2023年高考数学一轮复习课时分层训练41空间图形的基本关系与公理理北师大版

课时分层训练(四十一)空间图形的根本关系与公理A组根底达标一、选择题1．以下命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④假设M∈α，M∈β，α∩β＝l，那么M∈l.A．1 B．2C．3 D．4B[根据公理2可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据公理3可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，那么甲是乙成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[假设A，B，C，D四点不共面，那么直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；假设直线AC和BD不相交，假设直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]3．假设直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是()【导学号：79140226】A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．]4．(2023·兰州实战模拟)长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝eq\r(3)，AD＝1，那么异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(3),6)A[连接AC，AB1(图略)，由长方体性质可知AB1∥DC1，所以∠AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角．由题知AC＝eq\r(1＋(\r(3))2)＝2，AB1＝eq\r((\r(3))2＋(\r(3))2)＝eq\r(6)，CB1＝eq\r(1＋(\r(3))2)＝2，所以由余弦定理得cos∠AB1C＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋CB\o\al(2,1)－AC2,2AB1·CB1)＝eq\f(\r(6),4)，应选A.]5．(2023·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，那么m，A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m，n所成的角与直线B1D1，CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为eq\f(\r(3),2).]二、填空题6．(2023·湖北调考)正六棱锥S­ABCDEF的底面边长和高均为1，那么异面直线SC与DE所成角的大小为________．eq\f(π,4)[设正六边形ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，BO，那么由正六边形的性质知OC∥DE，SO⊥平面ABCDEF，所以∠SCO为异面直线SC与DE所成角．又易知△BOC为等边三角形，所以SO＝BC＝CO＝1，所以∠SCO＝eq\f(π,4).]7．假设平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．1或4[如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，那么任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面．]8．(2023·郑州模拟)在图7­2­7中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).【导学号：79140227】(1)(2)(3)(4)图7­2­7(2)(4)[图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图(2)(4)中，GH与MN异面．]三、解答题9.如图7­2­8所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C图7­2­8(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C又因为A1Aeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)直线D1B和CC1是异面直线．理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1那么存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线．]10．如图7­2­9所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：图7­2­9(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，那么ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).B组能力提升11．(2023·陕西质检(一))P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点．假设MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，那么异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°A[取AC中点为O，连接OM，ON，那么易证OM綊eq\f(1,2)BC，ON綊eq\f(1,2)PA，所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，得OM＝eq\f(1,2)BC＝2，ON＝eq\f(1,2)AP＝2eq\r(3)，那么cos∠ONM＝eq\f(ON2＋MN2－OM2,2×ON×MN)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN所成角的大小是30°，应选A.]12.如图7­2­10，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，那么AD与GF所成的角的余弦值为________.【导学号：79140228】图7­2­10eq\f(\r(3),6)[取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HFeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AD，所以∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠GFH＝eq\f((\r(2))2＋(\r(6))2－(\r(6))2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).]13．如图7­2­11，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．图7­2­11(1)求四棱锥O­ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．[解](1)由可求得正方形ABCD的面积S＝4，∴四棱锥O­ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.又M为OA中点，∴ME∥OC，那么∠EMD(或其