2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第17讲 图形运动中函数关系的确定(含详解)

第17讲图形运动中函数关系的确定

解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对儿

何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多

种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静

态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题.

模块一：动点求函数解析式

知识精讲

动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知

量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主

要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的

取值范围.

例题解析

例1.已知：在心中，ZJ=90°,力庐〃。是46边上不与/点、6点重合的任意一

个动点，PQLBC于点Q,QR1AC于点R.

(1)求证：P8BQ；

(2)设於x,gy,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)当x为何值时，PR//BC.

例2.如图所示，已知：在七△4?。中，/e90°,户是边4?上的一个动点，PQLPC.交

线段面的延长线与点Q.

(1)当小宓时，求证：BeBP；

(2)当/片30°,4后4时，设小x,B午y,求了关于x的函数解析式，并写出定义域.

例3.如图所示，已知：在无△力必中，Z6=90",力用6,点。是斜边4?中点，作施上4B,

交直线4c于点必

(1)若/片30°,求线段B的长；

(2)当点£在线段4C上时，设於x,C拄y,求y关于x的函数解析式，并写出定

义域；

(3)若/1,求8c的长.

例4.如图，在梯形48(力中，AD//BC,N/6C=90°,AB=BC=8,点£在边四上，DEL

CE,膜的延长线与"的延长线相交于点人

(1)求证：DF=CE-,

(2)当点£为期中点时，求切的长；

(3)设,CE=x、AD=y,试用x的代数式表示y.

例5.如图，在正方形/版中，/8=4,点£是边切上的任意一点(不与C、〃重合)，

将应沿力£翻折至△"石，延长EF交边BC于点G,联结4G.

(1)求证：MABGalXAFG；

(2)若设DE=x,BG=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(3)联结5岩AG"CF,求然的长.

例6.如图，正方形4?(力的边长为6,点£夕分别在边1。、切上，NFEB=4EBC,

EF、a1的延长线相交于点G,设/£=x,BG=y.

(1)求y与x之间函数解析式，并写定义域;

(2)当点尸为切中点时，求四的长.

例7.如图所示，己知：在△48C中，华90°,/片60°,403,点〃是边46上的动点

(点〃与点/、8不重合)，过点〃作如垂直于交射线与£,连接点尸是劭的中

点，连接欧CF、DF.

(1)当点£在边4C上(点后与点，不重合)时，设Cdy.

①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；

②求证：△W是等边三角形；

(2)如果叱2将，求出力。的长.

例8.如图，已知：在△/a'中，ZCE4=90°,ZJ=30°,BC=3,〃是边/C上的一个动点，

DELAB,垂足为瓦点厂在W上，且止毋般FP'EF,交线段46于点产，交线段"的

延长线交于点G.

(1)求证：AF^FP-,

(2)设力介*,GP=y,求y关于*的函数解析式，并写出它的定义域;

(3)若点P到4C的距离等于线段初的长，求线段4。的长.

例9.如图，在直角△/比中，/斤90°,/伉30°,4,。是4c边上的一个动点(不与

/、C点重合)，过点〃作/，边的垂线，交线段8c于点笈点尸是线段疣的中点，作力/■£

DF,交射线居于点从交射线。于点G.

(1)求证：G2DC；

(2)设/分X,HG^y.求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;

(3)当小,时，求CG的长.

2

模块二：图形运动求函数解析式

知识精讲

图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角

形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系.

例题解析

例1.如图，等腰梯形四四中，AgBg5,48=20,5=12,DHVAB,£是线段如上一动

点，在线段缪上取点下使力£=跖，设/£=x,DF=y.

(1)当原〃相时，求4?的长；

(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)将△/(如沿"'所在直线翻折，点。落在平面上的〃处，当〃£=1时，求熊

的长.

例2.如图，已知：中，N〃B=90°,ZJ=30°,〃是边4C上不与点/、C重合的任

意一点，DE1AB,垂足为点笈"是劭的中点.

(1)求证：C诙EM；

(2)如果叱石，设CWy,求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域：

(3)当点〃在线段4。上移动时，入欣苏的大小是否发生变化?如果不变，求出"的大

小；如果发生变化，说明如何变化.

