2022年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)

2022年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图:则 (

) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【解析】对于C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散,讲座后问卷答题的正确率相对集中,则讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,故C错误;对于D,讲座后问卷答题的正确率的极差为:100%-80%=20%,讲座前正确率的极差为:95%-60%=35%,则讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差,故D错误.故选B.3.设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)= (

) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}【答案】D

【解析】∵B={x|x2-4x+3=0}={1,3},A={-1,2},∴A∪B={-1,1,2,3}.又U={-2,-1,0,1,2,3},∴∁U(A∪B)={-2,0}.故选D.4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为 (

) A.8 B.12

C.16

D.20

【答案】A【解析】由f(x)=(3x-3-x)cosx,可知f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x),故函数是奇函数,排除BD;当x=1时,f(1)=(3-3-1)cos1>0,排除C.故选A.

7.在长方体ABCD

-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则 (

)

A.AB=2AD

B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1

D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°

(图1)

(图1)(图2)

15.从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为

.

(1)证明:由已知有2Sn+n2=2nan+n

①,把n换成n+1,有2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)an+1+n+1

②,由②-①可得2an+1=2(n+1)an+1-2nan-2n,整理得an+1=an+1,由等差数列定义可知{an}为等差数列.

19.甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;解:(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场.①甲学校3场全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16;②甲学校获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6.

第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.219.甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解:(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为:P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,则X的分布列为:X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.X0102030P0.160.440.340.0620.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(1)求C的方程;

20.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β