2022届福建省福州高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知四棱锥S-A3CD中，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC,NBAD=120°，ASAD是等边三角形，且

SA=AB=20若点P在四棱锥S-A3CD的外接球面上运动，记点P到平面ABCZ）的距离为d,若平面

平面ABCD,则d的最大值为（）

A.713+1B.V13+2

C.V15+1D.V15+2

2.对于任意xeR,函数f。）满足/（2-幻=一/（力，且当X..］时，函数/（x）=G1.若

a===则”,b,c大小关系是（）

A.h<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

3.已知双曲线C:4-*=1（“>0/>0）的一条渐近线的倾斜角为。，且cosO=x5,则该双曲线的离心率为（）

a-匕5

4,阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数Z（Z>O,ZW1）的点的轨

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为注，当P,A,

B不共线时，APA3的面积的最大值是（

2亚

A-2aB.O

已知向量a=（l,4）,b=（-2,ni）,若|。+〃|=|。一石|,则加二（

6.tan570=()

A.2B.植C.6D.走

332

7.已知非零向量£、b>若W=2问且|2£-]=6忖，则向量坂在向量”方向上的投影为()

A.郛B.胴C.一郛D.一躯

8.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

则球的体积为()

D.

好、。二

9.已知函数/(无)=尸-x'x-a(。>()),若函数g(x)=/(x)-川x|有三个零点，则。的取值范围是()

5-x,x>a

A.(0,1)U[5,+8)B.(0,1)U[5,+«))

C.(1,5]D.(1,5J

10.已知定义在R上的奇函数/*)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=a'-「+2">0且"1),若g(2)=a,

则函数/任+2耳的单调递增区间为()

A.(-1,1)B.(F,I)C.D.(~l,4w)

11.已知复数二芳=1一次，其中a,beR,i是虚数单位，贝!||。+初|=()

A.-l+2zB.1C.5D.V5

12.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数

学成绩分析.

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间［口0=0］内;

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；

④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.

其中正确的个数为（）

A.4D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某次足球比赛中，A,B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C,8对阵。，获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABCD

A获胜概率—0.40.30.8

8获胜概率0.6—0.70.5

C获胜概率0.70.3—0.3

。获胜概率0.20.50.7—

则A队获得冠军的概率为.

n

14.若a=/^(d+cosx心，贝！J(X-的展开式中含X的项的系数为

~2

15.在三棱锥尸一48c中，三条侧棱24、PB、PC两两垂直，PB=PA+1,PA+PC=4,则三棱锥尸一ABC外接

球的表面积的最小值为

22

16.已知椭圆土+匕=1的左焦点为尸，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点。为圆心，|。尸|

95

为半径的圆上，则直线PE的斜率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知外)=|x+3卜M2|

(1)求函数/W的最大值

]2336

(2)正数a,b,c满足〃+25+3c=〃z,求证：—I---1—2—.

abC5

18.(12分)已知在A4BC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,A/WC的面积为------

2cosC

(1)求证：tanC=sinAsinB；

(2)若。=工，求cos(A-B)的值.

6

x=

19.(12分)在平面直角坐标系x。)，中，曲线。的参数方程为《一(机为参数).以坐标原点。为极点，x轴正半轴

y=2m

为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为「sin夕一夕cos9+1=0.

(I)求直线/的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

/、11

(H)已知点P(2,l),设直线/与曲线C相交于M,N两点，求西+的的值.

221

20.(12分)已知椭圆C:[+]=l(a>b>0)的离心率为;，直线底一y—6=0过椭圆C的右焦点尸，过E的

ah2

直线加交椭圆。于M,N两点(均异于左、右顶点).

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知直线/:x=4,A为椭圆。的右顶点.若直线AM交/于点P，直线AN交/于点。，试判断(乔+而)•丽

是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.

21.(12分)已知四棱锥P—ABCZ)中，底面ABCD为等腰梯形，AD||BC,PA=AD=AB^CD=2,BC=4,

Q4_L底面A3CD.

(1)证明：平面平面Q钻；

(2)过帖的平面交BC于点E,若平面Q4石把四棱锥ABC。分成体积相等的两部分，求二面角A—的

余弦值.