随堂检测

1.己知一直角三角形纸片OAB,NAOB=90°,0A=2,陟4,将该纸片放在，放置在平面直角

坐标系中，折叠该纸片，折痕与边防交于点G与边加交于点D.

(1)若折叠后使点6与点力重合，求点C的坐标;

（2）若折叠后点8落在边力上的点为夕，设仍'=x,OOy,试写出y关于x的

函数解析式，并确定y的取值范围.

2.如图所示，已知：在正方形4版中，点尸是射线式1上的任意一点（点8与点C除外）

联接〃E分别过点C、4作直线分的垂线，垂足为乐F.

①点夕在6c的延长线上时，那么线段AF.C区"'之间有怎样的数量关系?请证明你的结论；

②当点尸在边花上时，正方形的边长为2,设上x,44y.求y与x的函数解析式.并写出

函数的定义域；

③在②的条件下，当产1时.求斯的长.

3.（2020♦上海八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AQ8C的顶点。的

坐标是（2石,6）,动点P从点A出发，沿线段A。向终点。运动，同时动点。从点3出

发，沿线段BC向终点。运动.点尸、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为

«0</<6）秒，过点尸作尸。交AB于点E.

（1）求直线AB的解析式；

（2）设APEQ的面积为S,求当0<1<3时，S与『时间的函数关系；

（3）在动点P、。运动的过程中，点H是矩形AQ8C内（包括边界）一点，且以

B、Q、E、”为顶点的四边形是菱形，直接写出，值和与其对应的点，的坐标.

4.（2019•上海市市西初级中学八年级期中）如图1,在菱形ABC。中，AB=S,

8。=8&，点P是上一点，点。在AB上，且？A=PQ,设。£>=x.

.4

图1

（1）当R4_LAB时，如图2,求PO的长;

（2）设AQ=y,求>关于x的函数关系式及其定义域；

（3）若&3PQ是以8Q为腰的等腰三角形，求的长.

5.（2019•上海八年级期末）如图，己知直角梯形ABC。，AD//BC,ZDCB=9O0,

过点A作AH_LBC,垂足为点“，8=4,BH=2,点尸是CO边上的一动点，过

产作线段A3的垂直平分线，交A3于点£，并交射线于点G.

(1)如图1,当点尸与点。重合时，求8C的长；

(2)设AD=x,DF=y,求＞与x的函数关系式，并写出定义域;

(3)如图2,联结。E，当△£)所是等腰三角形时，求AO的长.

6.(2019•上海八年级期中)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ABA.BC,

AB=20E是边AB的中点，联结CE,且DELCE.设=

BC=y.

（1）如果N8CQ=60°,求C£）的长；

（2）求>关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）联结8D.如果△BC。是以边CO为腰的等腰三角形，求了的值.

7.（2019•上海上外附中）如图，矩形A5CO中，边4?在>轴上，点A（0,3）,

BC=2AB,直线y=2x+l过点3且交边AO于G,另有一条直线/与y=2x+l平行且

分别交AO，BC于E,F.

（1）求BC,AG的长；

（2）当BG痔为菱形时，求直线/解析式；

（3）当直线/将矩形A3CD分成两个面积比例为1:2的梯形时，直接写出此时直线/的解

析式.

8.（2020•上海八年级期末）已知：如图，在AABC中，NC=90°，/8=30°,

AC=6,4〃平分NR4C,交比■边于点〃.点£1是边48上一动点（与点/、6不重

合）.过点后作EEJ_AZ），垂足为点G,与射线/C交于点人

(1)当点尸在边上时,

①求证：DE=DF；

②设=CF=y,求y与x之间的函数解析式并写出定义域.

(2)当AA£)尸是等腰三角形时，求跖的长.

第1讲一次函数的概念及图像

模块一：一次函数的概念

知识精讲

1、一次函数的概念

（1）一般地，解析式形如y=+b（&,。是常数，且AHO）的函数叫做一次函

数；

（2）一次函数丫=履+6的定义域是一切实数；

（3）当6=0时，解析式y=履+6就成为y=丘（火是常数，且AHO）这时，y是x

的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；

（4）一般地，我们把函数y=c（为常数）叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问

题确定.

