2021新必修第一册完美题型精讲（同步学习培优120个题型完美讲解）

目录

1.1集合的概念及特征................................................................................4

考点一集合的判断..............................................................................5

考点二集合的表示方法.........................................................................6

考点三集合中元素的意义.......................................................................8

考点四元素与集合的关系.......................................................................9

考点五求参数..................................................................................9

1.2集合间的关系...................................................................................10

考点一集合关系的判断.........................................................................11

考点二（真）子集的个数.......................................................................12

考点三集合相等与空集.......................................................................13

考点四已知集合关系求参数....................................................................14

1.3集合的基本运算.................................................................................15

考点一交集....................................................................................17

考点二并集....................................................................................18

考点三补集与全集.............................................................................19

考点四集合运算综合运用......................................................................19

考点五求参数.................................................................................20

1.4充分、必要条件.................................................................................21

考点一命题及其判断...........................................................................22

考点二充分、必要条件........................................................................23

考点三求参数.................................................................................23

考点四充分性必要性的证明....................................................................24

1.5全称量词与存在量词............................................................................25

考点一全称命题的判断........................................................................26

考点二特称命题的判断........................................................................27

考点三全称、特称命题真假的判断.............................................................27

考点四命题的否定.............................................................................29

考点五全称特称求参数........................................................................30

2.1等式与不等式的性质............................................................................31

考点一等式性质...............................................................................32

考点二不等式性质.............................................................................32

考点、三匕匕较大小...............................................................................33

考点四代数式的取值范围......................................................................34

考点五不等式证明.............................................................................35

2.2基本不等式.....................................................................................36

考点一公式的直接运用........................................................................37

考点二条件型.................................................................................37

考点三配凑型.................................................................................38

考点四换元法.................................................................................39

考点五求参数.................................................................................40

考点六实际应用题.............................................................................40

2.3二次函数与一元二次方程、不等式...............................................................41

考点一解无参数一元二次不等式...............................................................42

考点二解含有参数的一元二次不等式...........................................................43

考点三三个一元二次的关联....................................................................44

考点四一元二次的恒成立.....................................................................45

考点五实际运用题.............................................................................47

3.1函数的概念.....................................................................................48

考点一区间的表示.............................................................................49

考点二函数的判断.............................................................................50

考点三定义域.................................................................................52

考点四解析式.................................................................................54

考点五函数值................................................................................55

考点六相等函数...............................................................................55

考点七分段函数...............................................................................56

3.2函数的性质.....................................................................................58

考法一性质法求单调性（单调区间）...........................................................60

考法二定义法求单调性（单调区间）.............................................................60

考法三图像法求单调性（单调区间）.............................................................61

考法四利用单调性求参数......................................................................62

考法五奇偶性的判断...........................................................................62

考法六利用奇偶性求解析式....................................................................63

考法七利用奇偶性求参数.....................................................................64

考法八单调性与奇偶性的综合运用.............................................................64

3.3赛函数..........................................................................................66

考点一森函数的判断...........................................................................67

考点二赛函数的三要素........................................................................67

考法三军函数的性质...........................................................................68

考法四森函数的图像...........................................................................68

3.4函数的应用（一）...............................................................................70

考点-----次函数模型...........................................................................70

考点二二次函数模型...........................................................................70

考点三分段函数模型...........................................................................71

4.1指数的运算.....................................................................................73

考点一根式的运算.............................................................................74

考点二分数指数森的运算......................................................................75

考点三条件等式求值...........................................................................76

考点四综合运算...............................................................................76

4.2指数函数........................................................................................77

考点一指数函数的判断........................................................................78

考点二定义域和值域...........................................................................79

考点三指数函数性质...........................................................................80

考点四定点...................................................................................83

考点五图像...................................................................................83

4.3对数的运算....................................................................................85

考点一指数对数的转化.......................................................................86

考点二对数式求值............................................................................87

考点三对数式化简............................................................................87

考点四换底公式..............................................................................88

考点五指数对数运算的综合...................................................................88

4.4对数函数........................................................................................89

考点一对数函数的概念辨析...................................................................90

考点二单调性（区间）.......................................................................91

考点三定义域和值域.........................................................................92

考点、四比较大小..............................................................................93

考点五解不等式..............................................................................93

考点六定点..................................................................................94

考点七图像..................................................................................94

考点八对数函数综合运用.....................................................................96

4.5函数的应用（二）..............................................................................97

考点一零点的求解.............................................................................98

考点二零点区间的判断........................................................................99