22.（10分）椭圆E：,+，=l（a＞人＞0）的离心率为乎，点出吟为椭圆上的一点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若斜率为攵的直线/过点A（O,l）,且与椭圆E交于C,。两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的实数攵，

直线BC,BD的斜率之积为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据平面SAD_L平面A8CO,四边形ABCD为等腰梯形，则球心在过8c的中点E的面的垂线上，又猿⑦是等

边三角形，所以球心也在过ASAD的外心尸面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.

【详解】

依题意如图所示：

取8。的中点E,则E是等腰梯形ABC。外接圆的圆心，

取尸是△必£）的外心，作OE_L平面48。。,0/，平面5?",

则。是四棱锥S-ABCD的外接球球心，且OR=3,S尸=2,

设四棱锥的外接球半径为R,则代=S尸+O尸=13,而OE=1,

所以dgx=R+OE=«+1，

故选：A.

【点睛】

本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.

2.A

【解析】

由已知可得”,一)的单调性，再由/(2-％)=-/(幻可得/(X)对称性，可求出/(X)在(9,1)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数/(x)满足/(2-幻=一/(幻，

因为函数/(x)关于点(1,0)对称，

当时，/(x)=是单调增函数，

所以/(x)在定义域R上是单调增函数.

因为-"沁'所以

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..

3.A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为c,由题意夕日0,乃)

又cosB=^~,则sin。=2：,tan0—1,—­=2,所以离心率e=士=1+=布,

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

4.A

【解析】

根据平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为也，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

2

合求解.

【详解】

如图所示：

化简得(x+3>+y2=8,

当点P到AB(x轴)距离最大时，AE48的面积最大，

AAR48面积的最大值是，x2x20=2jl.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

5.B

【解析】

先求出向量£+九°-/；的坐标，然后由|£+加=|£-均可求出参数加的值.

【详解】

由向量a=(1,4),h-(-2,m),

贝!]a+B=(T,4+m),a-b-(3,4—

|£+川=jF+(4+〃?y,|a-fo|=^32+(4-w)2

y.\a+b^a-b\,贝!I,产+仲+加了={32+(4一〃，解得,〃=g.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

6.A

【解析】

直接利用诱导公式化简求解即可.

【详解】

n

tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=Za/i30°=—.

3

故选:A.

【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

7.D

【解析】

设非零向量“与坂的夹角为凡在等式pi-两边平方，求出cos。的值，进而可求得向量B在向量3方向上

的投影为Wcos。，即可得解.

【详解】

咽=2同，由忸一母=百夫得肉一甲=3件，整理得2了一2U片=0，

二.2加一2.卜2,卜056-4卜|=0,解得cos0=-；,

因此，向量B在向量£方向上的投影为Wcos6=-;用

故选：D.

【点睛】

本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.

8.A

【解析】

设球心为二，三棱柱的上底面二二二.二,的内切圆的圆心为二,，该圆与边二，二,切于点二，根据球的几何性质可得二二二二

为直角三角形，然后根据题中数据求出圆二半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设二棱柱为----__；一；—；,且—=c—=5—=13，高—‘二夕

所以底面--------为斜边是--的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆-，圆-与边--切于点-,

J—T」/TT-jTTTJ

则圆_的半径为.

-JLl_//+二一»

设球心为二，则由球的几何知识得二二二二为直角三角形，且二二=

所以，

即球二的半径为人5,

所以球二的体积为.

-x□X(2柄3=婚•

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

(1)构造以球半径二、球心到小圆圆心的距离二和小圆半径二为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，

这是解决与球有关的问题时常用的方法.

(2)若直角三角形的两直角边为--，斜边为-，则该直角三角形内切圆的半径_____,合理利用中间结论可提

1，J1L_口+口一口

J~~A

高解题的效率.

9.A

【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.

【详解】

作出y=/-x和y=5-x,＞=4]乂的图像如下所示：

函数g(%)=/(%)-4kl有三个零点，

等价于＞="％)与＞=4国有三个交点，

又因为。〉0,且由图可知，

当xWO时＞=/(力与＞=4W有两个交点A,0,

故只需当x＞0时，＞=〃力与y=4国有一个交点即可.

若当x＞0时，

ae((),l)时，显然=(口)与=4||有一个交点，故满足题意；

。=1时，显然=□(「)与口=4|「|没有交点，故不满足题意；

ae(l,5)时，显然口=□(口泻口=4口他没有交点,故不满足题意；

aw[5,+8)时，显然y=/(x)与丁=4国有一个交点C,故满足题意.

