2022届北京高三下学期联考数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知圆锥的高为3,底面半径为石，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的

体积的比值为（）

532425

A.B.D.—

3~939

2.用电脑每次可以从区间（0,3）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个

实数，则这3个实数都小于1的概率为（）

3.在复平面内，复数z=a+初（。，对应向量应（O为坐标原点），设卜乙以射线Ox为始边，OZ

为终边旋转的角为凡则z=r（cose+isin8）,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：4=〈（cosq+isin6>J,

)

z2=5(cosq+isinq),则=4与[cos(4+62)+zsin(6>+ft)],由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:

[r(cos0+isin^)];=rn(cosn0+isinn0),已知z=(指+i),则忖=()

A.2GB.4C.8有D.16

4.已知a=5^,0=logq逐/=logs2，则a，〃，c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

x2y2

5.已知耳，工分别为双曲线C：=l（a>0/〉0）的左、右焦点，过月的直线/与双曲线C的左、右两支分别

—.—.18Al4

交于A,8两点，若48•BF?=。，।,二।=1，则双曲线C的离心率为（)

|A引5

A.V13B.4C.2D.6

i_i

6.设z=：；~+2i,贝!J|z|=

1+1r

1L

A.0B.-C.1D.V2

2

'x+2y>2

7.已知实数x,y满足约束条件y—xKl，若z=2x-y的最大值为2,则实数"的值为（）

y+l>kx

57

A.1B.-C.2D.-

33

8.已知向量£=（1,0）,B=（l,百），则与2Z—B共线的单位向量为（）

9.一小商贩准备用5（）元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

10.已知斜率为A的直线/与抛物线交于A,B两点,线段A8的中点为（加>0）,则斜率A的取

值范围是（）

A.B.C.（1,+<»）D.[1,+℃）

11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝

才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起

脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走

的路程为（）

A.6里B.12里C.24里D.48里

12.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加

强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目

前该教师的月退休金为（）.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.能说明“若/(x+l)</(x)对于任意的XG(O,-FW)都成立，则/(X)在(0,+8)上是减函数”为假命题的一个函数

是.

14.已知。为矩形ABCD的对角线的交点，现从这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为

「、,、3〃+54

15.记等差数列｛%｝和也｝的前〃项和分别为S”和7”，若另一了万，则R=.

16.已知a",c分别为AA6c内角A,3,C的对边，a=J^,sinA=1•，匕="，则AA6c的面积为.

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1e

17.(12分)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=-----,其中adR,e=2.718…为自然对数的底数.

xe

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)证明：当x>l时，g(x)>0；

(HI)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+oo)内恒成立.

18.(12分)已知二，二C二，设函数二(二)=二二一二二一二、/二；+/

⑺若二=。，求二U)的单调区间：

(")当二C[0,+为时，二(二)的最小值为0,求二+、3二的最大值.注：二=2,N828…为自然对数的底数.

19.(12分)如图为某大江的一段支流，岸线《与4近似满足4〃4,宽度为7km.圆。为江中的一个半径为2初?的

小岛，小镇A位于岸线4上，且满足岸线4,OA,OA=3km.现计划建造一条自小镇A经小岛。至对岸的水上

通道ABC(图中粗线部分折线段，8在A右侧)，为保护小岛，3c段设计成与圆。相切.设

AABC=7i-e\Q<e<^\.

(1)试将通道ABC的长L表示成。的函数，并指出定义域；

(2)若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

20.(12分)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:

试销价格

456789

X阮)

产品销量y

898382797467

(件)

已知变量X，y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲y=4x+53；乙

>=Tx+105；丙y=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望.

21.(12分)设函数/(x)=|x+3],g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x)；

(2)若2/(为+8(刈>以+4对任意的实数“恒成立，求。的取值范围.

22.(10分)函数/(x)=or-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求实数。的集合

(2)当aeM时，判断了。)图象与g(x)图象的交点个数，并证明.

(参考数据：In2ao.69,L.77)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

计算求半径为R=2,再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.

【详解】

如图所示：设球半径为R,则R2=(3—R)2+J^,解得R=2.

4,321厂2X32

故求体积为：*=/穴=丁,圆锥的体积：匕=§乃6x3=3万，故/=

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2.C

【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为:，结合独立事件发生的概率计算即可.

【详解】

i/1y1

•••每次生成一个实数小于1的概率为-..•.这3个实数都小于1的概率为-=—.

3⑶27

故选：C.

【点睛】

本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.

3.D

【解析】

根据复数乘方公式：[r(cose+isine)]"=r"(cosne+isin〃e),直接求解即可.

【详解】

二16cos—+zsin—

I66)

=16cos^4x^+zsin^4x^=-8+8>/3z,

不卜八卜可=16.