考点三零点个数的判断........................................................................99

考点四根据零点求参数.......................................................................100

考点五二分法................................................................................101

考法六函数模型..............................................................................102

5.1任意角和弧度制...............................................................................104

考点一基本概念的辨析.......................................................................107

考点二角度与弧度的转换.....................................................................108

考点三终边相同..............................................................................109

考点四象限的判断............................................................................110

考点五扇形..................................................................................110

5.2三角函数的概念...............................................................................113

考点一三角函数的定义.......................................................................115

考点二三角函数值正负判断...................................................................116

考点三三角函数线............................................................................117

考点四同角三角函数.........................................................................118

考点五弦的齐次..............................................................................119

考点六sinacosa与sina±cosa.......................................................................................................................................120

5.3诱导公式.....................................................................................121

考点一化简（求值）.........................................................................122

考点二诱导公式与定义综合运用..............................................................124

考点三诱导公式与同角三角综合运用.........................................................125

考点四角的拼凑.............................................................................126

5.4三角函数的图象与性质........................................................................127

考点一五点画图..............................................................................127

考点二周期..................................................................................129

考点三对称性................................................................................129

考点四单调性................................................................................130

考点五奇偶性................................................................................131

考点七值域.................................................................................133

考点八正切函数性质..........................................................................133

5.5三角恒等变换.................................................................................135

考点一两角和差公式..........................................................................135

考点二给值求值.............................................................................136

考点三给值求角..............................................................................138

考点四二倍角...............................................................................138

考点五角的拼凑..............................................................................140

考点六恒等变化..............................................................................140

5.6函数j=/sin(wx+8)........................................................................142

考点一求解析式..............................................................................142

考点二伸缩平移..............................................................................144

考点三综合运用..............................................................................145

1.1集合的概念及特征

1.集合的概念

(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).

(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等.

［知识点拨］集合中的元素必须满足如下性质：

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属

于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一.

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合｛1,2,3｝与｛2,3,1｝表示同一集合.

2.元素与集合的关系

关系概念记法读法

如果。是集合4中的元素，就说。属

属于aGAa属于集合A

于集合4

如果。不是集合”中的元素，就说。

不属于aiAa不属于集合N

不属于集合4

［知识点拨］符号"G”和"C"只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有

方向性，左右两边不能互换.

3.集合的表示法

(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法.例如：小于3的实数组成的集合.

(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如Z,B,C等，用小写拉丁字母表示元素，如a,b,c等.常

用数集的表示：

非负整数集

名称正整数集整数集有理数集实数集

(自然数集)

符号NN*或N+ZQR

(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝''括起来表示集合的方法叫做列举法.

(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后

写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

【典例精讲】

考点一集合的判断

【例1】(2020•浙江高一课时练习)下列四组对象中能构成集合的是().

A.本校学习好的学生B.在数轴上与原点非常近的点

C.很小的实数D.倒数等于本身的数

本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主

观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量、

【玩转跟踪】

1.（2020•全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（）

A.充分接近的实数的全体B.数学成绩比较好的同学

C.小于20的所有自然数D.未来世界的高科技产品

2.（2020•全国高一课时练习）下列对象能构成集合的是（）

A.高一年级全体较胖的学生B.比较接近1的全体正数

C.全体很大的自然数D.平面内到A48C三个顶点距离相等的所有点

【例2】（2020全国高一课时练习）由实数羽一羽次卜石4-后所组成的集合中，含有元素的个数最多为

（）

A.2B.3C.4D.5

本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复

【玩转跟踪】

XV

1.（2020•全国高一课时练习）已知x,y均不为0,即「一土的所有可能取值组成的集合中的元素个数

㈤\y\

为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2020•全国高三其他（文））已知集合力={（'/）|》+^《2,》）€"},则力中元素的个数为（）

A.1B.5C.6D.无数个

3.（2020•全国高一）已知集合〃={1,加+2,zn2+4},且5CM,则机的值为（）

A.1或一1B.1或3

C.-1或3D.1,一1或3

考点二集合的表示方法

【例2】（2020•全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.

（1）到“、8两点距离相等的点的集合

（2）满足不等式/〉1的x的集合

（3）全体偶数

（4）被5除余1的数

（5）20以内的质数

（6）{（x,y）\x+y=6,xeN*,yeN*}

（7）方程x（x—a）=0,aeR的解集

本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般

适用于有限集合但元素个数多或者无限集合

【玩转跟踪】

1.（2020•全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：

（1）一年中有31天的月份的全体；

（2）大于—3.5小于12.8的整数的全体;

（3）梯形的全体构成的集合；

（4）所有能被3整除的数的集合；

（5）方程（》-1）。-2）=0的解组成的集合；

（6）不等式2奇一1>5的解集.