综上所述，要满足题意，只需ae(O,DU[5,+8).

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.

10.D

【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进而求出。，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【详解】

依题意有/(x)+g(x)=ax-a-x+2,①

/(-x)+g(-x)=ax-ax+2=-f(x)+g(x),②

①-②得f(x)=ax-a~\g(x)-2,又因为g(2)=a,

所以a=2J(x)=2'-2T,/(x)在R上单调递增，

所以函数/(d+2x)的单调递增区间为(-1,+8).

故选:D.

【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

11.D

【解析】

试题分析：由上丝=1一万，得2—ai=i(l—初)=—1/=2,贝！］

a+bi^-l+2i,:.\a+bi\^\-l+2i\=^(-1)2+22=亚,故选D.

考点：1、复数的运算；2、复数的模.

12.C

【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可.

【详解】

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高：“分，平均成绩为低于分，①错误；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间［30,二0内，②正确;

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；

④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3；

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x04=0.2；

若D进入决赛，D胜B的概率为0.5,则A胜D的概率为05x0.8=0.4；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3X(0.5x0.44-0.5X0.8)=0.18.

故答案为：0.18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

14.-80

【解析】

首先根据定积分的应用求出a的值，进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.

【详解】

根据二项式展开式通项：［亍J=G，(—2)'“-3,

4

令5-1尸=1,解得厂=3,

所以含x的项的系数(-2)3=-8().

故答案为：-80

【点睛】

本题考查定积分，二项式的展开式的应用，主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.

15.14万

【解析】

设=可表示出PB,PC,由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得

外接球表面积.

【详解】

设24=x则PC=x+1,PC=4—x,由尸A,PB,PC两两垂直知三棱锥P-ABC的三条棱PA,PB,PC的棱长的平方

和等于其外接球的直径的平方.记外接球半径为广，

:.2r=^2+(%+1)2+(4-^)2=A/3X2-6x+17

当x=l时，2%“=内，％_=等，5釜=4兀［半)=14-

故答案为：14兀.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等

于这三条侧棱的平方和.

16.V15

【解析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用

焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】

方法1：由题意可知|OF|=QM|=c=2,

由中位线定理可得|尸耳|=21|=4,设P(x,y)可得(％-2)2+丁=16,

x22

联立方程匕+v匕=1

95

321

可解得》=一-,犬=一(舍)，点。在椭圆上且在％轴的上方,

22

(C叵

Q/lC|

求得P~2,2，所以即〃=十=后

\7—

2

y

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|0F|=|0M|=c=2,

3

由中位线定理可得归耳|=21|=4,即a=4n%=-万

(L、回

求得尸~^2，~~2~，所以*=：=.

\/—

2

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的

重要途径.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)m=5(2)见解析

【解析】

(1)利用绝对值三角不等式求得了(力的最大值.

(2)由(1)得a+如+3c=5.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“1的代换”的方法，结合基

本不等式证得不等式成立.

【详解】

(1)由绝对值不等式性质得/(X)=1X+31-1x-2区|(X+3)-。-2)1=5

(x+3)(x-2)>0

当且仅当［卜+3〉卜_2|即xN2时等号成立，所以m=5

(2)由(1)得a+2Z?+3c=5.

法1：由柯西不等式得

[(6)2+(回尸+(辰)2

>(4ax-+y/2bx£+阮XJ3)2=(l+2+3)2=36

a

当且仅当a=b=c=3时等号成立,

6

123…12336

即5|—F-H—|36,所以—I---1—>—.

babc5

,,,icl3a2b3c

法2：由Q+2Z?+3C=5得1+丁+彳1,

1231232b3c

—+—+—二—十—+—+一+一

abcahc55

—1I--2--b-1--3--c--1--2-a---1-4---1-6--c--1-3--a--1-6-b---1—9

55a5a5b55b5c5c5

142h2a3c3a6c6b

——j-——十——+——+—+一十一

55a5b5a5c5b5c

、14461236

>—+—+—+—=—,

55555

当且仅当a=b=c=-时“=”成立.

6

【点睛】

本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题.

18.（1）证明见解析；（2）也.