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形

式，属于基础题.

4.A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得〃再利用对数函数的单调性，将"c与I,1对比，即可求出结论.

【详解】

17-1

由题知a=55>5°=l,l>Z?=log4V5>log42=-,

c=log,2<log5亚=；,则a>b>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

5.A

【解析】

由已知得忸£|=4x,由已知比值得|伤|=5x,|AB|=3x,再利用双曲线的定义可用”表示出|A制，

用勾股定理得出的等式，从而得离心率.

\AF2\,a，c

【详解】

—►—►—.—.忸用4

•••ABBF^Q,AB^O,BF^0,.-.ZABF=90°.又•••r-er=-.一.可令忸闾=4x,则|A勾=5乂］谡|=3儿设

222I|5

|A/j|=r,得=怛用-忸闾=2a,即5x-7=（3x+r）-4x=2a,解得/'=3a,x=a,

：.\BF2\=4a,\BFi\=\AB\+\Al^\=6a,

2

由忸E「+忸闾2=忻6「得（6a）2+（4a）2=Qc）2,c2=13a,c=J由，，该双曲线的离心率6=:屈.

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点AB到

焦点的距离都用。表示出来，从而再由勾股定理建立名。的关系.

6.C

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共扼复数，化简复数二，然后求解复数的模.

（匕i）（匕i）+2i

详解:z=—+2i

1+i（j）（l+i）

=-i+2i=i,

则|z|=l,故选C.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

钝复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

7.B

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解Z即可.

【详解】

。（A。心1、

—+1LCX?—二7，要使得z能取到最大值，贝必＞1，当1＜左42

k—lk-\）⑵+12k+\）

时，x在点8处取得最大值相，即2（1…］一（1+1）=2,得k=；；当攵＞2时，z在点C处取得最大值，即

故选:B.

【点睛】

本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想，分类讨论是解题的关键,属于中档题.

8.D

【解析】

根据题意得，2£-坂=（1,-百）设与2£-五共线的单位向量为（乂丁），利用向量共线和单位向量模为L列式求出X，）'即

可得出答案.

【详解】

因为。=(1,0),b=(1,^3)9则2万=(2,。)，

所以2力=（1,用,

设与y-B共线的单位向量为（x,y）,

-\[3x-y=0

则〈

x2+y2=\i

ii

x=—x=——

22

解得《或«

石

所以与2力共线的单位向量为自-雪或

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.

9.D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

4%+7y<50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别%,>利润为z元，由题意,z=x+l.Sy,

.x,yeN,

画出可行域如图所示，

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x,)’是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

10.C

【解析】

设4N，%),8(々，y2),设直线/的方程为：y=kx+b,与抛物线方程联立，由A>0得初<1,利用韦达定理结

2

合已知条件得〃=2~-二A-，根=2：,代入上式即可求出〃的取值范围.

kk

【详解】

设直线/的方程为：y=kx+h,A（x,,%）,B（X2,必），

v-kx+b

联立方程《「，消去)'得：k2x2+(2kb-4)x+h2=0,

y=4x

/.△=(2妨一4>一4父/>0,

:.kb<\9

4一2kbb1

且％%/L'中2=连

4

y+必=k(X[+x)+2b=-

2k9

.・・线段AB的中点为（加＞。），

4-2kb.4c

"+七=丁=2,yl+y2=-=2m,

kk

,/m>09

・•.Z>0,

把人=马上代入kb＜l,得2—公＜1,

k

二.左2>1,

；.左＞1,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

11.C

【解析】

1%（1一不）

设第一天走田里，则｛4｝是以外为首项，以不为公比的等比数列，由题意得$6=--------%=378,求出4=192（里

21-1

2

）,由此能求出该人第四天走的路程.

【详解】

设第一天走为里，则｛4｝是以4为首项，以;为公比的等比数列,

由题意得：56=-----4=378,

1——

2

解得4=192（里），

4=4x（g）3=192x（=24（里）.

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，是基础题.

12.D

【解析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可.

【详解】

设目前该教师的退休金为X元，则由题意得：6000x15%-XX1O%=1.解得x=2.

故选D.

【点睛】

本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.答案不唯一，如），=一卜：一；）

【解析】

根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.

【详解】

由题意，不妨设=,

(1Y(|Y1

则/(%+1)-/(幻=一x+1――+x——=-2x——<0在(0,+8)都成立,

\4JI4J2

但是.f（x）在［0,是单调递增的，在（；,+8］是单调递减的,

说明原命题是假命题.

所以本题答案为y=-，答案不唯一，符合条件即可.

【点睛】

本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在（0,+"）上不是单调递减的函数，再检验是否满

足命题中的条件，属基础题.