例题解析

例1.下列函数中，哪些是一次函数？

(1)y=3f-2；(2)y-\=2x；(3)y=m(x-5)(〃z。0)；

k

(4)y=or+L(awO)；(5)y=Ax+—(AwO)；(6))=一(&+3)x(左w—3).

aX

【难度】★

【答案】（2）、（3）、（4）、(6).

【解析】判断是否是一次函数，要整理成？="+匕（女工0）的形式，一次函数有x要是一次,

人H0且是整式几个注意点.（1）是二次函数，（5）是分式.

【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整

理成概念的标准形式，找出对应&,b.

例2.（1）己知函数丫=（公一2）x+l是一次函数，则衣的取值范围是

（2）当炉时，函数y=/-"+（4一⑷是一次函数，且不是正比例函数.

【难度】★

【答案】（1）k手土④；（2）w=-4.

【解析】（1）一次函数》=履+伙无力0）,所以4二±0；（2）一次函数y=fcc+*t*O）其

中，x要是一次，所以加=±4,又因为是一次函数，不是正比例函数，所以（4-痴不能为0,

所以，〃=-4.

【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解.

例3.已知一个一次函数，当自变量x=-2时，函数值为y=-l；当x=2时，y=ll.求这

个函数的解析式.

【难度】★★

【答案】y=3x+5.

【解析】设一次函数解析式为丁="+仅女/0）,将（-2,T）,（2,11）两点代入解二元一次方

程组，解得：k=3,b=5,所以这个函数的解析式为：y=3x+5.

【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组.

例4.已知一次函数），=（&-1）32/+3+7是一次函数，求实数4的值.

【难度】★★

【答案】k=2.

【解析】由一次函数的概念可知：*-1*0.且*_3"3=1,解得：4=1或左=2,又因为

k工1,所以女=2.

【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理

解.

例5.（2020•上海市格致初级中学）如图，正方形的顶点从6落在x轴正半轴上，

点C落在正比例函数y=4x（尤＞0）上，点〃落在直线y=2x上，且点〃的横坐标为a.

（1）直接写出/1、B、a〃各点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求出〃的值：

（3）将直线8绕点〃旋转，旋转后的直线将正方形4版的面积分成1：3两个部分，求

旋转后得到的新直线解析式.

【答案】（1）点/、&a〃的坐标分别为（&0）、（3，0）、（3a,2d）、（a,2a）；（2）k

2厂

—y；（3）y=（3±yJ5）x.

【分析】（1）点D的横坐标为a,则点D（a,2a）,则AB=AD=2a,进而求解；

（2）将C点坐标代入y=kx即可求得k；

m2〃2

（3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为y=-x,当y=2a时，可求出点£（—,

cim

1

2a）,由S△加=1S正方形ABCD,可列方程进而求出m.

【详解】解：（1）点，的横坐标为a,则点〃（a,2a）,

则四=4?=2a,则点从B、C的坐标分别为（a,0）、（3a,0）、（3a,2a）,

故点/、B、C.。的坐标分别为（a,0）、（3a,0）、（3a,2a）、（a,2a）；

2

（2）将点C的坐标代入尸公得，2a=3ak,解得左=—；

3

（3）设AF=m,则点尸zz7）,设直线3旋转后交力〃于点凡交.CD于点、E,

inm

则直线所的表达式为＞=—x,当尸2a时，尸=一x=2a

aaf

解得x二2，，故点后（,2a）,由题意得：SL=-S止〃彬他〃=：X（2Q）~=a2,

mm44

jI/2Q2\

即一xQExZ)/7=—x-----a(2。一解得：/〃

22{mJ

则函数的表达式为y='x=(3±J?)x.

a

【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质

是解题关键.

模块二：一次函数的图像

知识精讲

1、一次函数的图像：

一般地，一次函数y=fcv+h(3b是常数，且左片0)的图像是一条直线.一次函数y=+b

的图像也称为直线y=fcv+6,这时，我们把一次函数的解析式y=fcr+。称为这一直线的表

达式.

画一次函数了=丘+匕的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线.