6

【解析】

（1）利用^-ahsinC,利用正弦定理，化简即可证明tanC=sinAsinB

2cosC2

(2)利用(1),得到当C=[时，sinAsinB=立,

63

得出cos(A+B)=-cosC=得出cosAcosB=一

626

然后可得cos（4-B）

【详解】

c1

证明：(1)据题意，得-------=-absinC

2cosC29

：•c2="sinCeosC，

：•sin2C=sinAsinBsinCcosC•

又...Cee，I),

:.sinC=sinAsinBcosC,

:.tanC=sinAsinB.

解：(2)由(1)求解知，tanC=sinAsin

・••当C=§时，sinAsinB=­・

63

Xcos(A+B)=-cosC=-cos^=,

6

：•cosAcosB-sinAsinB=------,

2

・・cosAcosn=----，

6

:.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

=.也+走

63

-6,

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题

4

19.(I)直线/的直角坐标方程为x-y-l=0；曲线C的普通方程为丁=4x；(II)

【解析】

(I)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(II)将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得4+，2=2&,柩2=-14,而根据直线参数方程的几何意义，知

止匐』幻一逑,代入即可解决.

1PMi\PN\|rj\t2\他IMM

【详解】

(I)由x=pcos0,y=psin0,

可得直线/的直角坐标方程为x-y-1=0.

由曲线C的参数方程，消去参数机，

可得曲线C的普通方程为丁=4x.

fcV2

(n)易知点P(2,I)在直线/上，直线/的参数方程为＜(/为参数).

V=1+----1

V2

将直线I的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得产一2万-14=0.

设4也是方程产一2"-14=0的两根，则有％=20环2=-14.

,1।1一1।1/“+四_」一'二，6+幻2-4格

・西两F-M~

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

22

20.(1)—+^-=1(2)定值为0.

43

【解析】

(1)根据直线方程求焦点坐标，即得c,再根据离心率得a,〃，(2)先设直线方程以及各点坐标,化简(而+而)•砺,

再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.

【详解】

(1)因为直线底一y-G=0过椭圆。的右焦点尸，所以E(l,0)，c=l,

22

因为离心率为1，所以£=,.•.2'.,b=>/3/.――+―1,

2a243

(2)A(2,0),设直线机：x="+l,.〃(七,必)%(%2，%)

贝！JAM:y=3(x-2).-.P(4,且

X1—2Xj—

AN:y=(x-2)Q(4,

X)—2Xj—2

因此（丽+豆）•丽=（3+3,-^+-^）・。，一西，％-%）

X）-2X2-2

=6（z-再）+（%-X）（秘）+2^）

玉一2x2-2

=(>2_y)6+(J

22

由x=fy+L—+—=1得(3/+4),2+6)-9=0,

43

山I”一6?-9

所以乂+%=仃，"2=正门

—36/⑵-24/

3/+43/+4_3/'+4_

因此;

—9/6r-4-

3r2+4+3r2+4+13z2+4

即（而+而）•丽=0.

【点睛】

本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.

4

21.（1）见证明；（2）-

7

【解析】

（D先证明等腰梯形ABC。中ACJ.AB,然后证明R4_LAC,即可得到AC_L平面Q43,从而可证明平面PAC

_L平面R48；（2）由V：棱锥人ABE=%棱锥P-ABCO，可得到SMBE=S梯形AECD，列出式子可求出6E,然后建立如图的空

间坐标系，求出平面Q4E的法向量为百，平面的法向量为后，由cos（雇用卜售鲁可得到答案.

m

【详解】

(1)证明：在等腰梯形ABC。，AD\\BC,AD=AB=CD=2,

易得NABC=60°

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

则有A^+AC?=8。2,故AC,

又平面ABC。，ACu平面ABC。，AC,

AC±AB

即>n4CJ>平面246,故平面PAC_L平面Q4B.

ACLPA

(2)在梯形ABC。中，设BE=a,

K三棱锥P-ABE=%棱锥--48。＞•'•^MBE~'梯形AEC。'

1(CE+AD)xh工r-~「

：.-xBAxBEsinNABE=-------『—，而〃=物-F=百,

即J_x2xax立=(4一4+2卜色.。=3.

222

以点A为坐标原点，A3所在直线为x轴，AC所在直线为3轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则

(\3/3、

4(0,0,0),尸(0,0,2),5(2,0,0),E-,^-,0,