2022高考数学真题分类汇编05 函数与导数（学生版）

2022高考数学真题分类汇编

五、函数与导数

一、选择题

1.（2022•全国甲（文T7）（理T5））函数y=（3"-3.,）cosx在区间一■!，■!的图象大致为（）

2.（2022•全国甲（文T8）（理T6））.当％=1时,）

X

1

B.----D.1

2

3.（2022♦全国乙（文T8）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

“-x3+3xx3-x2xcosx2sinx

A.y=------------B.C'x2+lD.y

x2+lx2+1

4.（2022•全国乙（理）T12）已知函数/（x）,g（x）的定义域均为R,且

/(%)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g⑵=4,则

22

£f(k)=()

i=i

A.-21B,-22C.-23D.-24

5.(2022•新高考I卷T10)已知函数=-x+1,则()

A.〃x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

6.（2022•新高考I卷T12）已知函数/"）及其导函数/'（X）的定义域均为R,记g（x）=/'（X）,若

—g(2+x)均为偶函数，则(

A./(0)=0B.g,g]=O

C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

7.（2022•新高考II卷T8）若函数/（x）的定义域为R,且/（》+＞）+/（X-＞）==1,则

22

£/伏）=（）

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

f（x）=---

8.（2022•北京卷T4）己知函数1+2*,则对任意实数x,有（）

A.,/（-x）+/（%）=0B./（-x）-/（x）=0

C./（-x）+/U）=lD./（-x）-/（x）=1

9.（2022•北京卷T7）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,

为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和也尸的关系，其中T表示

温度,单位是K：P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

Igp

4-

A.当T=220,。=1026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,尸=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态

10.（2022•浙江卷T7）己知2"=5,log83=b,则4°-3〃=（）

255

A.25B.5C.—D.-

93

二、填空题

1.（2022•全国乙（文T16）若/（x）=ln。++8是奇函数，则。=____,b=

1-X

2.（2022•全国乙（理）T16）已知x=X］和x=%2分别是函数/（x）=2优一e%2（a>0且awl）的极小

值点和极大值点.若王<、2,则。的取值范围是.

3.（2022•新高考I卷T15）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

4.（2022,新高考n卷T14）写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：,.

/（尤）=一+.1-X

5.（2022•北京卷T11）函数》的定义域是.

-ax+1,x<a,

_2『〉

6.（2022•北京卷T14）设函数一''X—0若/a）存在最小值，则。的一个取值为；

a的最大值为一.

—x2+2,x41,

(门、

7.（2022•浙江卷T14）已知函数/(x)=<1,,则//K=若当xe[a,切时,

XH----1,X>1,

X

\<f(x)<3,则方―。的最大值是—

三、解答题

1.(2022•全国甲(文)T20)已知函数一%送(幻=/+。，曲线y=f(x)在点(西J(xJ)处的切

线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若石=-1,求。；

(2)求”的取值范围.

x

2.(2022•全国甲(理)T21)已知函数/(x)=e---lnx+x-a.

(1)若"x)20,求〃的取值范围：

(2)证明：若/(x)有两个零点4天，则环X1%<L

3.(2022・全国乙(文)T20)已知函数/(x)=or-L-(a+i)]nx.

x

(1)当a=0时，求/(刈的最大值；

(2)若/(x)恰有一个零点，求a的取值范围.

4.(2022•全国乙(理)T21)已知函数f(x)=ln(l+x)+axer

(1)当a=1时，求曲线y=/(x)在点(0,./■(()))处的切线方程；

(2)若/(X)在区间(一1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求a的取值范围.

5.(2022・新高考I卷T22)已知函数/(X)=e*-融和g(x)=5一InX有相同最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线>=乩其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三

个交点的横坐标成等差数列.

6.(2022・新高考n卷T22)已知函数/(X)=X*-e*.

(1)当a=l时，讨论了(X)的单调性;

(2)当x>0时，/(%)<-1,求。的取值范围;

111,/,、

(3)设〃eN*，证明:/,+/,+…+/,>ln(〃+1).

