2022届北京市丰台区市级名校高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知忸+可=2,无4,0],则同的取值范围是（）

/

A.[0,1]B.-,1C.[1,2]D.[0,2]

2.已知函数/（x）=尤-«0>0）,g（x）=x+e*,/?（工）=%+111%（%>0）的零点分别为*,x2,x3,则（）

A.Xj<x2<x3B.x2<x1<x3

C.x2<x3<x]D.x3<x]<x2

3.设Q=0.82°5,b=sinl,c=lg3,则。，b,。三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<h<aD.h<c<a

4.已知向量砺=（—3,4）,砺+丽=（-1,5）,则向量囱在向量而上的投影是（）

2石R2万22

A.--------B.------C.-----D.—

5555

5.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CP/（居民消费价格指数），同比上涨4.5%,CP/上涨的主要因素是

猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响av上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该

图，下列结论错误的是（）

数方文化和

娱乐8.5%

4逑愣一一“微

'嬲龌a鬻1/

rrwB枇『理

A.CP/一篮子商品中所占权重最大的是居住

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C.猪肉在C7/一篮子商品中所占权重约为2.5%

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为0.18%

6.若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数'的点是（）

z

y

♦-ri----

1IIII

r丁r---r-i-

卜卡—|昱外

1__I__I_e_j_L_

A.EB.FC.GD.H

7.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几

何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数，〃后的余数为〃，则记为N="（mod/〃），例如

ll=2（mod3）.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的〃等于（）.

A.21B.22C.23D.24

8.已知集合A={xeN|y=={x|x=2〃,〃eZ},则()

A.[0,4]B.{0,2,4}C.{2,4}D.[2,4]

9.设万，5是非零向量，若对于任意的都有卜一年,一同成立，则

A.a!!bB.albC.[a-b^LciD.\a-b\lb

10.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）

3

B.

4~6~4

11.在正方体A6CO-A4G。中，点P、。分别为A3、的中点，过点。作平面。使Bf〃平面a,AQ〃平

MD.

面a若直线BQ|C平面。=用，则谓的值为（）

1112

A.—B.-C.—D.一

4323

-------1UUUIUUIU

12.已知△ABC是边长为3的正三角形，若比>=则A»8C=

315

A.一一B.—

22

c315

C.-D.——

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

15

13.若/（。一X2）公=—,贝!]a=___.

o3

14.设S,为数列｛%｝的前〃项和，若2s“=5。“一7,则a“=—

15.在三棱锥P-A5C中，A8=5,BC=3,C4=4,三个侧面与底面所成的角均为60。，三棱锥的内切球的表面

积为.

16.（5分）在长方体ABCD-AAGA中，已知棱长9=1,体对角线几，两异面直线G。与人田所成的角

为45。，则该长方体的表面积是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建

立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监

测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且另有1套系统监测出排放超标，则

立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立

即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为“（0<〃<1）,

且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

（1）当P=g时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

（2）若每套环境监测系统运行成本为300元〃卜时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统

每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计

算）？并说明理由.

18.(12分)已知椭圆。:^+丁印的左、右焦点分别为耳,耳，直线/垂直于x轴，垂足为T,与抛物线y2=4x交于

不同的两点P,。，且瓦»加=一5,过F2的直线加与椭圆C交于两点，设币=4月区且2,-1].

(1)求点T的坐标；

(2)求|祈+网的取值范围.

19.(12分)已知函数/.(x)=|以+l|+|xT|.

(1)若a=2,解关于x的不等式/(x)<9；

(2)若当x>()时，/。)>1恒成立，求实数。的取值范围.

20.(12分)已知圆。经过椭圆C：斗+点■nig>8>0)的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线/与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且|MN|=g,求直线/的倾斜角.

21.(12分)已知数列｛4｝满足q,出…%=2嘤(〃eM),数列也｝的前"项和S"="、；，」(〃GN*),

且4=1,2=2.

(1)求数列｛《,｝的通项公式：

(2)求数列｛2｝的通项公式.

(3)设C"=T一万工一，记是数列｛5｝的前〃项和，求正整数加，使得对于任意的〃G”均有7；.

22.(10分)已知函数/(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时，求不等式/(x)<6的解集；

(2)设函数g(x)=|2x-l|.当xeR时，f(x)+g(x)>3,求"的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

设玩=2〃+日，可得之名=无妨—2万2目《0],构造(G—，玩)2«2+，病，结合同=2,可得万一；沅e

4164_22

根据向量减法的模长不等式可得解.