2、一次函数的截距：

一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，

一般地，直线丫=丘+匕(ZrO)与y轴的交点坐标是(0,b),直线丫=履+5(左二0)的

截距是b.

3,一次函数图像的平移：

一般地，一次函数卜=h+〃(6/0)的图像可由正比例函数丫="的图像平移得到.当匕＞0

时;向上平移回个单位；当。＜0时，向下平移例个单位.

(函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”)

4,直线位置关系：

如果白二打，那么直线y=Ax+々与直线y=Ax+8平行.

反过来，如果直线y=匕》+伪与直线y=&x+a平行，那么用=向，仇.

例题解析

例1.若一次函数y=(3-a)x+(〃-9)函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数

的图像.

【难度】★

【答案】y=6x.

【解析】•次函数y=(3-a)x+(/-9)的图像过原点，即通过(0,0)点，且3-力0.把

这点坐标代入解析式求解可得a=-3,所以解析式是y=6x.

【总结】一次函数的解析式与图像的关系，解析式中左不为0的前提条件，以及图像过原点

的在解析式中的含义.

例2.若一次函数y=fcr+b,当年2时，*T,且函数图像的截距为-3,求函数的解析式.

【难度】★

【答案】y-x-3.

【解析】截距是-3,则人=一3,又因为过（2,-1）点，代入求解，得解析式为y=x-3.

【总结】考查一次函数截距的意义，和待定系数法求一次函数解析式的方法.

例3.若一次函数尸-x+8的图像的截距是-4,求将这个一次函数向左平移2个单位后的函

数解析式.

【难度】★

【答案】y=-x-6.

【解析】截距是-4,则6=-4,则解析式是y=-x-4,则平移后的解析式为：

y--x+2-4=—x—6.

【总结】考察一次函数截距的意义，及函数图像平移与解析式变化的关系，即“上加下减,

左加右减”.

例4.将直线厂-夜广1向右平移1个单位，相当于将直线产-夜户1向上平移了多少个单

位？

【难度】★★

【答案】五个.

【解析】一次函数y=-&x+l右移一个单位，解析式变为>'=->/2（x-l）+l=->/2%+>/2+1,

则相当于>=-应x+1向上平移0个单位.

【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”.

例5.已知一次函数的图像平行于直线尸士x,且当％=-3时，函数y的值是1,求这个函数

3

解析式.

【难度】★★

【答案】y=^x+3.

【解析】设这个一次函数解析式为丁二米+6,由题易知攵=；,把点（-3,1）代入，可得

b=3.

所以这个一次函数解析式为y=（x+3.

【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，即两条直线平行，&相等.

例6.若直线y=("z2-3)x+(2/n+l)与直线y=-2x+3平行，求)的值.

【难度】★★

【答案】m=-l.

【解析】因为两条直线平行，所以可知左相等且b不相等，即病一3=-2,解得：m=±l;

因为6不相等，所以〃z=-l.

【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，两条直线平行，即无交点，而重合是

两条直线有无数个交点，所以两条直线平行的含义是k相等且b不相等.

例7.根据下列条件，求解相应的直线表达式.

(1)直线经过(3,2)以及(1,1)；

(2)直线经过(7,0)以及截距是14；

(3)直线经过(-3,0)以及截距是-0.

【难度】★★

【答案】(1)尸”；；⑵丫=-2犬+14：(3)y=-^-x-y/2.

【解析】(1)设直线的解析式为y=fcv+。，把(3,2)和(1,1)代入，可得：&=2，b=g,

所以直线的解析式为y='x+'；

22

(2)设直线的解析式为y=fcc+b,截距是14,则方=14,再把(7,0)代入,可得&=-2.

所以直线的解析式为y=-2x+14：

(3)设直线的解析式为y=H+。，截距是-夜，则6=-啦，再把(-3,0)代入，

可得左=—g,所以直线的解析式为y=-*x-0.

【总结】考察两点代入法求解一次函数解析式的方法及截距的含义，两点代入法求解一次函

数的解析式可转化为求解二元一次方程，从而求出对应的火和，.

