2021年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

an5nn1nnn1nnnan5nn1nnn1nnn上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空（本大共题，16每题4分，每题5分，54分）1分）已知集合A=1，2，3，4}，B={2，，5，则A∩B=

．2分）不等式

的解集为．3分）已知

，则

=

．4分）

=

．5分）已知球的表面积为16则该球的体积为．6分）已知函数（）logx，（x）是函数y=f（x）的反数，y=f﹣1（x）的图象过点（24a的值为．7分）若数列{a}为等比数列，且a=3则

=

．8分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，c+bc﹣b+c）=ac，则B=

．9分）若

的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256则该展开式中常数项的值为．10分）已知函数（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x2，4]时，，则

的值为．11已知数列{a}的前n项和为S且a=12S=a•a（n∈N*b=+（﹣1）

，则数列{b}的n项和T=

．12分）若不等式x2

﹣2y2

≤cx（﹣x）对任意满足x＞＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择（本大共题，题分，共20分）13分）设角α的始边为轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限是“sinα＞0”（）A．充分非必要条件．必要非充分条件1

112121212121nn1112121212121nn1111111．充分必要条件

D既非充分又非必要条件14分）若直线l和l是异面直线，l在平面α内，l在平面内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l，l都不相交B．与l，l都相交．l至多与l，l中的一条相交l至少与l，l中的一条相交15分）对任意两个非零的平面向量

和，定义，其中θ为

和

的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①

；②和的夹角

和

的值都在集合

中

的值为（）A．

B．

．1D16分）已知函数，且f（x）（x（x）（f

n﹣1

（x，3．则满足方程f（x）=x的根的个数为（

）A．2n个

B．2

个

．2

个

D22﹣1个三.解答（本大共题，+++16+18=76分）17分）如图，设长方体ABCD﹣BCD中，AB=BC=3，AA=4．（1）求四棱锥A﹣ABCD的体积；（2）求异面直线AB与BC所成角的大小果用反三角函数值表示）18分）已知复数满足（1）求复数z；

，z2

的虚部为2．2

n1nnnnn1nn1nnnnn1n（2）设z、

2

、2

在复平面上的对应点分别为A、B、，求△ABC的面积．19分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20分）已知函数f（）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（）是偶函数；（2）设∈R，求关于的函数y=22x

+2

﹣2x

﹣2af（x）∈[0，+∞）时的值g（a）表达式；（3）若关于x的不等式（x）≤2数m的取值范围．

﹣x+m﹣在x∈（∞）时恒成立，求实21分）已知数列a}满足：a=1（1）求数列{a}的通项公式；

，nN*．（2）设数列{b}的前n项和为，且满足的值，使得数列{b}为等差数列；

，试确定b

1（3）将数列

中的部分项按原来顺序构成新数列c}，c=5求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c}．3

上市宁、定高数一试参考答案试题解析一.填空（本大共题，16每题4分，每题5分，54分）1分）已知集合A=1，2，3，4}，B={2，，5，则A∩B={2，．【解答】解：∵集合A=1，2，3，4}，B={，4，5}，∴A∩B={2，4．故答案为：{2，4}．2分）不等式

的解集为（﹣10]．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．3分）已知，则【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣

=

．4分）

=

．【解答】解：

==，4

aaan52837837naaan52837837n52837∴

=，故答案为：．5分）已知球的表面积为16则该球的体积为．【解答】解：一个球的表面积是16π所以球的半径为：2所以这个球的体积为：故答案为：．

=

．6分）已知函数（）logx，（x）是函数y=f（x）的反数，y=f﹣1（x）的图象过点（24a的值为

4．【解答】解：∵y=f

﹣1

（）的图象过点（24∴函数y=fx）的图象过点（4，2又f）=1+logx，∴2=1+log4，即a=4．故答案为：4．7分）若数列{a}为等比数列，且a=3则

=18

．【解答】解：根据题意，

=a•a﹣a•﹣）•a+a•a，又由数列{a}为等比数列，且a=3，则有a•a=a•a=9则

=9+9=18；故答案为：18．8分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，c+bc﹣b+c）5

