4--B.\Jx-2+x=OC.x4—x2—2=0D.x2+y2=1

x+2x+2

例"•方程组的解的个数是，)

A.1B.2C.3D.4

例12.方程①=的根是（).

A.%=2,x2=3B.Xj=­2,Xj=—3C.x=3

例13.等式J16—1()

A.x<4B.x>4C.x>-4D.-4<x<4

例若解分式方程二一竽四产生增根，则勿的值

14.1=)

x-1X+XX

A.一1或一2B.-1或2C,1或2D.1或一2

例15.分式方程f+-V-2x-2=4中，若设y=x+L,则原方程可化为（）

x~XX

A./-2y-10=0B.y2-2y-8=0

C.y1-2y-6=0D.y2-2y-4=0

例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为A小区安装热水器66台，两队安装的天数相

同，

乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（）

66606660„66606660

As.—=----D.----=—C.—=----1n）.----=—

xx-2x-2xxx+2x+2x

例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完

成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（）

.85.58.„85,85.

A.-------1—=1BD.---------F-=1C.-H--------=1Dn.--------1—=1

x+3xx+3xxx-3x-3x

例18.若（x+y-5）2+（.-6）2=0,则x—y的值为（）

A.6B.-1C.1D.1或-1

例19.已知a为非负整数，关于x的方程3-a+4=0至少有一个整数根，则“可能

取值的个数为（)

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

rnx+1

例1.（2018•上海市行知实验中学八年级期中）如果关于x的方程-------1=0有增根,

x-1

则m=.

例2.（2019・上海八年级单元测试）若方程+2=当有实数根，则k的取值范围为

x=\

例3.（2019•上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为《和产4'则

y=O

a+b=.

ink

例4.（2019•上海八年级单元测试）已知x=3是方程——+—=1一个根，求k的值

x+2x

例5.（2019•上海八年级单元测试）若关于x的分式方程二=一々无解，则

x-3x-3

例6.方程立3-华心=3的解是

x+2x2+3

例7.（1）方程万=x-7的根是；

（2）方程-fx+2-<2x7一6=0的根是.

例8.方程2/+/nr。_3=0有个实数根.

例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手

有

名.

例10.（1）当加时，方程，工石=2-加有实数解；

（2）方程>/x-l=1+工无解,卬的值为.

例11.方程工+上产生增根，则公

]—XX4-1X"

例12.当#_____时，关于x的方程-2_=—无解.

x+3x—a

例13.若（x+与=9,则（x」产的值为.

XX

例14.已知关于x的分式方程史2=1的解是非正数，则a的取值范围是.

x+1

例15.一本书有a页，若每天看b页,则需要一天看完；若每天多看3页，则需要—

天看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看_____页.

例16.两个连续的正偶数的和的平方是196,这两个数是.

例17.方程4》2+3》-3>2+5丫-3=0的解中，x、y互为相反数的解是

例18.若方程组卜一>2尸=6有两组相等的实数解，则卜的值为______.

[+y=3

例19.若卜="是方程组"'的一个解，则这个方程组的另一个解是

[y=b[xy=n

例20.方程组卜,+3肛=28,由①+②得q+2y）2=36,则原方程组可化为厂+‘

[xy+4/=8'[xy+4y-=8

与两个方程组.

例21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线

飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是

多少，设风速是/千米每小时，根据题意可列方程.

例22.若5"7]-3+3（。+36）2=0,则。=,匕=.

例23.当机<—2时，方程组卜,-y+i=°的实数解的个数是个.

y=nvc

三、解答题

x2+y2=16

1.（2019•上海八年级单元测试）k为何值时，方程组〈,只有唯一解?

x-y=k

2.（2019•上海八年级单元测试）已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米,

求它的各边长.

2*in+[x+]

3.⑵①上海八年级单元测试）若解分式方程=丁产生增根，则m

的值是多少？

4.（2019•上海八年级单元测试）解下列方程

14x212524

(1)----1--Z---1----=1(2)-------1—z-------=-z—7----

x+2—42—xx~—2x—2厂―2x+2—2x+1

3(2a-l)>3a-8

5.（2019•上海八年级单元测试）己知a是非零整数，且满足〈11-3a三解关

----->a+2

2

22

于x的方程：X-3X+3>/X-3X=10«

6.解下列关于x的方程:

22

(1)X4-7X2+10=0；(2)x+x-2+k(x+2x)=0.

