第15讲 牛顿运动定律中临界问题

第15讲牛顿运动定律中的临界问题11、界问题物体由某种物理状态转变为另种物理状态时，所要经历的种特殊的转折状态，称为临界状态.这种从种状态变成另种状态的分界点就是临界点，此时的条件就是临界条件。2、界问题标志（1）题目中出“恰好”“刚好”等关键词句，明显表明此过程即为临界点。（2题目中出现“取范围”“多长时间”多大距离等词句表明题述过程存在着起止点”而这些“起止点”一般对应着临界状态。（3）题目中出“最大最小”“多”“至少等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。3、见的临条件临界状态

临界条件两物体刚好分离或接触

F

弹

0刚好相对滑动绳子断裂、刚好被拉直或松弛速度达到最大值

静摩擦力达到最大值断裂绳子上张力达到绳子能够承受的最大拉力；刚好被拉直、松弛：绳子张力为。物体所受合外力为04、理临界题的方法（1）极限法如果在题目中出现“最大”、最小”、刚好等关键词时，一般隐含着临界问题。处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而得到临界状态及临界条件，以达到快速求解问题的目的。（2）假设法有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索但在变化过程中可能出现临界状态也可能不会出现临界状态。解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，即可得出结论。（3）数学方法

1N1NNN将物理过程转化为数学表达式后根据数学中求极值的方法求出临界条件涉及三角函数、二次函数、不等式等数学知识。5、界问题决步骤：（1）依据题中提示语言判定临界问题及分类；（2）确定临界状态下临界条件；（3）按照牛二定律做题步骤解决问题：①明确研究对象②受力分析③正交分解④分析各坐标系运动状态列方程若为平衡状态列平衡方程若为非平衡状态列牛顿第二定律。一、利极值法求解界问题例如图所示，质量为m=1kg物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为M=2kg，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F取值范围。【答案】推力F取值范围为14.25N≤F≤33.53N.【解析】（）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F，此时物块受力如下图所示，取加速度的方向为x轴正方向：对物块分析，在水平方向有FsinθμFcosθ=ma，竖直方向有Fcosθ+μFsinθ﹣，

1112NN2NN22200f000f1112NN2NN22200f000fff0对整体有F=（M+m），代入数值得，F=14.35N.（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F，对物块受力分析，在水平方向有Fsinθ+μFcosθ=ma

，竖直方向有Fcosθ﹣sinθ﹣，对整体有F=（M+m），代入数值得，综上所述可知推力F取值范围为：≤F≤33.53N.答：推力F取值范围为14.25N≤F≤33.53N.二、利假设法求解界问题例一物块在粗糙斜面上，在平行斜面向上的外力F用下斜面和物块始终处于静止状态，当按图甲所示规律变化时.物体与斜面间的摩擦力大小变化规律可能是图乙中的（）B.D.【答案】D【解析】设t=0刻F=F，则与t

的关系式为F=F-kt，k是图线斜率的大小.A、D若t=0刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向上，由平衡条件得：摩擦力F=mgsinα-kt（mgsinα-Fmgsinα=F有F=ktF=0=mgsinα，保持不变.

则A错误，D正确；BC若时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下由平衡条件得擦力=F-mgsinα，当F减小时，摩擦力先减小，减小到零后，摩擦力反向增大，故错误；故选三、利数学方法求临界问例如图所示，一质量0.4kg的小物块，以v＝2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的

0fNfNmin0fNfNmin拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，t＝2s的时间物块由A运动到，、B之间的距离L＝10m。已知斜面倾θ＝，物块与斜面之间的动摩擦因μ＝

重力加速度g取

2

。（1）求物块加速度的大小及到达时速度的大小。（2）拉力与斜面的夹角多大时，拉力最小？拉力的最小值是多少？【解析】（1物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：①v＝v+at联立解得；

②＝

2v＝（2）对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和滑动摩擦力，如图根据牛顿第二定律，有：平行斜面方向：Fcos﹣﹣＝ma垂直斜面方向：Fsinα+F﹣mgcos30°＝0其中：F＝μF联立解得：F＝＝故当α＝时，拉力最小值，为F＝答：

N

TTTTTTTTTT（1）物块加速度的大小为2，到达的速度为（2）拉与斜面的夹角30°时，拉力F最小，最小值是

N.2

典例赏析（北附中新疆分校高三月）如图所示，质量为M的小车放在光滑水平面上，小车上用细线悬吊一质量为m的球M＞m用一力水平向右拉小球，使小球和车一起以加速度a向运动时，细线与竖直方向成α角细线的拉力为若用一力F水平向左拉小车，使小球和车一起以加度a向运动时，细线与竖直方向也成α角，细线的拉力为，它们的大小系是（）a′=a，a＞aC.＜，a＜，

=F=F＞＜【答案】B【解析】对于甲则，对于乙，说明。过甲的方程可求得，乙求出加速度为，以，案为B2.云南高三期末）如图所示，质量为的块在质量为M的木板上，受到水平向右的拉力的用，木块和长木板一起向右滑行，木块相对于长木板静止。已知木块与长木板间的动摩擦因数为，木1板与地面间的动摩擦因数为.下说法正确的是（）2

xNyxNy木与长木板间的摩擦力的大小是

1木与长木板间的摩擦力可能大于C.长木板受到地面摩擦力的大小定等于F长木受到地面的摩擦力的大小是

【答案】D【解析】A、木块与长木板间相对静止，故受到静摩擦力，故摩擦的大小是应小于μ，A错；1B于m向做加速运动据顿第二定律可知力水平向右故摩擦力一定小于拉力F故错；C、整体分析，由牛顿第二定律可知，整体合力向右，拉力一定大于地面对长木板的摩擦力，故误；D、木板相对地面运动据滑动摩擦力公式可知木板受到地面的摩擦力的大小是