例8.直线y=(l-3&?)x+(2k-2)与已知直线y=-2x+l平行，且不经过第三象限，求发的值.

【难度】★★

【答案】k=l.

【解析】两条直线平行，则可知A相等，即1-3及2=—2,可得：欠=1或2=-1,则截距为

2%-2=0或2左-2=T.又因为图像不经过第三象限，所以舍去〃—2=T,即舍去上=-1,

所以火=1.

【总结】考察一次函数的的基本概念以及4和。的符号与图像所过象限的关系.

例9.设点P(3,m),Q(n,2)都在函数片行6的图象上，求而〃的值.

【难度】★★

【答案】5.

【解析】把点户(3,血，0(",2)代入解析式尸产人中，可得3+。=”?,”+〃=2,两式子相减，

得3—〃=，〃一2，整理得"z+n=5.

【总结】考察一次函数的应用，一次函数图像上的点的坐标都满足函数解析式.

例10.设一次函数＞=去+6的图像过点？(3,2),它与x轴、y轴的正半轴分别交于力、B

两点，且曲+力＞12时，求一次函数的解析式.

【难度】★★

【答案】y=—2x+8或y=—3+3.

【解析】由题易知I,A点坐标为卜，，0),B点坐标为(0,b),且A、B两点都在x轴、y轴

的正半轴上，所以"(-%=12,又点P(3,2)在此函数图像上，代入可得3m，

两个式子联立求解，可得：35+7%+2=0,解得：Z=-2或」，对应的6=8或3.

3

所以该一次函数的解析式为y=-2x+8或y=-gx+3.

【总结】本题主要考查•次函数与两坐标轴的交点问题，注意分类讨论.

例11.已知一次函数丫=如里—2%与y=+'的图像在第四象限内交于一点，求整数

44-33

m的值.

【难度】★★★

【答案】一L0,1.

【解析】将两个解析式联立求解可得：x=2色，"二二三所以交点坐标为偿空口,吧］

因为交点在第四象限内，所以2叱＞o,—＜0,解不等式得：-3＜相＜2,

772

所以整数，"的值为一1,0,1.

【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题，并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号

特征.

例12.已知两个一次函数y=-?x-4和必=-x+-；

4aa

(1)。、。为何值时，两函数的图像重合?

(2)。、匕满足什么关系时，两函数的图像相互平行？

(3)a、。取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标.

【难度】★★★

【答案】(1)a=~,5=8；(2)ab=T且。片-1；(3)匕=8,。*0,坐标为(一2,

22

0).

【解析】(1)由题可知，两个一次函数的比例系数和常数项都相等，即-2=JL,_4=2,

4aa

解得：a=—,Z?=8;

2

(2)两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等，所以一2=」，

4a

即QZ?=-4,且々工一工；

2

(3)两个一次函数的图像交于工轴上•点，即两个•次函数与x轴的交点重合，先分

别求出与工轴的交点，令X=0,得大=-3，同理可得％=—2,由题可知％=/，-3=一2,

bb

即匕=8,交点坐标为(-2,0).

【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重:合的关系与区别以及两条直线交点的含义.

例13.(1)一次函数y=3x+%的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48,求匕的值；

(2)一次函数y=+b的图像与两坐标围成的三角形的面积是10,截距是石，求一次函

数的解析式.

【难度】★★★

【答案】(1)Z?=±12\/2：(2)y=工+石或y=」/+石.

44

【解析】(1)一次函数丫=丘+优人工0)与两轴围成的三角形面积公式是$=与，所以

2网

12

48=」^,解得：。=±12夜；

2x|3|

(2)同理可知，10=蓑，b=^5,解得：《=土;，所以一次函数的解析式为y=；x+石

或y-——x+石.

4

【总结】一次函数与两轴围成的面积公式s=g,注意双解的情况.

例14.(1)求直线y=4和y=2x+2与y轴所围成的三角形的面积；

(2)求直线y=2x-4与直线y=-3x+l与x轴所围成的三角形的面积.