2.（2020全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合:

2x-3y=14,

（1）方程组的解集;

3x+2y=8

(2)方程f_2x+1=0的实数根组成的集合；

(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；

(4)二次函数丁=/+2x-10的图象上所有的点组成的集合；

(5)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

考点三集合中元素的意义

【例3】(2020•浙江高一课时练习)试说明下列集合各表示什么？

4=尸:;B=^x\y=A/X2-2X|；。=卜,力尸

=E={x=0,y=l}；Q={x+y=l,x-y=-1}.

本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表

示，注意看描述法最左端。

【玩转跟踪】

1.(2020・上海高一课时练习)集合{(x,y)|初”0,xeR,yeR}是指()

A.第二象限内的所有点B.第四象限内的所有点

C.第二象限和第四象限内的所有点D.不在第一、第三象限内的所有点

2.(2020•嫩江市高级中学高一月考)下列各组中的M、P表示同一集合的是()

①河={3,-l},P={(3,T)}；

②"={(3,1)},尸={(1,3)}；

③M={小=/_1},。={"=/-1}；

④“={山=--l},P={(x,y)|y=*2_1}

A.①B.②C.③D.④

考点四元素与集合的关系

【例4】(2020•全国高一课时练习)用符号“e”或“青”填空：(1)2N；(2)且Q；(3)-Z；

33

(4)3.14R；(5)-3N；(6)79Q-

本例题考查元素与集合的关系，即蜗，开口朝向集合背靠元素

【玩转跟踪】

1.(2020全国高一课时练习)用符号或“任”填空:

cl1

0N；-3N；0.5Z；V2Z；-0；兀R.

2.(2019•浙江湖州高一期中)设集合N={x|(x-l)(x+l)=0},则()

A.0eAB.leAC.{-1}"D.{-1,1}eZ

3.(2020•浙江高一课时练习)已知集合4=&lx,%},。=、历+6,则。与集合力的关系是().

A.aGAB.AC.a-AD.{a}"

考点五求参数

23

【例5】(2020•吴起高级中学高二月考(文))若2e{l,a+1,a+1},则a=()

A.2B.1或一1C.1D.-1

本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！

【玩转跟踪】

1.（2020・上海高一课时练习）若集合/=卜|a--3x+2=0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是

2.（2020•上海市进才中学高二期末）已知集合［={2,（a+l）2,a2+3a+3},且15,则实数。的值为

3.（2020浙江高一课时练习）已知集合/=fclR|ax2-3x-4=0）.

（1）若4中有两个元素，求实数。的取值范围；

（2）若/中至多有一个元素，求实数。的取值范围.

1.2集合间的关系

I.Venn图的优点及其表示

（1）优点：形象直观.

(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.

2.子集、真子集、集合相等的相关概念

［知识点拨］(1)”力是8的子集”的含义：集合力中的任何一个元素都是集合8的元素，即有任意能推

出xWB.

(2)不能把“ZU8”理解为7是8中部分元素组成的集合”，因为集合/可能是空集，也可能是集合反

(3)特殊情形：如果集合”中存在着不是集合8中的元素，那么集合/不包含于8,或集合8不包含集合4

(4)对于集合4,B,C,若/U8,BQC,则ZUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)<AQB,且Z翔,则力⑪B.

3.空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.

(2)规定：空集是任何集合的子集.

4.集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即

(2)对于集合X,B,C,

①若羔8,且匹C,则/UC；

②若A£B,BGC,则4UC.

(3)若力=8,A+B,贝Ij/UB.

【典例精讲】

考点一集合关系的判断

【例1】(2020•浙江高一单兀测试)设集合Z={0,1,2},B={m\m=x+y,x^A,y^A},则集合4与8的关

系为()

A.AwBB.A=BC.BqAD.A=B

注意区分：元素与集合的关系为属于I或不属于I,集合与集合间的关系是包含1、不包含

u、真包含U

【玩转跟踪】

1.（2020・上海高一开学考试）（多选题）下列关系中，正确的有（）

A.0U{0}B.ge?C.Q^ZD.0e{O}

2.（2020・浙江高一课时练习）已知集合Z={x|x是平行四边形},8={x|x是矩形},C={x|x是正方

形},D={x|x是菱形},则（）

A.AqBB.C葭6C.DqCD.AqD

3.（2020•浙江高一课时练习）已知集合忖="[/=2^,yGR}和集合尸={（》，y）[/=2x,y&R},则两个集

合间的关系是（）

A.蚱尸B.P注M

C.M=PD.M,P互不包含

考点二（真）子集的个数

【例2】（1）（2020•全国高三月考（文））设集合Z={x|x2—x=。},则集合z的真子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