7.解下列关于x的方程:

(1)3ax-^-b=4；(2)Z?2x2+(b2x)2=b2+(b2)2.

8.解下列方程:

(1)V2X-14-V3-2X=2；(2)(2x+l-JX+2=26・

9.解下列方程组:

x2+2xy-3y2=2广V=3

(1)(2)

x+3y=2[x2-2xy+/=1

x2-7xy+\2y2=0

(3)

x2-4xy+4/=4

10.若x=2是方程\/如+9—1一\/〃7+2）=0的根,求加的值.

为何值时，方程组厂一4%-2>+1=0

y=kx+2

（1）有两组相等的实数解？

（2）有两组不相等的实数解？

（3）没有实数解?

12.A,6两地相距18公里，甲工程队要在4、3两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程

队要在46两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工

程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道.

13.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨

价1元，其销售量就会减少20个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5

元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少？

14.分式方程」+工=上9-有解，求力的取值范围.

xx-\x(x-1)

15.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标

书.

从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2；

3

若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算

的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项

工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并

说明理由.

16.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完

成.

(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工

程所需时间比规定时间的2倍少16天.如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合

做能否在规定时间内完成？

(2)在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的9后，工程队又承包了东段的改造工

6

程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由.

17.已知由二Z-447=1有一个增根是4,求a的值.

18.已知4(-1,4)、B(2,3),点？在x轴上，且△/明是直角三角形，求点P的坐

标.

19.如图，在矩形165中，AF6cm,加=12.，点P从4开始沿48边向点8以1cm/s的速

度移动，点0从点8开始沿边向点。以2a»/s的速度移动，如果只0同时从4B

出发，经过的时间是t秒，

(1)S表示△版的面积，写出S和£的函数关系式;

(2)t为何值时，S等于8平方厘米？

(3)£为何值时，五边形a力的面积最小?最小值是多少?

第7讲代数方程的复习

本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及

其解法，学习了列方程解应用题.到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大

体完整.

本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习.

有理方程

二元•次方

.程组.

代

数二元二次方

方程组

程

J无理方程］

列方程解应用题

一、选择题

例1.下列方程中，是二项方程的是（）

A.V+3x=0B.X4+2X2-3=0C.f=1D.x，+l）+8=0

【难度】★

【答案】C

【解析】如果一元"次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么

这样的方程就叫做二项方程.A.左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；D.右边不是

零.

【总结】考查二项方程的概念.

例2.（2019•上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（

「X-1.x+21cnX-1x+21

C.----1--------=0D.----1---------=0n

32xmnnm

【答案】c

【分析】A、B选项分母上都没有未知数，所以不是分式方程；D选项是分式方程，但不是

关于x的分式方程，只有.C正确.

【详解】根据分式方程的定义得：等-1=0是分式方程，

故选C.

【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键.

例3.（2019・上海八年级单元测试）如果xa0,yA0,且3x-2y=J亚则（的值可能是

（）

A.B.1C.；D.以上都无可能

44

【答案】B

【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可

得到y与x的关系，从而解决问题.

【详解】将方程3x-2y=后两边同时平方，并整理得，

9x2—13xy+4y2=0（其中3x-2y>0）

即（9x-4y）（x-y）=0,解得，y-\x,或丫=乂，

4

当y=时，3x-2y=-|x,Vx>0,:.3x-2y<0,不符合要求，

当y二x时，3x-2y=x>0,符合要求.，?=1,故选B.

【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程

转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y>0.

例4.(2019•上海八年级单元测试)下列判断错误的是()

A.方程+5=>—1没有负数根B.方程Vx+2=x'x+2的解的个数为2

C.方程VFi耳=3—x没有正数根D.方程=0的解为X1=2,打=3

【答案】D

【分析】解各个方程即可得到结论.

【详解】A.V%+5=x-1>Ax+5=(x—I)2

解得，X1=4,X2=-1经检验，x=-l,是增根，...原方程的解为：x=4.

故选项A判断正确.

