专题02突破两类解三角形问题2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破

一．方法综述解三角形问题是高考高频考点，命题主要有两类，一

是解三角形的“基本问题”----求角、求边、求面积；二是解三角形中的综合问题

----最值与范围问题.关于第一类问题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵巧利用

三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，此外要注意

a

c,ac,a2

c2三者的关系

.关于第二类问题，要注意运用三角形中的不等关系：

（1）随意两边之和大于第三边：在判断能否组成三角形时，只要考证较小的两边之和能否比第三边大即可

.因为不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少；（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：abABsinAsinBcosAcosB，此中由ABcosAcosB利用的是余弦函数单一性，而ABsinAsinB仅在一个三角形内有效.本专题举例说明解答两类解三角形问题的方法、技巧.二．解题策略种类一

三角形中求边、求角、求面积问题【例

1】【2018

届河北省衡水金卷一模】已知

的内角

的对边分别为

，且，，点

是

的重心，且

，则

的外接圆的半径为（

）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】

A∴

，化简，得

，由余弦定理，得由正弦定理得，△ABC的外接圆半径R.应选：A【指点迷津】1.解三角形问题中，边角的求解是全部问题的基本，往常有以下两个解题策略：边角一致化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，经过代数恒等变换求解；几何问题代数化：经过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，关于某些问题来说此法也是极为重要的．学科#网解三角形的常用方法：（1）直接法：察看题目中所给的三角形因素，使用正余弦定理求解2）间接法：能够依据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等成立方程，再进行求解【贯通融会】【2018届山东省潍坊市高三二模】在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且2sinCsinBacosB）sinB，则A=（bcosAA.B.C.2D.6433【答案】C【分析】应选C.种类二三角形中的最值、范围问题【例2】【2018届百校结盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【分析】【例3】【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，点D，且，则的最小值为________．

中，

，的均分线交

，于【答案】9【分析】由题意可知，

,由角均分线性质和三角形面积公式得，化简得

，所以当且仅当

时取等号，则

的最小值为

.【指点迷津】三角形中的最值、范围的求法（1）目标函数法：依据已知和所求最值、范围，选用适合的变量，利用正弦定理与余弦定理成立所求的目标函数，而后依据目标函数分析式的构造特点求解最值、范围．学科#网2）数形联合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的有关结论直接判断最值、范围．3）利用均值不等式求得最值【贯通融会】1.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且知足，若的面积为，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【分析】2.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且知足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【分析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，可知可知当时，学科&网则的最大值的取值范围为三．加强训练1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】D2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】，，，，又，

，

，，应选

C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】

四边形

ABCD中，

AB

2，BC

CD

DA

1，设

ABD、

BCD的面积分别为

S1、S2，则当

S12

S22取最大值时，

BD

__________．【答案】

102【分析】设BDb,222b410b2S12S22112sinA111sinC31cos2A1cos2C313224244162b25231,当b25,b2210时,获得最大值,故填10.学科!网4162224．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】【分析】由题得因为的面积为，所以因为，所以故填.5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2acosCc2b,a2,则ABC的最大值为__________．【答案】3【分析】由题意，依据正弦定理化简得2sinAcosCsinC2sinB，又由BAC，则sinBsinACsinAcosCcosAsinC，所以2sinAcosCsinC2sinAcosC2cosAsinC，整理得cosA1，又A0,，所以sinA3，22又由余弦定理得a2b2c22bccosA，则4b2c22bc1b2c2bc2bcbcbc，当且仅当bc时等号成立，2即bc4，所以ABC的最大值为Smax1bcsinA1433．2227．【2018届安徽省“皖南八校”高三第三次（4月）联考】四边形中，,当边最短时，四边形的面积为__________．【答案】【分析】当边最短时，就是时，连结，应用余弦定理能够求得，而且能够求得，进而求得，进而求得，利用平方关系求得，进而求得，，所以四边形的面积，故答案是.学科&网8.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若对随意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】29.【2018届百校结盟高三TOP20四月联考全国一卷】如图，在中，分别为的中点，，若，则______.【答案】【分析】剖析：由正弦定理可得，联合向量垂直的充要条件和