【详解】

设比=2万+日，则恻=2,

b=m-2a,ab=a-m-2a2e[-4»0],

1,11,1,

(a——m)2-a~——a*m-\----m2<2-i----m~

421616

ffr1

I比|2=苏=4,所以可得：—

82

11,1,1,9

配方可得_=_玩2W2(M__w)2<4+-m2=-,

28482

山…—「13]

所以a--me---,

又||初一I；疣|区了一，疣勺万|+L而||

444

则同e[0,2].

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

2.C

【解析】

转化函数/(x)=x—«(x>0),g(x)=x+e*,/?(x)=x+lnx(x>0)的零点为y=x与y=«(x>()),y=-ex,

y=-lnx(x>0)的交点，数形结合，即得解.

【详解】

函数/(x)=x-«(x>0),g(x)=x+e*,7?(x)=x+lnx(x>0)的零点，即为y=x与y=&(x>0),y=-e',

y=-lnx(x>0)的交点,

作出y=x与y=«(x>0),y=—y=—Inx(尤>0)的图象,

故选：C

【点睛】

本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.

3.C

【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a,b,c与也,，比较即可.

\52

【详解】

由。=0.82。5〉0.8。.5=聆，

1人.,.兀垂）[3/4

232V4V5

c=lg3<lgV10=|lgl0=1,

所以有c<b<a.T&C.

【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

4.A

【解析】

先利用向量坐标运算求解OB，再利用向量函在向量砺上的投影公式即得解

【详解】

由于向量函=（—3,4）,砺+砺=（一1,5）

故加=(2,I)

OAOB-3x2+4xl275

故选：A

【点睛】

本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

5.D

【解析】

A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.

食品占19.9%,再看第二个图，分清2.5%是在CP/一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在C尸/

一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.

【详解】

A.CP/一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的，故正确.

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.

C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CP1一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.

D.猪肉与其他畜肉在C/V一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

6.C

【解析】

由于在复平面内点Z的坐标为(-1/)，所以z=-1+i,然后将z=-l+i代入口化简后可找到其对应的点.

Z

【详解】

由z=-l+i,所以」=——=/(-l-z)=l-z,对应点G.

z-1+z

故选：C

【点睛】

此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.

7.C

【解析】

从21开始，输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.

8.B

【解析】

计算A={0,1,2,3,4},再计算交集得到答案

【详解】

A={xeN|y=V^}={0,l,2,3,4},B={x|x=2〃,〃GZ}表示偶数，

故A「5={0,2,4}.

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.

9.D

【解析】

画出万，b，根据向量的加减法，分别画出①-几方的几种情况，由数形结合可得结果.

【详解】

由题意，得向量伍-B）是所有向量（。-几5）中模长最小的向量，如图，

当AC_LBC,即时,|AC|最小，满足,―同牛—明，对于任意的TGR,

所以本题答案为D.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于

基础题.

10.A

【解析】

求出满足条件的正ZVWC的面积，再求出满足条件的正A48c内的点到顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的

面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.

【详解】

满足条件的正A4BC如下图所示：

其中正MBC的面积为=曰x4?=4G,

满足到正AABC的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示，

阴影部分区域的面积为S=」x乃x2?=2万.

2

则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是P=l—4=1一叵.

4V36

故选：A.

【点睛】

本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

11.B

【解析】

作出图形，设平面a分别交44、CQi于点E、F,连接DF、EF,取CD的中点G,连接尸G、CXG,

连接4G交片。于点N,推导出8/〃。。，由线面平行的性质定理可得出GG〃。/7,可得出点尸为G2的中点，

MD.

同理可得出点E为4。的中点，结合中位线的性质可求得谒的值.

