2022届中考数学压轴题含答案解析

2022年中考数学压轴题

1.已知直线y=Ax-2与抛物线y=，-bx+c（%,c为常数，b>0）的一个交点为N（-1,

0）,点/（〃?，0）是x轴正半轴上的动点.

（1）当直线/=丘-2与抛物线y=x2-fec+c（6,c为常数，b>0）的另一个交点为该抛

物线的顶点E时，求k,b,c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与了轴的交点为C,若点。在抛物线上，且点。的

横坐标为b,当S&EQM=$AACE时，求"？的值；

-I厂27V2

（3）点。在抛物线上，且点。的横坐标为b+亍当何M+2。”的最小值为一^时，

求人的值.

解：（1）•.•直线y=fcr-2与抛物线y=f-bx+c（b,c为常数，b>0）的一个交点为/

（-I,0）,

-%-2=0,l+b+c=0,

:・k=-2,c=-b-1->

，直线y=Ax-2的解析式为y=-2x-2,

__b4c—

•・•抛物线y=7-bx+c的顶点坐标为E（-,---）,

b—4b—4―力2

：.E（-,---------）,

24

•・,直线丁=-2r-2与抛物线-云+《（b,c为常数，b>0）的另一个交点为该抛物

线的顶点区

2

—4b—4-b=-2x?-2,

4

解得，b=2,或b=-2（舍）,

当6=2时，c=-3,

：.E(1,-4),

故％=-2,b=2,c=-3,E(1,-4)；

(2)由(1)知，直线的解析式为y=-2x-2,抛物线的解析式为^=$-2%-3,

：.C(0,-3),Q(2,-3),

如图1,设直线y=-2x-2与y轴交点为N,则N(0,-2),

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图1

:.CN=1,

•'"S^ACE—S&ACN+S&ECN=2*1*1+2、1*1=1,

-e_1

,・%EQM—2，

设直线E。与x轴的交点为。，显然点A/不能与点。重合，

设直线E0的解析式为y=dx+〃(dWO),

则qt+n=Z3,

解得，F=i

m=—5

，直线EQ的解析式为y=R-5,

：.D(5,0),

^S^EQM=S^EDM-S^QDM=聂Mx|-4|-^DMx|-3|=*DM=i|5-m\=p

解得，加=4,或〃2=6；

(3)・・•点。yo)在抛物线-1上，

・'y。=(b+I-b(b+^)-6-1=-&-率

可知点Q(6+1T-)在第四象限，且在直线x=b的右侧，

z乙。

■:五AM+2DM=2(孝力例+DM),

，可取点N(0,1),则NO4N=45°,

如图2,过£＞作直线ZN的垂线，垂足为G,0G与x轴相交于点”，

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则此时点〃满足题意，

过。作。”_Lx轴于点〃，则点0),

在中，可知/£>M"=NMD，=45°,

：.DH=MH,DM=y/2MH,

•.•点M(加，0),

0-(—^—^)(b+卞-m,

解得，m=1

,:■AM+2DM=q

/.V2[(1-1)-(-1)]+2V2[(fa+1)-(1-1)]=

解得，b=3,

此时，/H=>0,符合题意，

：.b=3.

2.已知，抛物线、=。/+。工+力（aWO）与直线y=2x+加有一个公共点"（1,0）,且aVb.

（1）求b与〃的关系式和抛物线的顶点。坐标（用。的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为M求的面积与。的关系式；

（3）。=-1时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、〃关于原点对称，

现将线段G4沿歹轴向上平移£个单位（/>0）,若线段GH与抛物线有两个不同的公共

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点，试求，的取值范围.

解：(1)...抛物线卜=*+办+6有一个公共点M(1,0),

.,.a+a+b=0,即b=-2a,

・？9179a

/•y=ax£+ax+b=ax£+ax-2a=a(x+])2—不，

.♦•抛物线顶点。的坐标为(一5一半)；

(2)•.•直线夕=2什加经过点加■(1,0),

・・・O=2Xl+〃7,解得加=-2,

••y=2x-2,

n.(y=2x—2

则,

(y=axL4-ax-2a

得ax2+(a-2)x-2Q+2=0,

:.(x-1)(OX+24-2)=0,

解得x=l或冗=，-2,

,一24

・..N点坐标为(——2,——6),

aa

■:a〈b,即a<-2a,

Aa<0,

如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,

V抛物线对称轴为X=-为=-i

1

:.E(一天-3),

24

，：M(1,0),N(一一2,一—6),

aa

设的面积为S,

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・・S=SaO£v+S4o£M=W(~—2)-1|*|——(-3)|=———g~a，