712+1V22+2+n

7.(2022•北京卷T20)已知函数,ln(l+X)

(1)求曲线y=f(x)在点(0,7(0))处切线方程；

(2)设g(x)=7'(x),讨论函数g(x)在[0,+oo)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,fe(0,+ao),有/(s+/)>/(5)+/(f).

8.(2022,浙江卷T22)设函数/(x)=£+lnx(x>0).

2x

(1)求/*)的单调区间；

(2)已知a,beR,曲线y=.f(x)上不同的三点(%,/(玉)),(尤2，/(%2))，(刍，/(%3))处的切线都经过点

(a,b).证明：

(i)若a>e,则0<b-；

2e-a112e-a

1

(ii)若0<a<e,X]<w<%3，则一+~7~-T<--------<------T~2~•

e6e%x3a6e

(注：e=2.71828…是自然对数底数)

参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令/(x)=(3"—3T)cosx,尤e,

则/(-X)=(3-"-3")cos(-x)=-(3'-3-*)cosx=一/(x)，

所以为奇函数，排除BD；

又当xe0国时，3v-3-v>0,cosx>0,所以/(x)>0,排除C.

故选：A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知/（1）=-2,/'（1）=0即可解得。力，再根据/'（X）即可解出.

【详解】因为函数“X）定义域为（0,+纥），所以依题可知，/（I）=-2,/'⑴=0,而/'（x）=0—二,

2?

所以b=—2,a—b=0,即。=-2力=-2,所以/'（尤）=一一+不，因此函数/（x）在（0,1）上递增，在

XX

（1,+8）上递减，％=1时取最大值，满足题意，即有r（2）=—1+；=—g.

故选：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设"工）=£m，则/⑴=o,故排除B；

设〃（x）=2A；OS：,当xe（og］时，0＜cosx＜l,

所以〃（力=27°SV＜亨一＜1,故排除C；

X+1X+1

设g（x）=21吧，则g⑶=空黑＞0,故排除D.

x+110

故选：A.

4.【答案】D

【解析】

【分析】根据对称性和已知条件得到/*）+/（尤—2）=—2,从而得到/⑶+/（5）+...+/（21）=-10,

/（4）+/（6）+...+/（22）=-10,然后根据条件得到了（2）的值，再由题意得到g（3）=6从而得到/。）

的值即可求解.

【详解】因为y=g（x）的图像关于直线x=2对称，

所以g（2-x）=g（x+2）,

因为g(x)—/(x—4)=7,所以g(x+2)-/(x—2)=7,即g(x+2)=7+/(%-2),

因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/U)+[7+f(x-2)]=5,即/(x)+f(x-2)=-2,

所以/⑶+.“5)+…+/(21)=(—2)x5=—10,

44)+“6)+...+”22)=(-2)x5=TO.

因为f(x)+g(2-x)=5,所以/(O)+g⑵=5,即/⑼=1,所以/⑵=一2—〃0)=-3.

因为g(x)—/(x—4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为/(x)+g(2—x)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g(3)=6

因为/(x)+g(x+2)=5,所以/(l)=5—g(3)=-L

所以

22

2/伏)=〃1)+〃2)+"(3)+〃5)+...+/(21)]+[〃4)+〃6)+...+〃22)]=-1-3-10-10=-24

k=l

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后

得到所需的一些数值或关系式从而解题.

5.【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合f（x）的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的

儿何意义判断D.

【详解】由题，/'（X）=3f-1,令/＜£）＞0得光〉印或》〈一日，

令r（x）＜0得一

33

(日,+8)上单调递增,

所以/(X)在(—上单调递减,在(_Q0,一

所以x=±且是极值点，故A正确;

3

因/(—#)=1+写>0,/(¥)=1一等>0,/(-2)=-5<0,

所以，函数/(力在—00,一上有一个零点,

当时，用＞0,即函数/(x)在乎、

+8上无零点,

7

综上所述，函数有一个零点，故B错误;

令〃(X)=/一%,该函数的定义域为R,A(-x)=(-X)3-(-x)=-X3+x=-〃(x),

则〃(幻是奇函数，(0,0)是〃(幻的对称中心,

将〃(幻的图象向上移动一个单位得到fW的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

令尸(x)=31=2,可得x=±l，又/⑴=〃T)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-l,当切点为(一1,1)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误.