4

14.-

5

【解析】

基本事件总数〃=盘=10,这3个点共线的情况有两种AOC和80。，由此能求出这3个点不共线的概率.

【详解】

解：。为矩形ABCD的对角线的交点，

现从A，B,C,D,。这5个点中任选3个点，

基本事件总数〃=《=10,

这3个点共线的情况有两种AOC和BOD,

这3个点不共线的概率为p=l-^2=|4.

4

故答案为：y.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

15.1

5

【解析】

13（q+小）

结合等差数列的前〃项和公式，可得，=孕==生，求解即可.

场13瓦13（vy几

【详解】

由题意,几=13（q十%）=13%，几=13伯+九）

=13%

22

S3〃+5%_13%_%_3x13+5_11

因为有“+7，所以百一西一刀-13+7一《.

故答案为:费•.

【点睛】

本题考查了等差数列的前〃项和公式及等差中项的应用，考查了学生的计算求解能力,属于基础题.

16.V2

【解析】

根据题意，利用余弦定理求得c=2,再运用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】

解：由于a=sinA=>b=底，

3

a<b,A<B>cosA=>

3

由余弦定理得逅="一+十一/，解得c=2,

32bc

]C

:.AASC的面积S=—x2xV6x———V2.

23

故答案为：血.

【点睛】

本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)当xe(0,£=)时，/'W<0,/(x)单调递减；当xe(吉,+8)时，/'(x)>0,f(x)单调递增；(II)

详见解析；(III)ae[1,+<»).

2

【解析】

试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能

力和计算能力.第(I)问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第(II)问，利用导数判断函数的单

调性，从而证明结论，第(皿)问，构造函数〃(x)=/(x)-g(x)(x>l),利用导数判断函数〃(x)的单调性，从而

求解a的值.

2ax1

试题解析：(I)f\x)=2ax--='-(x>o).

XX

当aKO时，/(x)在(0,+oo)内单调递减.

当a>0时，由/'(x)=0有x=后.

当xe(0,)时，/'(x)<0,f(x)单调递减;

-41a

当XG(一金=,+8)时，f\x)>0,〃x)单调递增.

d2a

(n)令s(x)=e*T-x,则s'(x)=e*T-1.

当x>l时，s'(x)>0,所以e*T>x,从而g(x)=，--Jr>0.

xe

(IH)由(II),当x>l时，g(x)>0.

当aWO,x>l时，/U)=a(x2-l)-lnx<0.

故当fM>g(x)在区间(L+oo)内恒成立时，必有a>0.

11

当°<"<2时’而>1.

由(I)有/(忐)</a)=o,而g(右)

>0,

所以此时/(X)>g(x)在区间(1,+8)内不恒成立.

当•时，令〃(x)=f(x)-g(x)(X>1).

、t,,r»-L、C111-x111x—2x+1—2x+1

当x>l时，h(x)=2ax——+=-e>x——+—r——=-------->--------->0.

xxxxxxx

因此，〃(划在区间(1,+8)单调递增.

又因为〃(1)=0,所以当％>1时，/?(%)=/(x)-g(x)>0,即因x)>g(x)恒成立.

综上，ae[-,+00).

2

【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题

【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的

能力和计算能力.求函数的单调性，基本方法是求/'(X),解方程/'(刈=0,再通过/'")的正负确定f(x)的单调性;

要证明不等式/(x)>g(x),一般证明/(x)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数〃(x)=/(x)-g(x)的单调性.本

题中注意由于函数〃(X)的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到,

有一定的难度.

18.⑺详见解析；（〃）八二

【解析】

⑺求导得到二'（二）=二二一二讨论二M。和二〉。两种情况，得到答案.

（〃）二G）=、二v二一4二NO,故二+、,弓二三2、二,取二=誓，二=手，求导得到单调性,得到二（二）3=二（9=。，

得到答案.

【详解】

（/）二（二）=二二一匚匚二'（匚）=二二一二，

当二V。时，二'（：：）=二二一二2优g成立，函数单调递增；

当二＞。时，二'（：：）=二二一二=0,Z=InZ,当二c（-K,ln二）时，二'（二）＜。函数单调递减；

当二e（In二+“）时，二’（二）＞。函数单调递增.

综上所述：二w。时，二（二）在二上单调递增；二＞。时，二（二）在（一七工二）上单调递减，在（In二+“）上单调递增.

（II）二（二）=二二-二二一二J二；+:＞。在二6[。+为上恒成立；

二Q）=«二-g二—一二N0,故二+/二＜2仁，

现在证明存在二二二+二=2、匕使二（二）的最小值为0.