B.方程田”=4/^短两边同时平方得，x+2=x2(x+2),

x+2-x2(x+2)=0/.(x+2)(1—x2)=0

解得，%i=-2.x2=1.x3=—1经检验，x=T是增根.

.•.Xi=-2,x2=1是原方程的解，故B判断正确；

C.方程STT百=3—%两边同时平方得，x+9=(3—x)2

解得，x=0,或x=7,经检验，x=7是增根，...原方程的解为：x=0,

故选项C判断正确：

rx-2=0

D.根据题意得，［x+3=0,解得，x=-3.故选项D判断错误，

x2-4>0

故选D.

【点睛】本题考查了无理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解各种方程的

方法是解题的关键.

x=1x+y-a

例5.（2019•上海八年级单元测试）如果《是方程组《',的一组解，那么这

y=4xy=b

个方程组的另一组解是（）

*

x=二4x=-1x=-4x=4

A.,B.《C.D.《

=1y=-4J=T

【答案】A

x=1x+y=aCl二=54,再解方程组|x+y=5

【分析】将・4代入方程芈求得,.,即可得解

3二xy=bbxy=4

x=1x+y=a1+4=〃a=5

【详解】将〈代入方程组，中得:<解得：

b=4'

y=4xy=blx4=h

x+y=5

则方程组变形为:由x+y=5得：x=5-y,

xy=4

将x=5-y代入方程xy=4中可得：y2-5y+4=0,解得y=4或y=l,

x=4

将y=l代入xy=4中可得：x=4,所以方程的另一组解为：\

故选A.

【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解

题的关键.

例6.下列方程中，不是无理方程的是（）

A.Vx（Vx+2）=3B.（应-1»+:=3

0

C.（岳+1）（岳_|）=3D.\fx—=3

【难度】★

【答案】B

【解析】无理方程是根号下含有未知数的方程，8选项的根号下是常数，容易错选.

【总结】考查无理方程的概念.

2

例7.已知方程：①-+—=3x；©-^-+x=2；③二一5=0；④(-+-)(x+6)=-l.

52x+2x2x8

这四个方程中，分式方程的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【难度】★

【答案】C

【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程.

①中分母是常数，②③④分母中都含有未知数，是分式方程

【总结】考查分式方程的概念.

例8.用换元法解分式方程—―-竺'+2=0时，设丫=二匚，原方程可变形为()

x2+\x-x2+1

A.y2+2y-3=0B.y2-3y+2=0C.3y2-y+2=0D./-2y+3=0

【难度】★

【答案】A

3r2+33(x2+1)33

【解析】=3——!=士，，原方程变形为y-士+2=0即V+2y—3=0

xxyy

【总结】考查换元后方程的变形问题.

例9.如果关于X的方程("Ll)x=l无解，那么加满足().

A.m>\B.m=\C./n#1D.任意实数.

【难度】★

【答案】B

【解析】当加一1=0时，(m—l)x=031,帆=1

【总结】考查方程无解的条件.

例10.下列方程中，没有实数解的是（）

r24_____

A.——=----B.\/x—2+x=OC.x4—x2—2=0D.x2+y2=1

x+2x+2

【难度】★

【答案】B

【解析】〃中无一220即x之2,\lx-2>0,x>2,.\>/x-2+x>2,，无解

【总结】考查无理方程的解的情况.

例11.方程组[广二的解的个数是（）

[x2-y2+2=0

A.1B.2C.3D.4

【难度】★

【答案】B

【解析】由②式知/=丁-2代入①式得^+>-3=0,△=1+12=13>0，有两个解.

【总结】考查方程的解法.

例12.方程J3x-5=x-l的根是（）.

A.x,=2>x2=3B.X]=-2,毛=-3C.x=3D.x=-3

【难度】★★

【答案】A

【解析】两边同时平方得：3x-5=d—2x+l,即f-5x+6=0,

即：（x-2）（x-3）=0,解得：%=2,々=3,经检验，与=2,超=3均是原方程的解.

【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根.

例13.等式J16—3()

A.x<4B.x>4C.xNYD.-4<x<4

【难度】★★

【答案】D

【解析】由16—丁20,得Wx44,由4+xNO得xW,由4-xNO得x44,，一44x44.