【详解】

如下图所示:

设平面a分别交AQ、GA于点E、F,连接。E、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、Cfi,连接4G交

BQ1于点N,

•••四边形ABC。为正方形，P、G分别为AB、CO的中点，则BP〃CG且BP=CG,

二四边形BCGP为平行四边形，,PG/IBC豆PG=BC，

•：B\CJ/BC且BCi=BC,；.PG〃BCi且PG=B.C,,则四边形B£GP为平行四边形，

:.BF〃CQ,•;BF〃平面a,则存在直线au平面a,使得用尸〃a,

若GGu平面。，则Ge平面。，又。e平面。，则COu平面。，

此时，平面e为平面CQRG，直线AQ不可能与平面「平行，

所以，C|G<Z平面a,.•.GG〃a,.・.GG〃平面a,

•.•C|Gu平面CZJRG，平面CDRGn平面a=OE,GG,

­.C.F//DG,所以，四边形GG。尸为平行四边形，可得GE=OG=gcD=gG2，

八11MD.1

：.F为CQi的中点,同理可证E为AA的中点，•••49nEF=M,二加"二一"N=—gq,因此，帚

24।

故选:B.

【点睛】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面。与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

12.A

【解析】

…"■♦1■，…，・•,••I-

由=可得AO=A8+BO=AB+—BC,因为AABC是边长为3的正三角形，所以

33

ADBC=(AB+-BC)BC=ABBC+-BC2=3x3cosl200+-x32故选A.

3332

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出“的值.

【详解】

解：若£（。一/）公=g,贝j依

即a-g=g,所以a=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,

属于基础题.

【解析】

7

当〃=1时，由2R=54-7=26,解得q=§,当“22时，2S“=5%—7,2S,T=5a,T-7,两式相减可得

2%=5o„-5a,即5a,T=3%,可得数列(«„｝是等比数列再求通项公式.

【详解】

„7

当”=1时，2S]=54-7=2q,即4=§,

当“22时，2s“=5勺-7,2S“_|=5a,”|一7,

两式相减可得2。“=5%-5a,i,

即5%=3a.,

7s

故数列｛4｝是以］为首项，］为公比的等比数列,

故答案为：—(()

【点睛】

本题考查数列的前〃项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.

4%

15.——

3

【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱

锥的体积的三倍即可解决.

【详解】

设顶点在底面上的射影为“，”是三角形48c的内心，内切圆半径厂=1.三个侧面与底面所

成的角均为60°,4PAB，APBC,APAC的高PD=PE=PF=2,PH=6,设内

切球的半径为R,(―(3+4+5)x2+—x3x4)x/?=3x—x—x3x4xV3=6G

2232

R=@,内切球表面积s=4万R2=也.

33

44

故答案为：y

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.

16.10

【解析】

作出长方体ABC。-44GA如图所示，由于AA〃QQ,则NCQ9就是异面直线G。与AA所成的角，且

NCQR=45°,在等腰直角三角形GR。中，由CQ=A8=1,得。。=1,又4。="产+/+入斤=&，则4。=2,

从而长方体ABC。/14GA的表面积为2x(lxl+lx2+2xl)=10.

",

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25

17.(1)—；(2)不会超过预算，理由见解析

32

【解析】

(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

C；(1)2xg+C；(g)3=C；(g)3+C；(g)3=g,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系

统的概率为—可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.求得P(X=150())=C；p(l-p)2,

p(X=90())=l—C；p(l求得其分布列和期望E(X)=900+1800p(l—02,对其求导，研究函数的单调性,

可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

(1)•••某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

%)2小%)…拈),C皮Mg

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

(!卉1-di]=三；•某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为

223223232

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.

P(X=1500)=C；p(l-p)2,P(X=900)=1一C；p(l-p)2

E(X)=900x口-C；p(l-"+1500xGp(l-p)2=900+1800p(l-p)2

令g(p)=p(l-p)2,pe(0,1)，则g'(p)=(1-p)2-2p(l-p)=(3p-l)(p-l)

当〃€(0,g)时，g'(，)>0,g(p)在(0,g)上单调递增；

当peg,1)时，g'(p)<0,g(p)在上(g,D单调递减，

•1-g(P)的最大值为g(g)=奈,

4

实施此方案，最高费用为100+9(X)0x(900+1800x—)x107=1150(万元)，

27

•••115()<1200,故不会超过预算.

【点睛】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决

的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

■3万

18.(1)T(2,0)；(2)2,-^-.

o

【解析】

(1)设出P,。的坐标，代入行磔=-5,结合P,。在抛物线＞2=4X上，求得P,Q两点的横坐标，进而求得T

点的坐标.

(2)设出直线加的方程，联立直线〃?的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合可=2而，求得|瓦+屈『的表达

式，结合二次函数的性质求得|以+TB\的取值范围.