【难度】★★★

【答案】⑴12；(2)

3

【解析】(1)联立y=；x-4和y=2x+2,解得交点坐标为(-4,-6),又因为两条直线与y

轴的交点坐标分别为(0,-4)和(0,2),所以这两条直线与y轴围成的三角形面积

为gx[2_(f]x|T=12；

(2)联立y=2x-4与y=-3x+l,解得交点坐标为(1,-2),又因为两条直线与x轴的交点

坐标分别为(2,0)和([0),所以这两条直线与x轴围成的面积为gx(2-9x|_2|=g.

【总结】考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积的综合应用.

例15.如图，已知由x轴、一次函数y=fcc+4a<0)的图像及分别过点6(1,0)、。(4,0)

两点作平行于y轴的两条直线所围成的图形的面积为7,试求这个一次函数的解析式.

【难度】★★★

【答案】y=-++4.

【解析】由题易知A的坐标为(1,Z+4),3的坐标为(4,4A+4)所围成的梯形他8的

面积为Lx(AC+8D)xa>」x(Z+4+4Z+4)x(4-l)=7,

22

解得：k=-2,所以一次函数的解析式是y=-Zx+4.

33

【总结】考查一次函数与面积的综合应用.

模块三：一次函数的性质

知识精讲

1、一次函数的增减性:

一般地，一次函数y=H+6（火力为常数，AHO）具有以下性质：

当4>0时，函数值y随自变量x的值增大而增大，图像为上升；

当左<0时，函数值y随自变量x的值增大而减小，图像为下降.

2、一次函数图像的位置情况：

直线丫="+力（左片0,〃片0）过（0,A）且与直线y=近平行，由直线y=丘在平面直角坐标

系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）

当%>0,且6>0时，直线y=+6经过一、二、三象限；

当％>0,且。<0时，直线y=区+〃经过一、三、四象限；

当后<（）,且。>0时，直线y=fcr+6经过一、二、四象限；

当％<0,且匕<0时，直线y=H+6经过二、三、四象限.

例题解析

例1.如果一次函数片Mb的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）

A.Z>0,b>0B.k>0,伙0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

【难度】★

【答案】B

【解析】一次函数丫=丘+6的图像经过第一象限，且与y轴负半轴相交，通过画图可知

k>0,b<0.所以答案选8.

【总结】考察一次函数的基本概念以及A、b的符号对一次函数图像所过象限的决定作用.

例2.一次函数片一2广3的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【难度】★

【答案】C.

【解析】一次函数y=-2x+3中，k<0,b>0,通过画图，可知该一次函数的图像不经过

第三象限，答案选C

【总结】考察一次函数的基本概念*、8的符号对-次函数图像所过象限的决定作用.

例3.根据下列条件填空：

（1）已知函数y=（，〃-1）/—+5+（川-3）,当机等于时，它是一次函数，此时它的

图象经过象限，y随x的增大而；

（2）如果一次函数y=2x和），=x+k的图象的交点在第一象限，则k的取值范围是

（3）己知关于x的一次函数y=（20-7）*+“-2的图象与y轴的交点在1轴的上方，且y

随X的增大而减小，则。的取值范围是.

【难度】★★

7

【答案】（1）“2=2；一、三、四；增大；（2）女>（）；（3）2<a<-.

2

【解析】⑴由题可知，要是一次函数则要满足旭-1=0，且布-4加+5=1,解得：加=2.此

时函数解析式为y=x-l,它的图像经过第一、三、四象限，且y随x的增大而增大；

（2）联立y=2x与y=x+A:,可得交点坐标为（324），因为交点在第一象限，则

女>0且2左>0,所以大的取值范围是％>0.

（3）由题易知，一次函数与y轴的交点坐标为（0,”-2）,且。-2>0,又y随x的增大而

7

减小，所以2a—7<0,从而可得2<a<-.

2

【总结】考查一次函数的基本概念及&、b对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响.