取二=写，二=手，（此时可使二'G）=0），

口'（匚）=e二一匚一三（匚）=e二一一二二=手＜/,

故当二e[0,+H）上时，（匚；+DJ二；+/,e二21,故二”（二）之0,

二'（二施二e[0,+幻上单调递增，二'《）=0,

故二（二）在[消上单调递减，在9+工）上单调递增，故二（二焉=二G）=0.

综上所述：二+二的最大值为，二.

【点睛】

本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

,、八、9-3cos。,定义域是［百万

19.(1)L(e)=------------4,(2)60

sine

【解析】

(1)以A为原点，直线4为x轴建立如图所示的直角坐标系，设AB=a(a>0),利用直线与圆相切得到

2_3cos

八-，八一,再代入L=AB+3C这一关系中，即可得答案;

sm夕

(2)利用导数求函数的最小值，即可得答案；

【详解】

以A为原点，直线4为x轴建立如图所示的直角坐标系.

设A8=a(a>0),则8(。,0),0(0,3),/2:y=7.

因为NABC=zu—O[O<0<9

所以直线BC的方程为y=tan6•(x-,

即x-tan0-y-atan8=0,

|一3_Qtan810

因为圆。与5c相切，所以0方=2,

3cos6+asine22-3cos夕

即，从而得。=

cos。cos。sin。

77cos^

在直线8C的方程中，令y=7,得z=ClH-------=a4---------

tan。sin。

所以BC217cosB7

=A/1+tan^|xft-xc|=-9

cos0sin。sin。

9-3cos6

所以L=AB+BC=aH-----

sin。sin。

22

当a=0时，cos6=§,设锐角4满足cos4=§,则4<6<]7,i

9—3cos0

所以乙关于6的函数是〃。）=———,定义域是

sin夕

（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即入最小.

3sin2。-(9-3cos6)cose_3-9cos^f

八n

1(。)sin?。sin*1°<0<—

2

令L'（6）=0,得cos6=；,设锐角4,满足cosq=；＜g,得&

列表：

0（%，a）4

〃（。）—0+

L(0)减极小值增

一/八\1y—JCOS（7.

所以6=4时，［L（e）］mm=-,所以建造此通道的最少费用至少为60百万元.

sin（?127，

3

【点睛】

本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推

理能力、运算求解能力.

20.（1）乙同学正确

3

（2）分布列见解析，£（%）=-

【解析】

（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点丘,亍）代入验证，即可得出结论；

（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X的可能值，并求出

概率，得到分布列，即可求解.

【详解】

(i)已知变量匕)具有线性负相关关系，故甲不正确,

...[=6.5,5=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确,

故回归方程为：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X的取值为：0,1,2,3.

尸(x=0)=等=卷，尸"=1)=等

P（X=2）=^i=N,P（X=1）=^^1

[）C；20'C；20

于是“理想数据”的个数X的分布列

X0123

1991

P

20202020

1aa1Q

,1.E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=-

',202020202

【点睛】

本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学

计算能力，属于中档题.

2，…

21.(1)(—oo,—§)u(4,+°o)；⑵(-1,4].

【解析】

试题分析：

(1)将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问

题的解法求解即可.

试题解析:

(1)由已知，可得k+3|<|2x—[,

即|x+3「<|2x-l|2.

整理得—10尤一8〉0,

解得尤卜，或x卜.

故所求不等式的解集为1-00,W（4,+00）.

—4x—5,xW—3,

⑵由已知，设/z(x)=2/(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|=*7,—3<x<—,

2

4-x+5,x.

①当xW-3时，只需-41-5>"+4恒成立,

即方<-4%一9,

*/x<—3<0,

—4x—9.9I一卡4

a>---------=-4——‘恒成乂.

xx

.(A9、

・.。>—4—,

CI>—1,

②当-3<xjg时,只需7jar+4恒成立,

即0¥—3<0恒成立.

一3。一340

只需<

-a-3<0

2

解得一1<QK6.

③当xN，时，只需4x+5>以+4,恒成立,

2

即arv4x+l.

1八

•/x>—>0,

2

a<4a+1=4+—恒成立.

xx

•.•4+,>4,且无限趋近于4,

X

.*.4Z<4.

综上。的取值范围是

22.(1){1}；(2)2个，证明见解析

【解析】

(1)要恒成立，只要“X)的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看f(x)是否有最小值；

(2)将/(x)图像与g(x)图像的交点个数转化为方程f(x)=g(x)实数解的个数问题，然后构造函数

夕(X)=/(x)-g(x),再利用导数讨论此函数零点的个数.

【详解】

(1)/(X)的定义域为(—1,+8),因为7•'(%)=a一——,

x+1

1。当4,0时，/(》)<0,