2023年高考数学一轮复习单元评估检测7第7章立体几何理北师大版

单元评估检测(七)第7章立体几何(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢送的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否那么会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势〞穿过“墙〞上的三个空洞(如图7­1)，那么该几何体为()图7­1[答案]A2．(2023·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图7­2所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，那么此几何体的侧面积是()【导学号：79140426】A．2eq\r(3)cm2 B．4eq\r(3)cm2C．8cm2 D．14cm2[答案]C图7­2图7­33．假设三棱锥的三视图如图7­3所示，那么该三棱锥的体积为()A．80 B．40C.eq\f(80,3)D.eq\f(40,3)[答案]D4．(2023·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，以下命题正确的选项是()A．假设l∥α，α∥β，那么l∥βB．假设l∥α，α⊥β，那么l⊥βC．假设l⊥α，α⊥β，那么l∥βD．假设l⊥α，α∥β，那么l⊥β[答案]D5．正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．平面PDF⊥平面ABCC．DF⊥平面PAED．平面PAE⊥平面ABC[答案]B6．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，假设AB＝2，AA1＝1，那么点A到平面A1BCA.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),4)D.eq\r(3)[答案]B7．如图7­4，四面体ABCD中，AB＝DC＝1，BD＝eq\r(2)，AD＝BC＝eq\r(3)，二面角A­BD­C的平面角的大小为60°，E，F分别是BC，AD的中点，那么异面直线EF与AC所成的角的余弦值是()图7­4A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(2\r(2),3)[答案]B8．如图7­5，在正方体ABCD­A1B1C1D1图7­5A．直线BD1与直线B1C所成的角为eq\f(π,2)B．直线B1C与直线A1C1所成的角为eq\f(π,3)C．线段BD1在平面AB1CD．线段BD1恰被平面AB1C[答案]D9．如图7­6，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，那么点M的正方形ABCD内的轨迹的长度为()图7­6A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．πD.eq\f(2π,3)[答案]A10．棱长为4eq\r(3)的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，那么这些小球的最大半径为()【导学号：79140427】A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),6)[答案]B11．(2023·南阳模拟)如图7­7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的体积为()图7­7A．6＋eq\f(2π,3) B．8＋eq\f(π,3)C．4＋eq\f(2π,3) D．4＋eq\f(π,3)[答案]C12．以下命题中错误的选项是()A．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ[答案]B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．半径为eq\r(3,\f(36,π))的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，那么长方体的外表积为________．[答案]8814．(2023·运城模拟)如图7­8，三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V1，四棱锥A­BCC1B1的体积为V2，那么eq\f(V1,V2)＝________.图7­8[答案]eq\f(3,2)15．如图7­9，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.假设M为线段A1C的中点，那么在△ADE图7­9①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.[答案]①②④16．向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq\r(29)且λ＞0，那么λ＝________.【导学号：79140428】[答案]3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)(2023·南昌模拟)如图7­10所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面边长为2m，高为eq\r(7)m，那么制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图7­10[解]制造这个塔顶需要8eq\r(2)m2的铁板．18．(本小题总分值12分)(2023·长沙模拟)如图7­11，在三棱锥P­ABC中，∠PAB＝∠PAC＝∠ACB＝90°.图7­11(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)假设PA＝1，AB＝2，BC＝eq\r(2)，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？假设存在，求出CD的长；假设不存在，说明理由．[解](1)略(2)存在，CD＝eq\r(6).19．(本小题总分值12分)如图7­12，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA＝CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且A1D图7­12(1)求证：CD∥平面EFG；(2)求证：A1D⊥平面EFG.[解]略20．(本小题总分值12分)(2023·江西五市三联)如图7­13，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AP＝2BC＝2，M是棱PD上的一点，eq\f(PM,PD)＝λ(0＜λ＜1)．图7­13(1)假设λ＝eq\f(1,3)，求证：PB∥平面MAC；(2)假设平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，二面角D­AC­M的余弦值为eq\f(4\r(21),21)，求λ的值．[解](1)略(2)eq\f(2,3).21．(本小题总分值12分)(2023·新乡模拟)如图7­14(1)，在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BD＝PC，假设沿AB将三角形PAB折起，使∠PAD＝θ，构成四棱锥P­ABCD，且eq\f(PC,PF)＝eq\f(CD,CE)＝2，如图7­14(2)．图7­14(1)求证：平面BEF⊥平面PAB；(2)当异面直线BF与PA所成的角为60°时，求折起的角度θ.【导学号：79140429】[解](1)因为2BD＝PC，所以∠PDC＝90°，因为AB∥CD，且eq\f(PC,PF)＝eq\f(CD,CE)＝2，所以E为CD的中点，F为PC的中点，CD＝2AB，所以AB∥DE且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD，BE＝AD，因为BA⊥PA，BA⊥AD，且PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PAD，因为AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，又因为PD平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥PD且CD⊥AD，又因为在平面PCD中，EF∥PD(三角形的中位线)，于是CD⊥FE.因为在平面ABCD中，BE∥AD，于是CD⊥BE，因为FE∩BE＝E，FE平面BEF，BE平面BEF，所以CD⊥平面BEF，又因为CD∥AB，AB在平面PAB内，所以平面BEF⊥平面PAB.(2)因为∠PAD＝θ，取PD的中点G，连接FG，AG，所以FG∥CD，FG＝eq\f(1,2)CD，又AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，所以FG∥AB，FG＝AB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF∥AG，所以BF与PA所成的角即为AG与PA所成的角，即∠PAG＝60°，因为PA＝AD，G为PD中点，所以AG⊥PD，∠APG＝30°，所以∠PDA＝30°，所以∠PAD＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(本小题总分值12分)(2023·周口模拟)如图7­15，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝2，点M在线段EC上且不与E，C重合．图7­15(1)当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；(2)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为eq\f(\r(6),6)时，求三棱锥M­BDE的体积．[解](1)取ED的中点N，连接MN，AN，又因为点M是EC的中点，所以MN∥DC，MN＝eq\f(1,2)DC，而AB∥DC，AB＝eq\f(1,2)DC，所以MNeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))AB，所以四边形ABMN是平行四边形，所以BM∥AN，而BM⃘平面ADEF，AN平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.(2)取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP，BO，因为AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD＝2，所以四边形ABOD是平行四边形，因为AD⊥DC，所以四边形ABOD是矩形，所以BO⊥CD，因为正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，所以ED⊥平面ADCB，所以平面CDE⊥平面ADCB，所以BO⊥平面CDE，所以BP⊥DM，所以∠OPB是平面BDM与平面DCE(即平面ABF)所成锐二面角，因为cos∠OPB＝eq\f(\r(6),6)，所以sin∠OPB＝eq\f(\r(30),6)，所以eq\f(OB,BP)＝eq\f(\r(30),6)，解得BP＝eq\f(2\r(30),5).所以OP＝BPcos∠OPB＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠MDC＝eq\f(OP,OD)＝