河南省商丘市永城侯岭乡联合中学高三数学文期末试题含解析

河南省商丘市永城侯岭乡联合中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线被抛物线截得的线段长为25，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣8 B．x=﹣4 C．x=﹣2 D．x=﹣1参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线方程，联立直线方程和抛物线方程转化为一元二次方程，根据抛物线的弦长公式进行求解即可．【解答】解：∵过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），∴斜率为的直线方程为y=（x﹣），代入y2=2px，得[（x﹣）]2=2px，整理得8x2﹣17px+2p2=0，∴A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，∵|AB|=x1+x2+p=+p=25，∴p=25，则p=8，则抛物线的直线方程为x=﹣=﹣4，故选：B2.在△ABC中，则∠BAC=

A．30°

B．120°

C．150°

D．30°或150

参考答案：C3.函数的图像可能是参考答案：B4.已知集合，，且都是全集的子集，则右图中阴影部分表示的集合是

A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.对两个变量x、y进行线性回归分析，计算得到相关系数r=﹣0.9962，则下列说法中正确的是（）A．x与y正相关B．x与y具有较强的线性相关关系C．x与y几乎不具有线性相关关系D．x与y的线性相关关系还需进一步确定参考答案：B【考点】BP：回归分析．【分析】根据线性回归分析中，相关系数r=﹣0.9962，|r|接近于1，说明x与y具有较强的线性相关关系，且是负相关．【解答】解：在线性回归分析中，两个变量的相关性越强，它的相关系数|r|就越接近于1，由相关系数r=﹣0.9962知，x与y具有较强的线性相关关系，且是负相关．故选：B．6.已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A?B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（2，+∞） D．[2，+∞）参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，B；再由A?B可求得实数k的取值范围．【解答】解：B={x|＜1}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），A={x|x≥k}=[k，+∞），又∵A?B，∴k＞2；故选C．7.已知函数，则

(

)A．32

B．16

C.

D．参考答案：C8.复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.设（是虚数单位），则

(

)

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：

10.将函数的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为（

）A.

B.

C.

D.-参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣k（k∈N*），则a2k的值为．参考答案：6【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知条件利用，先求出a1，a2，a3，再由等比数列的性质求出k，由此能求出a2k．解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣k（k∈N*），∴a1=S1=3﹣k，a2=S2﹣S1=（9﹣k）﹣（3﹣k）=6，a3=S3﹣S2=（27﹣k）﹣（9﹣k）=18，∴（3﹣k）×18=62，解得k=1，∴a2k=a2=6．故答案为：6．【点评】：本题考查等比数列中第2k项的求法，是基础题，解题时要注意公式的灵活运用．12.已知直线与平行，则的值是

。参考答案：13.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

.参考答案：4略14.给出定义:若(其中为整数),则叫做与实数“亲密的整数”,记作,在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数是周期函数,最小正周期为1;④当时，函数有两个零点.其中正确命题的序号是____________.(A)

②③④

(B)①③

(C)

①②

(D)

②④

参考答案：A略15.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_____．参考答案：【分析】先利用导数刻画时的图像，再画出当时的图像，考虑函数的图像（动直线）与图像有两个交点，从而得到实数的取值范围.【详解】当时，，当时，，当时，，又当时，，所以根据周期为1可得时的图像，故的图像如图所示：函数的图像恒过，因为与的图像有两个不同的交点，故，又，故，，所以，填.【点睛】方程的解的个数可以转化为两个函数图像的交点个数去讨论，两个函数最好一个不含参数，另一个为含参数的常见函数（最好是一次函数），刻画不含参数的函数图像需要用导数等工具刻画其单调性、极值等，还需要利用函数的奇偶性、周期性等把图像归结为局部图像的平移或翻折等.16.已知半径为l的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为________.参考答案：略17.设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为___

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．【解答】（1）解：设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，则椭圆E的方程可化为，从而．由于a＞b＞1，则当x=﹣1时，，故椭圆E的标准方程为．（2）证明：由于直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．易知直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1.，由得（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣4=0，由韦达定理有：，，则；同理可得，从而有|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．19.已知函数f（x）=e﹣x+ax（a∈R）（1）讨论f（x）的最值；（2）若a=0，求证：f（x）＞﹣x2+．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x）=﹣e﹣x+a，由a≤0，a＞0两种情况分类讨论，利用导数性质能讨论f（x）的最大值和最小值．（2）当a=0时，f（x）=ex，设g（x）=，则g′（x）=﹣e﹣x+x，设h（x）=﹣e﹣x+x，则h′（x）=e﹣x+1＞0，由此利用导数性质能证明f（x）＞﹣x2+．【解答】解：（1）∵函数f（x）=e﹣x+ax（a∈R），∴f′（x）=﹣e﹣x+a，①当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，故f（x）不存在最值．②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓极小值↑f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调减，在（﹣lna，+∞）上单调递增，故f（x）的最小值为f（﹣lna）=a﹣alna．不存在最大值．综上，当a≤0时，f（x）不存在最大值和最小值；当a＞0时，最小值为a﹣alna．不存在最大值．证明：（2）当a=0时，f（x）=ex，设g（x）=，则g′（x）=﹣e﹣x+x，设h（x）=﹣e﹣x+x，则h′（x）=e﹣x+1＞0，∴g′（x）在R上单调增，∵，，∴存在唯一的，使得g′（x0）=0，当x变化时，g（x）与g′（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x0）x0（x0，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓极小值↑g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（x0）=，由g′（x0）=0，得+x0=0，∴g（x0）=，∵x0∈（），∴g（x0）=＞=0，∴g（x）≥g（x0）＞0，∴，∴f（x）＞﹣x2+．【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．20.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=3．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AD中点O，连结OP，OB，可得OP=，OP⊥AD，OB⊥AD，且OB=．可得OB2+OP2=9=PB2，从而OP⊥面ABCD，即面PAD⊥面ABCD．（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解．【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OB，∵△PAD是边长为2的正三角形，∴OP=，OP⊥AD，又AB=AD=，∴OB⊥AD，且OB=．于是OB2+OP2=9=PB2，从而OP⊥OB．所以OP⊥面ABCD，而OP?面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），Q（﹣1，），，．设面BDQ的法向量为，由，取．面ABD的法向量是，∴cos＜＞=﹣．∵二面角A﹣BD﹣Q是钝角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为﹣．21.（本题满分13分）

设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．

（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．参考答案：解：（Ⅰ）设点，，则由题意知.由，，且，得.所以于是又，所以.所以，点M的轨迹C的方程为.………………（3分）（Ⅱ）设，

.联立得.

所以，，即.

①且

………………（5分）（i）依题意，，即..，即.，，解得.将代入①，得.所以，的取值范围是.

…………（8分）（ii）曲线与轴正半轴的交点为.依题意，，即.于是.，即，.化简，得.解得，或，且均满足.当时，直线的方程为，直线过定点(舍去)；当时，直线的方程为，直线过定点.

所以，直线过定点.

…………………（13分）

略22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点为A，与y轴