【详解】

(1)可知£(一1,0),鸟(1,0),

设。(毛，％)，。(%，一%)

则6P•玛。=-5=(3+1,%)•1-1,-％)=—1一%2,

又＞'2=4x,

所以一5=/2-1-4%

解得$=2,

所以7(2,0).

(2)据题意，直线加的斜率必不为0,

所以设m-.x=ty+\,将直线m方程代入椭圆C的方程中，

整理得(产+2)产+2)-1=0,

设A(M，M)5(4％),

2t

则M1y+%=-再工①

因为用=几瓶，

所以x=九%，且尤＜°，

将①式平方除以②式得$-+&+2=—

%yr+2

所以；l+'+24产

2772

2

丸式一2,—1],又解得0<『4亍

—,—•/、4(*+]

又玉

7X+TB=(+x2-4,yi+y2),xi+x2-4^t(yi+y2)-2=--

288

X+X-4)2+(J,+j)2=16-

所以22-----1-------

/+2(/+2)一

&1

^n=-~

r+2

,71

则〃G

2

717，169

所以惘+珂=8”2—28〃+16=8(/---e4,——

232

uiruir

TA+TBe

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的

坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

19.(1){x|-3<x<3}(2)e(0,+oo)

【解析】

(1)利用零点分段法将/(x)表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.

(2)对。分成。>0,。=0,。<0三种情况，求得了(x)的最小值，由此求得”的取值范围.

【详解】

3x,x>1

(1)当a=2时，/(x)=|2x+l|+|x-l|=%+2,—VxWl,

<2

a1

—3x,x<—

2

由此可知，/(尤)<9的解集为{x|-3<x<3}

(a+l)x,x>1

(2)当a>0时，/(x)=|ox+l|+|x-l|=<(a-1)1+2,—«xW1

一(a+l)x,x<—

a

fM的最小值为/［一5)和/⑴中的最小值，其中=1+：>1,.”D=a+1>1.所以/(©>1恒成立.

当a=0时，/U)=|x-l|+l>l,且/⑴=1,/(x)>l不恒成立，不符合题意.

当a<0时，/(1)=|1+4,/(一=1+/,

若一2«。<0,则故/*)>1不恒成立，不符合题意；

若a<-2,贝”/(一5<1，故/(幻>1不恒成立，不符合题意.

综上，ae(0,+oo).

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方

法，属于中档题.

X2TT371

20.(1)—+/=1;(2)△或三

244

【解析】

(1)先由题意得出匕=c，可得出〃与。的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆。的方程，可求出“与。的值，从而得出

椭圆C的方程；(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，当直线/的斜率不存在时，可求出|MN|,然后进行检验；

当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为丁=去+加,设点M(X1,yJ,N(X2，%)，先由直线/与圆。相切得出心与

上之间的关系，再将直线/的方程与椭圆C的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件|"N|=g得出攵的值,

从而求出直线/的倾斜角.

【详解】

(1)由题可知圆。只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得4=2/,

(1AA2

又点b-在椭圆C上，所以b勺+焉=1,解得/=2,〃=i,

a)a2

2

即椭圆C的方程为r土+y2=i.

2-

(2)圆。的方程为V+y2=l,当直线/不存在斜率时，解得|MN卜及，不符合题意;

IH

当直线/存在斜率时，设其方程为.丫=丘+根，因为直线/与圆。相切，所以十六=1,即根2=1+〃.

将直线/与椭圆C的方程联立，得：

(1+2/卜2+4爪+2加一2=0,

判别式A=-8m2+8+16公=8/>o,即上。0,

设M（X”X）,N（X2，y2），则X[+彳2=]+病,¥2=[，|司-%21=7（%1+X2）2,>

1十乙K1十4K1+，/C

4

所以|MN|=J（X]—工2『+（〉1一%）2=Jl+'后一日=Jl+吊X

D=3

解得2=±1,

所以直线/的倾斜角为£Jr或37r

44

【点睛】

求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于。，4c的方程组,解出a,b,,从而写出椭圆的标准方程.解

决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数

的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用"点差法”解决，往往会更简单.

21.(1)a„—2"(7?GN*)­(2)b“=n,〃eN*.(3)m-4

【解析】

、

a.a-,•••an.an,

，求出｛为｝的通项公式为，再检验的情况即可;

(1)依题意先求出4=2,然后根据4,=—~~—an=2"n=1

a