例4.设》>a,将一次函数y=6x+a与y=ox+6的图像画在同一平面直角坐标系内，则有

一组a,b取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（）

ABCD

【难度】★★

【答案】D

【解析】A选项中，由图像可知8>0,且图像过一、二、三象限，可知a>0,而另一条直

线的解析式为y=fer+a与y轴的交点为（0,a）在x轴下方，则a<0与上面那条直线a>0

矛盾，所以A错误；8选项中，两条直线与y轴的交点坐标都在x轴上方，可知a>0,b>0,

且6<a,这与题目中的矛盾，所以6错误；C选项中，由题易知，上面那条直线解析

式为y=ar+b,下面那条直线解析式为y=bx+a,且“<0,b>0.与x轴交点都为（2,

0）,分别代入可得力+a=0,2a+b=0,解得：a=0,b=0,与已知不符，所以错误；

。选项中，由图可知a<0,人>0,而两条直线有一条是y随x的增大而减小即作为k,a,b

中有一个小于0,正好相符，且满足题目中的条件，故选项D正确.

【总结】本题主要考查•次函数的性质及左、〃对一次函数图像所过象限的影响.

例5.若左、。是一元二次方程x?+px-|q|=0的两个实根(妨/0),在一次函数丫=履+/>

中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过()

A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限

C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限

【难度】★★

【答案】A

【解析】由题易知=<0,乂在--次函数y=+b中，y随x的增大而减小，可知

k<0,所以6>0,所以一次函数的图像经过第一、二、四象限.故选A

【总结】一次函数的基本概念，k,b对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响.

例6.已知次七#0,而且土心=处£=*=0,那么直线了=0犬+。一定经过()

cab

A、第一、二象限；B、第二、三象限；C、第三、四象限；D、第一、四象限

【难度】★★★

【答案】B

【解析】由题可得a+b=pc,b+c=pa,c+a=向三式相力「得2(〃+/?+c)=〃(〃+/?+(?),

2(a+0+c)-p(a+b+c)=O,(a+/?+c)(2-p)=0,可得〃=2或4+匕+。=0，

当〃+b+c=O时，a+b=-c,p=a+^=—=-l,所以p=2或T.

cc

当p=2时，y=2x+2经过第一、二、三象限，当〃=一1时，y=-x-\,

图像经过第二、三、四象限.两种情况下，图像第一定经过第二、三象限.故选B

【总结】考察一次函数的图像特征及左、b对一次函数图像所过象限的影响.

例7.在式子y="+h(k,〃为常数)中，当-时,14”9,求她的值.

【难度】★★★

【答案】14或一6.

【解析】由题可知存在如下几种种情况，

J3&+0=][k-2

⑴当左>0时，x=-3,y=l或x=l,y=9，贝叫0,解得：\,,则幼二14；

[k+b=9[b1=7

—「一3攵+b=9A,依=一2

(2)当&<。时，x=-3,y=9或x=l,y=l,则匕],，解得：〈，嗔，则他=-6；

(3)当k=0时,y=b,是个常值函数，不随工的变化而变化，与题目不符.

【总结】本题主要考查一次函数的性质的运用，注意分类讨论.

例8.已知一次函数y=$x+l中y随x的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角

三角形的面积不超过T，反比例函数y=三竺的图像在第二、四象限，求满足以上条件

的女的整数值.

【难度】★★★

【答案】整数值为1或2.

【解析】一次函数）=—!—X+1中y随］的增大而增大，可知」—>0,它的图像与两坐

2k-12k-\

标轴构的直角三角形面积不超过3,可知一^43；又反比例函数迎的图像在第

2212x

21

7

二、四象限，可知2-3女<（）,解不等式可得：-<k<2,故整数解为1或者2.

3

【总结】考查一次函数与反比例函数的性质及一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问

题.

例9.如图，已知函数y=x+l的图象与y轴交于点4一次函数y=fcv+b的图象经过点父0,

-1）,并且与x轴以及y=x+l的图象分别交于点GD；

（1）若点〃的横坐标为1,求四边形｛施）的面积（即图中阴影部分的面积）；

（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点只使得以点AB、。为顶点的

三角形是等腰三角形；如果存在，求出点尸坐标；如果不存在，说明理由；

（3）若一次函数丫=依+匕的图象与函数y=x+l的图象的交点〃始终在第一象限，则系数

火的取值范围是（请直接写出结果）.

【难度】★★★

【答案】⑴*：（2）+（0,5）,（。，［；⑶k>T.