(3)当〃=-1时，

抛物线的解析式为：^=-，-无+2=-(1+分斗/

七2

^[(y==--2%x-%+29

-x2-x+2=-2x,

解得：xi=2,xi=-1,

：.G(-1,2),

•・,点G、〃关于原点对称，

：.H(1,-2),

设线段平移后的解析式为：＞=-2x+t,

-x2-x+2=-2x+t,

x2-x-2+，=0,

△=1-4(Z-2)=0,

9

t=4f

当点〃平移后落在抛物线上时，坐标为(1,0),

把(1,0)代入歹=-2x4-/,

:.t=2,

・,・当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，1的取值范围是2W/V*.

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3.如图，在RtZ\43C中，ZACB=90（＞,以斜边上的中线CQ为直径作O。，与BC交

于点与48的另一个交点为瓦过区作MN_L48,垂足为M

（1）求证：MN是OO的切线;

•・・OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC,

在RtZ\4BC中，CD是斜边45上的中线,

:.CD=：AB=BD,

：・/DCB=/DBC,

：・/OMC=/DBC,

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：.OM〃BD,

■:MNLBD,

〈OM过O,

・・・MN是OO的切线;

(2)解：连接DM,CE,图2

•・・c。是。。的直径,

：.ZCED=90°,NQMC=90°,

HPDMLBC,CEVAB,

由(1)知：BD=CD=5,

・•・〃为8C的中点，

3

•/sin^=耳，

4

/.cosB=百，

在RtZ\8M。中，BM=BD・cosB=4,

:・BC=2BM=8,

在RtACAB中，BE=BC・cosB=考，

327

：.ED=BE-BD=苦-5=g.

4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点4,B,。0的半径为八

（1）如图1,点C在点Z,8之间的优弧上，NMPN=80°,求//C8的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形/P8C为菱形，N4PB的度

数应为多少？请说明理由；

（3）若PC交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，•的式子表示）.

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图1图2（备用图）

【解答】解：（1）如图1,连接04OB,

图1

'：PA,P8为。。的切线，

弘O=/P8O=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360,,,

AZAPB+ZAOB=1SO°,

：N"8=80°,

...N/08=100°,

AZJCB=50°；

(2)如图2,当N/P8=60°时，四边形4P8C是菱形,

连接04,OB,

由(1)可知，N4OB+N4PB=18。°,

VZAPB=60°,

：.ZAOB=120°,

ZACB=60°=/APB,

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•.•点C运动到PC距离最大，

...PC经过圆心，

'：PA,P5为。。的切线，

：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

又,：PC=PC,

:.△APCQABPC(SAS),

，N/CP=/8CP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

：.AP=AC,

:.AP=AC=PB=BC,

四边形/P8C是菱形；

(3):。。的半径为r,

：.OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=9Q°-4尸0=60°,

前的长度=618；0r=^-r,

.•.阴影部分的周长=R(+PD+丽=每+厂+货=(V3+1+J)r.

5.如图，以为OO的切线，P8C为。。的割线，4DLOP于点£>,△/OC的外接圆与8c

'：OALAP,ADLOP,

二由射影定理可得：PA2^PD'PO,4D2=PD・OD.…（5分）

又由切割线定理可得PA1=PB'PC,

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:.PB・PC=papo,

:・D、B、C、。四点共圆，…(10分)

AZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/PBD=/COD,

:•△PBDs^cOD,

PDBD、

(15^)

BD・CD=PD・OD=AD2,

.BDAD

••布二CD'

又NBDA=/BDP+90°=ZOZ)C+90°=ZADC,

:./XBDAsAADC,

:.NBAD=NACD,

：.AB是△/OC的外接圆的切线,

6.如图，点4为y轴正半轴上一点,48两点关于x轴对称，过点N任作直线交抛物线y=|%2

于P,。两点.

(1)求证：NABP=NABQ；

(2)若点/的坐标为(0,1),且NP8Q=60°,试求所有满足条件的直线尸。的函数

解析式.

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【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点力的坐标为（0,力，则点8的坐标为（0,-t）.

设直线的函数解析式为了=履+。并设P,。的坐标分别为（XP,yP\CXQ,yQy由

y=kx+t

y=1x2

27

得石—fcx—t=0,

于是=一方3即t=-1xp%Q.

|%p2+t京p2-1%p%Q|xp(Xp-XQ)

…BCyp+t_Xp_

于是—=一?

BD%+£/?2+tlxQ2-lxPxQ声Q(x<?TP)一XQ

eiPC