（2）（2020・浙江高一课时练习）已知。为给定的实数，那么，集合〃={彳,2-3》一。2+2=066&}的

子集的个数为（）

A.1B.2C.4D.不确定

1.求子集或真子集的个数：（1）确定集合中元素的个数（2）代入对应的公式

2.子集与真子集的区分：子集比真子集多了一个子集即集合本身（集合相等）

【玩转跟踪】

1.（2020•沙坪坝重庆一中高三月考（理））已知集合A={x|x2<2,xeZ）,则A的真子集共有（）个

A.3B.4C.6D.7

2.（2020•浙江高一•课时练习）满足1M{a,b,c,d}的集合M共有（）.

A.6个B.7个C.8个D.15个

3.（2020•贵州凤冈一中高一月考）已知集合河U{4,7,8},且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有

（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

考点三集合相等与空集

【例3】（2020•广东潮州）下列各组集合中，表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},TV={（2,3）}B.Af={2,3},TV={3,2}

C.M^{（x,y）\x+y=\},N={y|x+y=l}D.A/={1,2},N={（1,2）}

同一集合的判断：（1）元素的意义相同（2）元素属性的关系式相同

【玩转跟踪】

1.下列集合与集合/={2,3}相等的是（）

A.{(2,3)}B.{(x,y})|x=2,夕=3}

C.{x|-5x+6=0}D.[x=2,y=3}

2.给出以下5组集合：

(1)用={(-5,3)},N={-5,3}；

(2)M={l,-3},TV={3,-1}；

（3）M=0,N={0}；

（4）M={JI},N={3.1415}；

（5）W={x,_3x+2=o},N={»2—3y+2=0}.

其中是相等集合的有（）.

A.1组B.2组C.3组D.4组

考点四已知集合关系求参数

【例4】⑴（2020•河南林州一中）已知集合4={1+犬,“，8={1,2,3},且则实数X的值是（）

A.-1B.1C.3D.4

（2）（2020•浙江高一课时练习）若集合/="€&]|》一4区2},集合8={xe&|2aKxK。+3},若

B7A,则实数a的取值范围是（）.

A.{x|x>3}B.{x|x..1}C.{x11<x<3}D.{x|l<x<3}

1.真子集求参数，要注意检验是否出现集合相等的情况

2,子集求参数，对于不等式要注意端点是否取等号，一般情况下里实外空不取等号。

【玩转跟踪】

1.（2020•盘锦市第二高级中学）已知集合/={—1,3,2m-1},集合8={3,/^}.若〃仁月，则实数机等于

（）

A.±1B.-1C.1D.0

2.（2020•全国高一）设集合〃={x|0<x<2019},8={x|x<a},若/=8,则实数。的取值范围是（〉

A.{a|a<Q}B.{a|0<a<2019}

C.{a|a>2019}D.{a|0<a<2019}

3.（2020•全国高一）M={X|6X2-5X+1=0},P={x\ax=1）,若P£M,则a的取值集合为（）

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.[0,2,3)

1.3集合的基本运算

i.并集和交集的定义

定义并集交集

自然一般地，由所有属于集合/或集合8一般地，由属于集合N且属于集合B

语言的元素组成的集合，称为集合工与8的所有元素组成的集合，称为集合4

的并集，记作/U8与8的交集，记作zns

符号

ACyB={x\x^A,且x£3}

语言

图形

语言

A\JB

［知识点拨］（1）简单地说，集合4和集合8的全部（公共）元素组成的集合就是集合力与8的并（交）集；（2）

当集合48无公共元素时，不能说/与8没有交集，只能说它们的交集是空集；（3）在两个集合的并集中，

属于集合4且属于集合8的元素只显示一次；（4）交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，

不同点是：生成新集合的法则不同.

2.并集和交集的性质

并集交集

简单AUA=A；AC\A=A；

性质AU0=A4n0=0

AUB=BUA；AnB=BHA；

常用AQ(AUB)；(AHB)QA；

结论(AQB)QB；

AUB=B^AQBAC\B=B<^BQA

3.全集

文字一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这

语言个集合为全集

4.补集