故选：AC

6.【答案】BC

【解析】

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可

得解.

(3}

【详解】因为/.彳—2x,g(2+x)均为偶函数,

\27

所以/(g—2无呜+2,即WTI+J

g(2+x)=g(2-x),

所以〃3-x)=/(x),g(4—x)=g(x),则/(—1)=/(4),故C正确；

3

函数fM,g(x)的图象分别关于直线x=-,x=2对称，

2

又g。)=f'(X),且函数/(x)可导，

所以g[)=0，g(3—x)=—g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g1_g)=g(g)=O，g(—l)=g(l)=-g(2)，故B正确，D错误；

若函数/(》)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(幻的函数值，

故A错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象

间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.

7.【答案】A

【解析】

【分析】根据题意赋值即可知函数/(力的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(1),/(2),…,/(6)的

值，即可解出.

【详解】因为〃x+y)+〃x-y)=/(x)/(y),令x=l,y=O可得,2/(1)=/(1)/(0),所以

/⑼=2,令x=0可得,f(y)+f(-y)=2〃y),即〃y)=〃-y),所以函数/(x)为偶函数，令y=l

得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知

/(x+2)=—/(x—l),/(x_l)=_/(x_4),故/(x+2)=/(x_4),即/(%)=/(%+6),所以函

数“X)的一个周期为6.

因为/(2)=/(1)—/(0)=1—2=—1,/(3)=/(2)—/(1)=一1一1=一2,/(4)=/(—2)=/(2)=—1,

/(5)=/(—1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的〃1)+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以X/U)="l)+〃2)+/(3)+/(4)=l-1—2-1=—3.

*=i

故选：A.

8.【答案】C

【解析】

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

【详解】/(—x)+/(》)=—^+-^-211

-----1-----故A错误，C正确;

八)')1+2：1+2'1+2*1+2*

,/(--')-/(-0=1+2_x_1+2,=1+2,-1+2,=2.(+1=1-2,(+1不是常数，故BD错误;

故选：C.

9.【答案】D

【解析】

【分析】根据T与IgP的关系图可得正确的选项.

【详解】当T=220,P=1026时，lgP>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当T=270,P=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当T=300，尸=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.

当7=360,尸=729时，因2<lgP<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

10.【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，塞的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14。(2"c225

【详解】因为2"=5，匕=log83=.log23，即23"=3，所以4""=衣=7^7=第=万

故选：C.

二、填空题

1.【答案】①.——!(2).In2.

【解析】

【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】因为函数/(x)=lna+J—+6为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

由“+」一70可得，(l-x)(a+l—冰)H0,所以X="L-1,解得：a=--,即函数的定义域为

l-xa2

(-oo,-l)u(-l,l)u(l,+oo),再由"0)=0可得，b=\n2.即/'(x)=ln++ln2=ln[^^,

乙1X11XI

在定义域内满足/(-x)=-/(x),符合题意.

故答案为：—：In2.

2

2.【答案】g,l)

【解析】

v2

(分析]由x„x2分别是函数/(x)=2a-ex的极小值点和极大值点，可得xe(-8,芭)。(々,+8)时，

/r(x)<0,时:/,(x)>0,再分”>1和0<〃<1两种情况讨论，方程21na-a*_2ex=0的

两个根为%,七,即函数y=lnad与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=lna•优，

根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.

