河南省商丘市关庄中学2023年高三数学理月考试题含解析

河南省商丘市关庄中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（

）

A．8

B．9

C．10

D．11

解析：由已知两直线互相垂直得，∴线段AB中点为P，且AB为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得，选C．参考答案：C略2.阅读右侧程序框图，输出的结果的值为（

）A．5

B．6

C．7

D．9参考答案：C3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：D4.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A.1

B.

C.

D.2

参考答案：C略5.给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.（09年聊城一模文）已知（其中i为虚数单位），则以下关系中正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B7.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若，，则抛物线的方程为A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.抛物线y＝4的焦点到直线y＝x的距离为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略10.若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=(

)

A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在处有极大值，则常数的值为_________；参考答案：

解析：，时取极小值12.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为__________．参考答案：4函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，故得到函数的周期为：，故得到.故答案为：4.

13.

；若

.参考答案：

0

；若

4

.；14.在平面直角坐标系xOy中，直线l：3x﹣y﹣6=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出已知圆的圆心为C（1，2），半径r=．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线l：3x﹣y﹣6=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5的圆心为C（1，2），半径r=，∵点C到直线直线3x﹣y﹣6=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线l：3x﹣y﹣6=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2=．故答案为：．【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．15.若全集，则

参考答案：16.四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的外接球的表面积为

．参考答案：17.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．参考答案：【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆方程；（2）设直线交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线上，求证：线段AB的中垂线恒过定点.参考答案：（1）（2）见解析分析】（1）根据题意易得椭圆过点，结合，求出即可得结果；（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理根据中点坐标公式化简可得，求出，列出的中垂线方程即可得结果.【详解】（1）由直线被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，又，得，所以，，即椭圆方程为.（2）由得，由，得.由，设的中点为，得，即，∴.∴的中垂线方程为.即，故的中垂线恒过点.19.设函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.参考答案：

,且无限趋近于4，综上，的取值范围是20.已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，利用当时，函数f（x）有极大值，建立方程，即可求得实数b、c的值；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a﹣7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b∵当时，函数f（x）有极大值，∴f′（）=﹣++b=0，f（）=﹣++c=，∴b=0，c=0；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a﹣7成立由（Ⅰ）知，①﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣3x（x﹣），函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减∵f（﹣1）=2，f（）=，∴﹣1≤x＜1时，f（x）max=2，；②2≥x≥1时，f′（x）=，1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）max=f（2）=aln2，∴或，∴＜a≤或0＜a≤；2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）max=f（1）=aln1=0，∴2≥3a﹣7，∴a≤3，∴a≤0综上，实数a的取值范围是a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．21.(本小题满分12分)已知函数和函数．(1)若m=2，求函数的单调区间；(2)若方程在恒有唯一解，求实数m的取值范围；(3)若对任意，均存在，使得成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：(1)m=2时，，函数的单调增区间为，单调减区间为（1，2）．························································································································2分(2)由恒有唯一解，得在恒有唯一解；当x–m=m时，得x=2m，则2m=0或2m<–4，即m<–2或m=0．综上，m的取值范围是m<–2或m=0．·························································6分(3)的值域应是的值域的子集．①当时，在上单调递减，故，在[4，m]上单调递减，上单调递增，故，所以，解得．②当m>8时，在上单调递减，故，在[4，]单调递增，[，m]上单调递减，上单调递增，，故，所以，解得．③0<m<4时，在上单调递减，[m，4]上单调递增，故．在上单调递增，故，所以．④时，在上单调递减，[m，4]上单调递增，故．在上单调递增，故(舍去)．综上，m的取值范围是．12分略22.如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD=FB．（Ⅰ）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF与平面ABCD所成角．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接OG，FG．∵对角线AC与BD的交点为O，∴OG∥DC，OG=，∵EF∥DC，DC=2EF，∴OG∥EF，OG=EF，∴OGFE为平行四边形，∴OE∥FG，∵FG?平面ADF，OE?平面ADF，∴OE∥平面ADF；（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OC⊥BD，∵FD=FB，O是BD的中点，∴OF⊥B