优选教案：人教B版高中数学选择性必修第三册6.3利用导数解决实际问题

6.3利用导数解决实际问题本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第六章《导数及其应用》，本节课主要学习利用导数解决实际问题导数在解决数学问题中起到工具作用，地位十分重要。运用导数解决生活中的优化问题，体现了数学的应用价值。通过分析实际问题中的数量关系，建立对应的函数模型，运用导数求函数的最值，再回归实际问题进行解释。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算核心素养。课程目标学科素养A.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用.B.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值).1.数学抽象：分析抽象出实际问题中的数量关系2.逻辑推理：最值在生活中的价值3.数学运算：运用导数求函数的最值重点：用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)难点：将实际问题转化为相应的函数模型多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标情景导学在生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容器时，怎样使得用料最少？在经济活动中，怎样使得经营成本最小？等等。这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都成为最优化问题.因为利用导数可以求得最值.所以可以利用导数来求解最优化问题，下面我们举例说明．问题1.如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=1.2km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6km，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？探究1.分别计算下列两种算法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案

（1）先沿AC铺设，再沿CB铺设；

（2）直接沿着线段AB铺设.如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为1.2×50+1.6又因为AB=所以直接沿线段AB铺设,成本为2×50=100万元，如图所示，在岸上取一点D，设计其距离C的距离为xkm,AD=AC2+CD记先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为y万元，则y=501.2因此,当0<xy’令y’>0,可解得因此可知y在[0,90]

上递减，在[0.9,1.6]上递增，从而y在x501.22+x2+30(一、最优化问题生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.二、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤1.分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.2.求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.4.还原到原实际问题中作答.二、典例解析例1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km,现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路,现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km。试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？解：设点C与点B的距离为x

km,运输时间为T(x)T因为T’x因此令T’x>0,可解得x>1252在[1252,300]上递增,从而Tx这就是说，点C选在离点B点为1252时可使运输时间最短例2.如图所示，先有一块边长为1.2m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方形的五盖容器，则容器的容积Vm3立方是结下的小正方形变成xm的函数，(1)写出函数解析式，

(2)为了使容器的容积最大截距的小正方形，边长应为多少？分析:当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大。但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值。解：（1）根据题意可知，容器底面的边长为1.2-2x

m，高为

又因为显然x的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此0<x<0.6,所以（2）由题意有V’=2令V因此可知V在(0,0.2]上递增,在[0.2,0.6）上递减,从而V在x=0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值.用导数解决实际问题的基本过程解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:归纳总结(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.值得注意的是,在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较也可以确定这就是最大(小)值.这也适用于开区间或无穷区间.例3.某种退烧药能够降低的温度R是血液中该药含量M的函数，而且R其中C是一个常数，试求这种退烧药在血液中的含量M为多少时，能够降低的温度最大。解：因为R’=所以由因此可知R在(0,2C]上递增,在[2C,3C)上递减,从而V时取得极大值，而且此时取得最大值例4.已知某型号手机总成本C元是产量Q万件的函数，且C将Q看成能取区间[1,30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低?最低平均成本为多少？解：记平均成本为fQfQ=CQ因为1<Q<30时，有

f’Q=因此可知fQ在[1,10]上递减,在10,30上递增

，从而fQfQ=及当月产量为10万件，是每件产品的平均成本最低最低为400元.通过具体问题的思考和分析，提出生活中的最优化问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对运用导数求解生活中的优化问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。通过典型例题，加深学生对运用导数求解生活中的优化问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。三、达标检测1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x260-x2(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为A.30 B.40 C.50 D.60解析:V(x)=-12x3+30x2,V'(x)=-32x2+60x,令V'(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V'(x)>0,当40<x<60时,V'(x)<0,故V(x)在x=40答案:B2.做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为()A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm解析:设水箱的底面边长为xcm,容积为256cm3,所以水箱的高为256x于是水箱表面积f(x)=x2+4x·256x即f(x)=x2+1024x,f'(x)=2令f'(x)=0,得x=8,所以当底面边长为8cm时用料最省.答案:D3.已知某厂生产某种商品x(百件)的总成本函数为C(x)=13x3-6x2+29x+15(万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(万元),则生产这种商品所获利润的最大值为万元解析:设利润为P(x),则P(x)=R(x)-C(x)=20x-x2-13x3+6x2-29x-15=-13x3+5x2-9所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当1<x<9时,P(x)单调递增;当x>9时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.答案:664.某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)=-18x3+98x2+12x(其中x是该产品的月产量,单位:百台,0<x<8),假定生产的产品都能卖掉,则当公司每月产量为百台时,解析:设销售利润为g(x),依题意,可得g(x)=-18x3+98x2+12x-1-12x=-18x3+98xg'(x)=-38x2+94x=-38x当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,6)上单调递增;在(6,8)上单调递减.所以x=6时,g(x)取得极大值,也是最大值,所以当公司每月生产6百台时,获得利润最大.答案:65.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(吨)与产品的价格P(元/吨)之间的关系为P=24200-15x2,且生产x吨的成本为R=50000+200x元.问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200-15x2)x-(50000+200x)=-15x3+24000x-50000(x由f'(x)=-35x2+24000=解得x1=200,x2=-200(舍去).因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200使f'(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为f(200)=-15×2003+24000×200-=3150000(元).答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