【详解】解：/,(x)=21na-a'-2ex,

因为&々分别是函数/(x)=2a'-ex2的极小值点和极大值点，

所以函数/(x)在(一8,%)和(天,—)上递减，在(玉,马)上递增，

所以当%€(-00,5)“%2，+00)时，F'(X)<O,当时，/'(x)>0，

若〃>1时,

当x<()时，21口。・屋>0,2ex<0,

则此时r(x)>o,与前面矛盾，

故不符合题意,

若0<avl时，

则方程21n。•优一2ex=0的两个根为5,马，

即方程Ina•优=ex的两个根为冬，工2，

即函数),=Ina•优与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

令g(x)=lnq.Q、，则g'(x)=ln2a-QlOvavl,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(Xo』na-a*。),

则切线的斜率为g'(x0)=ln2a,

故切线方程为yTna-a*=ln?a4％(%一垢)，

2x

则有-Ina-=-x0Ina-a0,

解得x0----,

Ina

则切线的斜率为In2a./；=eln2a，

因为函数y=lna-/与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

所以eln2a<e，解得］<a<e,

e

又Ovavl,所以

e

综上所述，a的范围为(工』.

<e；

【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一

定的难度.

3.【答案】(T,Y)D(O,+。)

【解析】

【分析】设出切点横坐标X。，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于X。的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得”的取值范围.

【详解】：y=(x+a)e",J.y'=(x+l+〃)e*,

设切点为(小,%),则为=(xo+a)e”,切线斜率％=(%+1+。卜”,

切线方程为：y—(Xo+a)e"=(/+l+a)e"x-Xo),

•切线过原点，，一(天+a)e~=(x()+l+a)e”(—a))，

整理得：x；+-a=0,

•切线有两条，，❷=4+4a>0,解得a<Y或a>0,

a的取值范围是+8),

故答案为：(-8,-4)5。,+8)

4.【答案】①.y=L②.y=-L

ee

【解析】

【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(%,ln%),求出函数导函数，即可求出切线的

斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

【详解】解：因为y=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为（毛,In%）,由y'=L,所以所以切线方程为

Xxo

y-lnx0=—（x-x0）,

又切线过坐标原点，所以Tn/=—（一/）,解得x0=e,所以切线方程为y—l='（x—e）,即〉=工人

%ex7e

当尤<0时y=ln（-x）,设切点为（X],ln（—石）），由了=,，所以所以切线方程为

xx\

y-ln（-x,）=—（x-xt）,

x\

又切线过坐标原点，所以一In（—%）=—（一%）,解得玉=—e,所以切线方程为y—l='-（x+e）,即

M-e

1

y二一x；

e

故答案为：y=-x；y=­x

ee

5.【答案】（F,0）D（0,l]

【解析】

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为/（X）=-+JT4,所以《c，解得XW1且尤。0,

x[xwO

故函数的定义域为（—,O）D（（）,1];

故答案为：（F,0）D（0,l]

6.【答案】①0（答案不唯一）②.1

【解析】

【分析】根据分段函数中的函数y=-«x+l的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条

件，a>0时函数y=-奴+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x-2尸的最小值，根据定义域讨论可

知一4+120或一/+1“。一2)2,解得0<a〈l.

1,x<0

【详解】解：若。=0时，fM={■,f().=0

(x-2),x>0xnn;

若a<0时，当x<a时，/(x)=-ox+l单调递增，当x->-8时，/(x)->-oo,故/(x)没有最小值，不

符合题目要求；

若。>0时，

当x<a时，/。)=一分+1单调递减，f(x)>f(a)=-a2+1,

0(0<a<2)

当x〉a时，/(x)={

min(«-2)(a22)

-4+120或一片+12(。―2>,

解得0<aWl，

综上可得OWaWl：

故答案为：0(答案不唯一)，1

7.【答案】①.—(2).3+g##百+3

28

【解析】

【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出〃的最小值用的最大值即可.

r详解】由已知彼=-©+2=%吟=泻t3

所以小回号.

当xWl时，由14/(x)43可得14一/+2<3,所以

当%>1时，由14/(尤)<3可得lWx+工—1K3,所以1<%<2+百，

X

1</(幻《3等价于—14》42+百，所以［a,勿口一1,2+百］,

所以匕一a的最大值为3+g.

37

故答案为：—,3+6.

28

四、解答题

1.【答案】⑴3(2)[-1,4W)

【解析】

【分析】(1)先由Ax)上的切点求出切线方程，设出g。)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数

值求出“即可；

(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出。，构造函数，

求导求出函数值域，即可求得”的取值范围.