+nn1nnn1n+nn1nnn1n=ac，则B=

．【解答】解：△ABC的内角A，，C的对边分别为，bc，∵（a+bc﹣b+c=ac，即a2又cosB==﹣，，∴B=故答案为：．

+c

﹣b2

=﹣ac，9分）若

的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为

1120

．【解答】解：由题意可知，2=256，解得n=8．∴

=

，

其

展

开

式

的

通

项=

，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为

．故答案为：1120．10分）已知函数（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x2，4]时，，则

的值为．【解答】解：∵函数f（）是定义在R上且周期为的偶函数，∴

，又当x∈[4]时，

，∴f）=f（）=故答案为：．

．11已知数列{a}的前n项和为S且a=12S=a•a（n∈N*b=6

nnnnn1n11nnnn1nnnnnn1n11nnnn1n1n11nn1n1n1nnn1nn1nnnnnnnn（﹣1）

，则数列{b}的n项和T=

﹣1+．【解答】解：∵2S=a•a（n∈N+当n2时，2S=a•a，﹣﹣∴2a=2S﹣2S=a（a﹣a﹣+﹣∵a=1，∴a≠0∴a﹣a=2+﹣∴（a﹣a）+（a﹣a）=2+﹣∴a﹣a=1，﹣∴数列{a}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a=1（n1=n，∴b=（﹣1）n

=（﹣1）•=﹣1n•（+数列{b}的前n项和T=（1（+（+…（﹣n+当n为偶数时，T=1+，

当n为奇数时，T=1+﹣（+

）=﹣，综上所述T=﹣1故答案为：﹣1+

，．12分）若不等式x2

﹣2y2

≤cx（﹣x）对任意满足x＞＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为

2

﹣4

．【解答】解：∵不等式x2成立，

﹣2y2

≤cx（﹣x）对任意满足＞y＞0的实数、y恒∴c≤令，

=

，7

1121212121121212121212∴f′t=

=f（=

，当t

时，f（t）0函（t）单调递增；1t

时f（＜0函数ft单调递减．∴当t=2+

时，ft）取得最小值，

=2

﹣4．∴实数c的最大值为

﹣4．故答案为：﹣4二.选择（本大共题，题分，共20分）13分）设角α的始边为轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限是“sinα＞0”（）A．充分非必要条件．必要非充分条件．充分必要条件

D既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限⇒α＞”，“sinα＞”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限是“sinα＞”充分非必要条件．故选：A．14分）若直线l和l是异面直线，l在平面α内，l在平面内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l，l都不相交B．与l，l都相交．l至多与l，l中的一条相交l至少与l，l中的一条相交【解答】解：A．l与l，l可以相交，如图：8

1212121121212121121212112∴该选项错误；B．可以和l，l中的一个平行，如上图，∴该选项错误；．l可以和l，l都相交，如下图：，∴该选项错误；D“l至少与l，l中的一条相交正确，假如l和l，l都不相交；∵l和l，l都共面；∴l和l，l都平行；∴l∥l，l和l共面，这样便不符合已知的l和l异面；∴该选项正确．故选D15分）对任意两个非零的平面向量

和，定义，其中θ为

和

的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①

；②和的夹角

和

的值都在集合

中

的值为（）A．

B．

．1

D【解答】解：∵

=

cosθ=，

=cosθ=，m∈N，9

1nn11121212121nn1112121212由与的夹角∈（0故mn=3，m，N∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．

知cos2

∈（，116分）已知函数，且f（x）（x（x）（f

n﹣1

（x，3．则满足方程f（x）=x的根的个数为（

）A．2n个

B．2

个

．2

个

D22﹣1个【解答】解：当x∈[，]时，f（）=fx）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1时，f（x）（）=22x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[]时，f（）=fx）=2x，（x），解得x=0当x∈（，]时，（x）（）=2x，f（x）4x=x，解得x=；当x∈（，]时，（x）2x，f（x）﹣+4x=x，解得x=；当x∈（，1时，f（x）2x，f（x）=4﹣，解得x=．∴f的2阶根的个数是22