【解析】（1）由题易知A的坐标为（0,1）,点。的横坐标为1,代入y=x+l,得y=l+l=2,

即£）（1,2）；因为点8的坐标为（0,-1）,且卜=履+6经过点。和点3,

k+b=2b=-\

代入得:,解得:

0+力=—1k=3

则一次函数的解析式为y=3x-l,继而可求出点C的坐标为（g,0）.

故阴影部分的面积为：

S阴=S^BD-5AOBC=^xABxDt-lxOBxOC^x[l-（-l）]xl-lxlxl=|.

（2）假设P点的坐标为（0,ni）,则80==g

分三类情况讨论：①当时，以点8为圆心，为半径画圆，与y轴的交点即为所

求P点.所以P的坐标为（0,-1+V1O）或者（0,-1一•）；②当七出=DP时，以点£）为圆心,

为半径画圆，与y轴的交点即为所求P点，所以点P的坐标为（0,5）；③当尸B=P£）时,

点P即为线段的的中垂线与y轴的交点，则*（T）=J（l_0y+（2_%）2,解得：机=，,

即P的坐标（0,|）,综上，点P的坐标为（0,-1+亚）或者（0,-1-布）或（0,5）或（0,：）；

（3）因为点5的坐标为（0,-1）,可知y=fcr+b中的b=l,可得了=履-1.

联立y=x+l,y=kx-\,可得交点D坐标为（含,合），因为点D在第一象限内，

所以二-＞0且但＞0,解不等式组，得

k-\k-\

【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数的形式与面积的综合应用.

例10.（2018•上海崇明区•八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点A在％轴

的负半轴上，直线y=©r+G经过点A，与丁轴相交于点M，点5是点A关于原点的

对称点，过点5的直线8C_Lx轴，交直线＞=日+百于点C,如果NMAO=60°.

（1）求直线AC的表达式；

（2）如果点。在直线AC上，且AABD是等腰三角形，请求出点。的坐标.

【答案】（1））=底+内；⑵（0,6）或（—2,—G）.

【分析】(1)先求出点M的坐标，从而可得0M的长，再根据直角三角形的性质可得0A的

长，从而可得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

(2)先根据时称性得出点B的坐标，再根据两点之间的距离公式可得A3,80,的长,

然后根据等腰三角形的定义分三种情况建立等式求解即可.

【详解】(1)对于y=+当x=0时，y=£，则点M的坐标为(0,6)

:.0M=/，设04="，,••/046=60。。N0M4=90°-NCAB=30°

在Rt^OAM中，AM=20A=2a，OM=\JAM2-OA1=6a

则有6a=百，解得a=l，即。4=1,••.点A的坐标为(T,0)

•.,直线y=+6经过点A。，0=—攵+百，解得出=百

故直线AC的表达式为y=0x+8.

(2)♦.•点B是点A关于原点的对称点，二点5的坐标为(1,0)

设直线AC上的点。坐标为(加,岛i+塔,则AB=1-(-1)=2

BD=7(m-l)2+(V3w+V3)2-AD=7(m+l)2+(V3m+73)2=+

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：

①当AB=AZ)时，八钻£>是等腰三角形，则2而〃+1)2=2,解得〃2=0或加=一2

x/3m+百=百或V3m+#)=百x(-2)+百-->/3

此时，点D的坐标为(0,6)或卜2,一6)

②当=时，AA8D是等腰三角形

则《(m-1)?+(6m+=2>解得〃z=0或相=T

百加+Ji=6或®+6=6x(—1)+6=()

此时，点D的坐标为((),百)或(一1,0)(与点A重合，不能构成三角形，舍去)

③当8D=A。时，AABO是等腰三角形

则7(W-1)2+(V3^+^)2=2j(m+l)2，解得机=0

V3m+V3=73.此时，点O的坐标为(0,6)

综上，点。的坐标为点倒,或卜2,一6).

【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识

点，较难的是题(2),依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键.

例11.(2018•上海普陀区•)如图，已知一次函数y=2x+4的图像与x轴、丁轴分别交

于点A、B,且BC〃AO,梯形AOBC的面积为10.

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)求直线AC的表达式.

【答案】(1)