【小问1详解】

由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,/(幻=3/_1,/'(-1)=3—1=2,则y=/(x)在点(一1,0)处的切线方

程为y=2(x+l),

即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(々公心))，g'(x)=2x,则g'C^)=2%=2,解得彳2=1,则

g⑴=1+。=2+2,解得“=3；

【小问2详解】

/'(X)=3f-1,则y=/(x)在点(4/(4))处的切线方程为y-—%)=(3x；-1)(%一玉)，整理得

y=(3x；-1)x-2x：,

设该切线与g(x)切于点(jg®)),g'(x)=2x,则g，(巧)=2々,则切线方程为y-(考+a)=2X2(X-X2),

整理得y=2X2X-x；+a,

3x；—1=2x,’3元;iY

整理得a=

—=—%2+a

a31

令/7(x)=-d-2/——X2+-,则〃'(x)=9x3—6X2_3X=3X(3X+I)(X—1),令"(幻>0,解得

424

——<x<0«Jcx>l,

3

令l(x)<0,解得x<-g或0<x<l,则x变化时，〃'(x),〃(x)的变化情况如下表：

X0(0,1)1(L+OO)

卜--？~3(41°)

"(X)—0+0—0+

5]_

“(X)/-1

274

则〃(X)的值域为[-1,48),故。的取值范围为[-L+8).

2.【答案】(1)(-8,e+l]

(2)证明见的解析

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

ev-\(0

(2)利用分析法，转化要证明条件为一一xe，-2Inx--x——>0,再利用导数即可得证.

x2^X)

【小问1详解】

/(x)的定义域为(0,+8)，

令〃x)=0,得x=l

当xe(0,1),/'(x)<0J(x)单调递减

当xw(1,”),/'(%)>0,/(x)单调递增/(x)>/(I)=e+1-a,

若/(%)20,则e+20,即a<e+1

所以”的取值范围为(一°°,e+l]

【小问2详解】

由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设玉<1<%2

1

要证占尤2<1,即证办〈一

因为为,」-e(O,l),即证/(%)>/

X2

因为/'（石）=/（工2），即证/（工2）＞/

e—1

即证----lnx+x-xer-Inx——>O,XG(1,+OO)

xx

,er-Ifn

即证---xc'_2Inx—x—>0

x2yx)_

下面证明x>l时，--xeA>O,lnx--|x--j<0

x2lx)

、e

设g(x)=---xe',x>1,

x

设夕=夕=>0

所以/(%)〉0(1)=6,而6!<0

所以Je*—e-，>0,所以g'(x)>0

x

所以g(x)在(L”)单调递增

x

即g(x)>g⑴=0,所以Je—xe*->0

x

令人(x)=lnx-—|x--|,x>l

21x

h'(x)=-

X

所以〃（x）在（1,+c。）单调递减

即〃(x)</z(l)=O,所以lnx-g

<0；

ex-

综上，——xe'-2Inx--x——>0,所以王々<1.

x2IX

【点睛】关键点点睛：本题极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式

=这个函数经常出现，需要掌握

3.【答案】(1)-1

(2)(0,+oo)

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得r(x)=("'T卜'T),按照。40、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数

的极值，即可得解.

【小问1详解】

当。=0时，/(x)=---lnx,x>0,则/'(x)=!_L==,

XXXX

当xe(O,l)时，/^x)>0,/(x)单调递增；

当xe(l,+。。)时，/(x)单调递减；

所以"X)m、="l)=T；

【小问2详解】

,t

/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,则/(x)=a+4r-^^-=—~~.

xxxx

当a40时，ax-l<0,所以当xe(O,l)时，/")>0,〃x)单调递增;

当xe(l,T8)时，f^x)<0,/(x)单调递减；

所以/(x),w=/(1)=。—1<。，此时函数无零点，不合题意；

当0<"1时，:>1,在（0,1）,（,物）上，〃x）单调递增;

在（1,：）上，/«x）<0,/（x）单调递减；

又/⑴=。-1<0,当x趋近正无穷大时，/（x）趋近于正无穷大，

所以仅在（j+j有唯一零点，符合题意；

当镇=1时，r（x）=（tj20,所以/（x）单调递增，又/。）=。-1=0,

所以“X）有唯一零点，符合题意；

当”>1时，!<1,在（0,1[,（1,+8）上，.明》）>0,“X）单调递增；

在住,11上，/^x）<0,/（x）单调递减；此时〃1）=°一1>0,

a"+n（a+\）\na,当〃趋近正无穷大时,

所以〃x）在「有一个零点，在I：,+8）无零点,

所以〃x）有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数

的单调性与极值的问题.