μ

；故D正确.二解题（2019·江南康中学高一月考图所为m=10kg的物体A在倾角为的面上m/s2，，）(1)若物体恰好能匀速下滑，求物体与斜面的动摩擦因数(2)若物体与斜面的动摩擦因数=0.5A与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现用细线系住物体A，并平行于斜面向上绕过光滑的定滑轮，另一端系住物体B，物体A静在斜面上，求物体B质的范围.【答案】(1)

2kg≤【解析】（1如图，对物体受力分析，对进正交分解，沿斜面方向为轴，垂直斜面方向为轴在x轴向上有f=GGsinθ在y轴向上有F=G=cos，所以

BTBxAyANBBBTBxAyANBBTBxATyANB

ftanFGN

33（2）该题需分情况讨论。第一种情况：当物体刚刚好要沿着斜面下滑时，此时有小值，受力分析：F=gG=Gsinθ=f+FG=cosθ=μFN代入数据，解得

Tm=2kg第二种情况：当物体刚刚好被B带着要沿着斜面上滑时，此时m有最大值，受力分析：F=gG=sinFfG=cosθ=μFN代入数据，解得m4.（2020·景东彝族自治县第一中学高一期中）图所示，传送带与水平面的夹角＝37°，以＝10m/s的速率逆时针转动，在传送带的A端轻轻地放一小物.

若已知物体与传送带之间的动摩擦因数＝，传送带A到端距离L，小物体从端动到端需的时间为多少(g取10m/s，sin＝0.6，cos37°＝【答案】【解析】设小物体的质量为m小物体被轻轻地放在传送带A端，小物体沿传送带方向度为零，但传送带的运动速率为v＝10m/s二者速率不相同，它们之间必然存在相对运.送带对小物体有沿传送带斜向下的滑动摩擦力作用，小物体的受力情况如图所示

1f11Nf1N1t1ff2f2222121f11Nf1N1t1ff2f222212设小物体的加速度为a，由牛顿第二定律有mgsinθ＋＝①F＝θF＝③联立①③式并代入数据解得＝10m/s小物体速度大小达到传送带速率＝10m/s时所用的时间在1s内物沿传送带的位移

1

v＝＝x＝

t211

＝5m小物体的速度大小与传送带速率相同的时刻，若要跟随传送带一起运动，即相对传送带静止，必须受到沿传送带向上的摩擦力mgθ＝的用此时刻它受到的摩擦力是F＝μmgcos＝4于，因此，小物体与传送带仍有相对滑动，设小物体的加速度为a，时小物体的受力情况图所由牛顿第二定律有mgθ－cos＝

2解得设小物体速度大小达到10m/s后又运动时间t

＝2才到达B端则有x＝L－x＝vt＋

2

t

代入数据解得

2212000AB2212000ABt＝t11s(舍小物体从A端动到端所需的时间t＝＋t

＝2s.5.全国高三专题练习）如图所示，光滑水平面上放质量为长木板，量为的小木块A以度v滑上静止的长木板B上表面A之的动摩擦因数为加度2若木块不从长木板B上出，则长木板B至多长。【答案】1.5m【解析】若小木块A不长木板B上出，长板最短为l

时，小木块恰好滑到长木板B右时速度相等。设小木块质量为，长木板质量为M两者速度相等时为。以长木板B和木块A系统，水平方向不受外力，则系统动量守恒：+M，系统损失机械能等于转化成的内能：12(M)2

mgl

min联立解得：l

1.5mmin（2019·全高一期末）如图所示，小车上放着由轻弹簧连接的质量为m＝g、m＝0.5kA、B两体，两物体与小车间的最大静摩擦力分别为4N和1N，弹簧的劲度系数k＝0.2N/cm（1为保证两物体随车一起向右加速运动，弹簧的最大伸长是多少厘米？（2为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动，弹簧的伸长是多少厘米？【答案】（1）10m）【解析(1)为保证两物体随车一起向右加速运动，且弹簧的伸长量最大A、B物体所受静摩擦力应达到

AA0000AA0000最大，方向分别向右、向

对、B作整体应用牛顿第二定律

a

FAB

/

对用牛顿第二定律F－＝ma解得＝m.(2)为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动、B两体所受静摩擦力应达到最大，方向均向右对、为整体应用牛顿第二定律＝

FfAfBmAB

＝

m/s对A用牛顿第二定律F－＝解≈3.33m（2019·全高一课时练习）一个质量0.2kg小球用细线吊在倾角θ=53°的面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s

的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹（计算时g

）【答案】，【解析】当加速度较时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持作用，绳平行于斜面，当加速度a够大时，小球飞斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知目要求a=10m/s2

时绳的拉力及斜面的支持力须求出小球离开斜面的临界加速度a此时，小球所受斜面支持力恰好为零）由mgcotθ=ma所以=gcotθ=7.52因为＞所以小球离开斜面N=0，小球受力情况图则Tcos，Tsin所以T

(ma)2)2.83N

122min2122min22N（2019·全高一课时练习弹秤的秤盘A的质量m上放一物体B的量为＝，弹簧本身质量不计，其劲度系数k＝，系统静止时如图所.现给B一竖直向上的力F使从静止开始向上做匀加速运动已知在内F是力后F是恒力求F的最大值和最小值.(g10m/s)【答案】168N；【解析】设刚开始时弹簧压缩量为x，：

x

m)0.15k

…①设两者刚好分离时，弹簧压缩量为x，对Qkxg=ma②在前0.2s时间内，由运动学公式得：

x

…③由①②③解得：a=6m/s2由牛顿第二定律，开始时