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性的运用.

例14.若解分式方程二-42=四产生增根，则勿的值（）

x-1X~+XX

A.-1或-2B.T或2C.1或2D.1或-2

【难度】★★

【答案】A

【解析】最简公分母为：伞+1）（1）;去分母：2匹+1）Xl）=（x+iy（l）：

把x=0代入方程，得：加+1=-1,帆=-2；把x=0代入方程，得：方程无解；

把x=0代入方程，得：2（机+1）=0,所以〃?=-1.

综上，加=—2或加=—1.

【总结】考查分式方程产生增根的条件.

例15•分式方程d+[—2x—2=4中，若设y=x+』，则原方程可化为（）

XXX

A.y2_2y_]0=0B.y2_2y_8=0

C.y2-2y-6=0D.y2_2y_4=0

【难度】★★

【答案】C

【解析】原方程可变形为：（x+J-2卜+3-6=0....原方程可化为：y2-2y-6-0.

【总结】考查分式方程的变形，注意完全平方公式的运用.

例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为/小区安装热水器66台，两队安装的天数相

同，

乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（）

.6660„6660„6660n6660

xx-2x—2xxx+2x+2x

【难度】★★

【答案】A

【解析】乙比甲每天多2台，...甲每天安装（尸2）台

甲安装的天数为旦，乙安装的天数为生，由题意知可列方程：—.

x-2xx-2x

【总结】考查方程的应用，注意寻找题目中的等量关系.

例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完

成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（）

85,58,「85,85,

As・-------1—=1BD.---------1—=1C.—i--------=1Dn.---------1—=1

x+3xx+3xxx—3x—3x

【难度】★★

【答案】D

【解析】由题意知甲单独做需要x-3天，甲、乙的工作效率分别为一二」：

x-3x

由甲乙先合作5天，然后甲单独做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天,

Q5

可列方程-7+己=1.

x-3x

【总结】考查方程在工程问题中的应用，注意工作总量通常看作“1”.

例18.若(x+y-5)2+(盯-6)2=0,则x-y的值为()

A.6B.-1C.1D.1或-1

【难度】★★

【答案】D

【解析】由题意知产=5：°,即产,：5，

［孙一6=0［xy=6

所以（苫-力2=（犬+丫）2-4盯=25-24=1,二x—y的值为1或-1.

【总结】本题一方面考查了非负数的和为零的基本模型，另一方面考查了整体思想的运用.

例19.已知。为非负整数，关于x的方程2x-TT3-a+4=0至少有一个整数根，则a可能

取值的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【难度】★★★

【答案】B

【解析】由题意，显然满足条件的x,必然使得为整数，否则一不可能为

整数，

设Jl-x=y（y为非负数），则原式化为：2（1-y2）-ay-a+4=0,

即a=2（I）「）+4=2（］_y）+士,因为y非负，所以要使得a为整数，则片0、1、

1+y1+y

3；

此时炉6、2、-3（舍），当a=0时，方程也有一个整数根，故a=6或2或0,故选B.

【总结】考查无理方程的根的情况，对至少一个整数根要准确理解.

三、填空题

17TY+1

例1.（2018•上海市行知实验中学八年级期中）如果关于x的方程———1=0有增根，

x-1

则tn=.

【答案】-1

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根，最

简公分母x-l=O,所以增根是x=l,把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的

值.

【详解】方程两边都乘x-1得mx+l-x+l=O,•.•方程有增根，

最简公分母x-l=O,即增根是x=l,

把x=l代入整式方程，得m=-l.故答案为：T.

【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式

方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

例2.（2019•上海八年级单元测试）若方程J"+2=%有实数根,则k的取值范围为

【答案】k》及

【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x?2。求解即可.

【详解】：&+2=公.•./+2=々2,即％2=r_2，

..”220,二公-220，夜或kW-立

:方程JY+2=）有实数根,...k〉。，故答案为：k》五.

【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来

解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方

法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等.

x=-1x=l

例3.（2019・上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为《八和《」则

y=01y=4

a+b=.

【答案】-4

【分析】将两个解的值代入ax+by=8中，然后解出方程组即可求出a与b的值.