4.【答案】（1）y-2x

（2）（-co,-l）

【解析】

【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可

（2）求导，对“分类讨论，对x分（-1,0）,（0,内）两部分研究

【小问1详解】

/(X)的定义域为(T,+8)

V*11_X

当a=1时，/'(X)=ln(l+x)+4，/(0)=0,所以切点为(0,0)/(x)=——+=(0)=2,所以切线斜

e1+xe

率为2

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

【小问2详解】

/7Y

/(x)=ln(l+x)+，

e

/(x)=L+-ke'+a(—2)

1+xev(l+x)ev

设g(x)=e*+a(l-V)

「若a>0,当％6(—1,0)，8(幻=1+。(1一%2)>0,即/，(T)>o

所以〃x)在(-1,0)上单调递增,/(%)</(0)=0

故，(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意

2°若一1领h0,当xe(0,+oo)，则g'(x)=e'—2ax>0

所以g(x)在(0,+oo)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a.0,即/'(x)>0

所以fM在(0,+«))上单调递增,/(x)>/(0)=0

故.f(x)在(0,+8)上没有零点，不合题意

3°若。<-1

⑴当xe(0,+8)则g\x)=e*—2ax>0,所以g(x)在(0,+刃)上单调递增

g(0)=1+a<0,g(l)=e>0

所以存在m€(0,1)，使得g(/n)=0,即f'(m)=0

当xe(0,m),f(x)<0,/(x)单调递减

当xe(九+8),/'(x)>0,/(x)单调递增

所以

当X£(0,m)J(x)</(0)=0

当Xf+O0,/(X)f+00

所以/(x)在(九K0)上有唯一零点

又(0,m)没有零点和人外在(0,+8)上有唯一零点

(2)当X£(-LO),g(x)=e'+。(1一公)

设h(x)=g(x)=e"-2ax

〃(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(—1,0)单调递增

g'(-1)=L2a<0,g'(0)=l>0

e

所以存在ne(-1,0),使得g'(〃)=0

当xe(-1,ri),g'(x)<0,g(x)单调递减

当xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)单调递增g(x)<g(0)=l+a<0

又g(-l)」>0

e

所以存在re(-l,n)，使得g⑺=0,即r(t)=0

当xe(-1,0,/U)单调递增，当xG(r,0),/(%)单调递减

有X―>—1,f(X)―>—00

而y(o)=o,所以当xGc,0)j(x)>o

所以/(X)在(―1,/)上有唯一零点,(r,0)上无零点

即/(X)在(—1,0)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若/(X)在区间(T,0),(0,T8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(一8,—1)

【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足

即可，肯定要两方面都说明.

5.【答案】(1)a=\

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a注意分类讨论.

(2)根据(1)可得当匕>1时，e,—x=〃的解的个数、x—lnx=8的解的个数均为2,构建新函数

〃(x)=e'+lnx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得〃x),g(x)的大小关系，根据存在直线

y=b与曲线y=〃x)、y=g(x)有三个不同的交点可得力的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三

根成等差数列.

【小问1详解】

/(x)=e*-ax的定义域为火，而f'(x)=ex-a,

若aWO,则/'(x)>0,此时fa)无最小值，故a>0.

8(%)=以一111%的定义域为(0,+8),而g'(x)=a-，=竺_1

xx

当x<Ina时，f'(x)<0,故f(x)在(fo』na)上为减函数，

当x>lna时，f\x)>0,故/(x)在(Ina,+8)上为增函数，

故=/(lna)=a_alna.