．依此类推∴f的n阶根的个数是2．故选．三.解答（本大共题，+++16+18=76分）10

1111111111111正方体11111111111111正方体111111111111111117分）如图，设长方体ABCD﹣BCD中，AB=BC=3，AA=4．（1）求四棱锥A﹣ABCD的体积；（2）求异面直线AB与BC所成角的大小果用反三角函数值表示）【解答】解∵到平面ABCD的距离d=AA=4，长方体ABCD﹣ABCD中，AB=BC=3，∴S=AB×BC=3×，∴四棱锥A﹣ABCD的体积V=

=

．（2）∵A∥DC，∴∠DCB是异面直线B与BC所成角（或所成角的补角∵BD==3，BC=DC==5，∴cos∠CB==．∴∠DCB=arccos∴异面直线AB与BC所成角为

．

=

，18分）已知复数满足（1）求复数z；

，z2

的虚部为2．11

（2）设z、

2

、2

在复平面上的对应点分别为A、B、，求△ABC的面积．【解答】解设z=a+bi（，b由已知可得：，即，解得

或．∴z=1+或z=﹣i；（2）当z=1+i时，=2i，z2=1﹣，∴A（11（0，（1﹣1故△ABC的面积S=×21=1；当z=1﹣i时，z2

=2i，﹣

2

=﹣3i，∴A（﹣1﹣1（，2（﹣1，﹣3故△ABC的面积S=×21=1．∴△ABC的面积为119分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【解答】解∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．12

∵θ∈（0，

′＜0L为减函数；θ∈（

，

′＞0L为增函数；∴θ=

时，L取最小值4

，该最小值表示：超过

则无法通过．20分）已知函数f（）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（）是偶函数；（2）设∈R，求关于的函数y=22x

+2

﹣2x

﹣2af（x）∈[0，+∞）时的值g（a）表达式；（3）若关于x的不等式（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明∵函数fx）=2+2

x

的定义域关于原点对称，且f﹣）=2

﹣x+2x=2x+

﹣x

=fx故函数f）是偶函数；解令t=f（x）=2x+2﹣．则t222x

+

﹣2x

=t2

﹣2y=2

+2

﹣2x

﹣（x）

2﹣2at﹣当a≤2时，当t=2时，函数取最小值，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣2

﹣2无最大值；此时值域为[﹣a2

﹣2，+∞（3）若关于x的不等式mf（x）≤

﹣x+m﹣在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+x）≤2+﹣1在x∈（，+∞）时恒成立即m≤

=1﹣

=1﹣

在x∈0∞）时恒成立当x=1时，2x=，此时（2x）2﹣2x+1取最小值，故

取最大值，13

n1nnnnn1nnn1n11n1nnn111n1n1nnnnn1nnn1n11n1nnn111n1n故1﹣故．

取最小值﹣21分）已知数列a}满足：a=1（1）求数列{a}的通项公式；

，nN*．（2）设数列{b}的前n项和为，且满足的值，使得数列{b}为等差数列；

，试确定b

1（3）将数列

中的部分项按原来顺序构成新数列c}，c=5求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c}．【解答】解，则﹣

=4nN*∴数列{∴

}是以1为首项以4为公差的等差数列则，

=1+n1=4n﹣3∴数列{a}的通项公式（2）由（1）可得∵∴﹣=1

；，，∴（4n﹣S（4n+1）S+16n2+

﹣﹣∴数列{}是等差数列，首项为S，公差为．∴

=b+n﹣∴S=（b+n﹣﹣3当n2时=S﹣+n﹣+n﹣b=4b+8n﹣﹣11，若数列{b}为等差数列，则上式对于时也成立，14