[x=\-a=8

【详解】叫尸。和《代入ax+by=8,

[y=4a+4Z>=:8

62=—8

解得：〈,,,，a+b=-4,故答案为：-4.

Z>=4

【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，

本题属于基础题型.

ink

例4.（2019・上海八年级单元测试）已知x=3是方程——+—=1一个根，求k的值

x+2x

【答案】-3

【分析】根据方程的解的定义，把x=3代入原方程，得关于k的一元一次方程，再求解可

得k的值.

ink10k

【详解】把x=3代入方程」2+勺=1,得义+8=1,

x+2x53

解得k=-3.故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义，属于基础题型.

例5.（2019•上海八年级单元测试）若关于x的分式方程匚=一匕无解，则

x-3尤一3

【答案】2

【分析】因为关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解

就是方程的增根，即x=3,据此即可求解.

【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=l+m,

•••方程无解，，说明有增根x=3,所以l+m=3,解得m=2,故答案为：2.

【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键.

例6.方程-学3=3的解是_____.

x+2x2+3

【难度】★★

【答案】玉=5,%=-1.

+34

【解析】令尸上二，则原方程变形为y—2=3,即—4=0,解得：^=-1,^=4,

x+2y

y-2Ia丫2.Q

当上士=一1时，X2+X+5=0,无解；当^~^=4时，(x-5)(x+l)=0,解得:

x+2x+2

%=5,毛=-1,

经检验芭=5,%=T是原方程的解.

【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验.

例7.(1)方程y/x-l=X-7的根是;

(2)方程Jx+2•程2x-l-6=o的根是.

【难度】★★

【答案】(1)x=10；(2)x=l.

【解析】(1)首先考虑x-120,即xNl,两边同时平方得：X-1=X2-14X+49,

即(x-5)(x-10)=0,解得：々=5,x2=10,经检验内=5是原方程的增根，

所以原方程的根为：x=10；

(2)由x+220且2x-l±0,^x>-;对原方程两边同时平方得：2X2+3X-5=0

2

即(x-l)(2x+5)=0,...芭=1,&=-|,经检验与=-|是原方程的增根，

所以原方程的解为：x=i.

【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验.

例8.方程2x4+/n，—3=o有个实数根.

【难度】★★

【答案】2个.

【解析】首先用换元法，令f=降次得2/+血-3=0,根据一元二次方程根的判别式,

可知：A>0,

则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系(韦达定理)可知方程两根之积为负，

则舍掉负根，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是x的值.

【总结】考查高次方程的解的个数.

例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手

有

___________名.

【难度】★★

【答案】7

【解析】假设参赛选手有〃人，那么每个人都要和除了自己以外的(〃-1)个人去打比赛，则

〃个人就要打〃("-1)场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以2,即可

得最终比赛场次，那么根据题意可列出方程：=解得：炉7,即参赛选手有7

名.

【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展.

例10.(1)当卬时，方程G石=2-加有实数解；

(2)方程Cx-1=1+加无解,勿的值为.

【难度】★★

【答案】(1)m<2；(2),n<-\.

【解析】(1)由2—得桃M2：(2)由l+/n<0,得/we—1.

【总结】考查二次根式的非负性的运用.

例11.方程上+二_=其产生增根，则公

]-xX+1/―1

【难度】★★

【答案】A=-3或々=—1.

3

【解析】两边同时乘以f-l，可得：-2x-8=63即x=T-3k；

当x=l或-1时，方程有增根，所以当-4-34=1时，k=~；

当一4一3R=—1时，k=-\,

综上所述1<=-2或々=-1.

3

【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算.

例12.当a=时，关于*的方程_2_=，二无解.

x+3x-a

【难度】★★

【答案】a=-3或0.

【解析】当归-3时，方程可化为二3-=二3，无解；当a=0时，方程可化为33=0,无

x+3x+3x+3

解.

【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论.

例13.若(x+3=9,则｛x--)2的值为.

XX

【难度】★★

【答案】5

【总结】考查完全平方公式的应用.

例14.已知关于x的分式方程史2=1的解是非正数，则”的取值范围是.

x+1

【难度】★★

【答案】且力-2.

【解析】由题意，先去分母，得：a+2=x+l,解得：x=a+1.

首先，因为方程