当0<x<一时,g'(x)<0,故g(x)在上为减函数,

当X〉工时，g'(x)>0,故g(x)在fL,+oc］上为增函数，

a\a)

故g(x)min=g」TTnL

\aJa

因为f(x)=ev一or和g(x)=g;-InX有相同的最小值，

1Q.—\

故l-ln—二。一alna,整理得到----二ln。，其中Q>0,

a1+Q

设8(。)=?^一1114，〃>0，则g'(a)=八一\2=r_0，

1+a(1+Q)aQ(1+Q)

故g(a)为(O,M)上的减函数，而g(l)=0,

故g(a)=0的唯一解为。=1,故Ina的解为。=1.

综上，a-\.

【小问2详解】

由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值为l-lnl=l-ln；=l.

当人>1时，考虑e‘—x=b的解的个数、x—lnx=8的解的个数.

设S(x)=e*—Sf(x)=ev-1,

当x<0时，S'(x)<0,当x>0时，S'(x)>0,

故S(x)在(-oo,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，

所以S(X)m“,=S(0)=l—h<0,

而S(询=e">0,S®="2b,

设w(Z?)=e"-2Z?,其中6>1,则/®=e'-2>0,

故在(1,+co)上为增函数，故〃®>〃(l)=e-2>0,

故S(0)>0,故S(x)=e*—x—力有两个不同的零点，即e*—x的解的个数为2.

设T(x)=x-lnx-/7,F(x)=---,

X

当0<x<l时，T^x)<0,当X>1时，F(x)>0,

故T(x)在(0,1)上为减函数，在(La)上为增函数，

所以丁(力皿=T(l)=l-Z?<0,

而T(e")=e-〃>0,T(eb)=eh-2b>0,

T(x)=x-lnx—匕有两个不同的零点即x-lnx=Z?的解的个数为2.

当6=1,由(1)讨论可得x—lnx=8、1—%=8仅有一个零点，

当匕<1时，由(1)讨论可得x-lnx=〃、e"-x=Z?均无零点，

故若存在直线y=b与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，

则。>1.

设〃(x)=e*+Inx-2x,其中x>0,故/z'(x)=e*+,-2,

X

设s(x)=e"-x-l,x>0,则s'(x)=e*-l>0,

故s(x)在(0,+oo)上为增函数，故s(x)>s⑼=0即e、>x+l，

所以〃'(x)>x+，-122—1>0,所以〃(x)在(0,+8)上为增函数，

7

而〃(l)=e—2〉0,//(2.)=6-3-4<6-3-4<0-

故h(x)在(0,+»)上有且只有一个零点%,4<玉,<1且：

e

v

当0cx<%o时，h(x)<OHPe-x<x-\nxEPf(x)<g(x),

当x>/时，/z(x)>0即ex-x>x-\nx即/(x)>g(x),

因此若存在直线y与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同交点,

故》=/($)=g(x())>l，

此时e*-x=b有两个不同的零点<0<%)，

此时x-lnx=Z?有两个不同的零点40，X4(°</<1</)，

故e"-X]=b,-xQ=b,x4-lnx4-/?=0,x()-lnx()-/7=0

X4/?

所以匕=lnx4即。口一方=%即e"-(x4-b)-b=09

故％一人为方程e*—x=/?的解，同理/-b也为方程e*—x=b的解

又e*1-X]=8可化为e*=%+A即玉-In(%,+/?)=0即(x,+h)-ln(玉+b)-b=0,

故玉+匕为方程x-lnx=Z;的解，同理玉)+人也为方程x-lnx=8的解，

所以｛%,为｝=｛/一瓦/一匕｝，而力>1,

故,"4。即玉+/=2x°.

玉=4—b

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，

而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.

6.【答案】⑴"X)的减区间为(F,0),增区间为(0,”).

1

(2)a<-

2

(3)见解析

【解析】

【分析】(1)求出.四》),讨论其符号后可得“力的单调性.

(2)设〃(x)=Ae"，e、+l,求出/(x),先讨论a时题设中的不等式不成立，再就结合放