2022年高考数学考前30天题型突破专题7解析几何（新高考）新解析版

2022年高考数学考前30天题型突破专题7：解析几何

一、高考规律揭秘

1.规律小结

平面解析几何是中学数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。每年高考卷的

必考题，T殳是两小一大，但今年的新高考工卷和全国甲卷、乙卷是三小一大，这样增加了

其分值；从题目位置看相比往年难度适当降低。分析近三年高考试题不难发现，高考对解析

几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应

用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。具体呈现以下规律：

(1)基础性：高考通过对直线和圆、圆锥曲线的概念和几何性质等基础知识、基本方

法的考查，增强了考查内容的基础性；同时通过对解析几何基础知识、基本技能、基本思想

方法、基本活动经验的全面覆盖，考查考生逻辑思维能力和运算求解能力等，从而促进学科

素养的提升，提高考生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力；同时今年高考

题解析几何的小题难度适当降低，并且打破了传统的解析几何解答题以椭圆为首，抛物线次

之，双曲线再次之的认知。

(2)综合性和应用性：解析几何沙及知识点多，高考通过综合设计试题，将多个知识

点街接起来，如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念和几何性质相结合考查，或

者结合平面向量、函数(三角函数\不等式等学科内容进行考查。要求考生从整体上把握

各种现象的本质和规律，能综合应用所学知识、原理和方法来分析和解决问题。

(3)创新性和选拔性：创新意识是理性思维的高层次表现。分析近三年高考题发现其

重点考蛰的学科素养是理性思维和数学探索。高考数学在对解析几何的考查中，充分利用学

科特点，加强对考生创新能力的考查。主要途径有：增强试题的开放性和探究性，加强独立

思考和批判性思维能力的考查；通过创设新颖的试题情境，创新试题呈现方式，考查考生的

阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出具有一定跨度和挑战性的问题，引导考生进行深人

思考和探究，展现考生分析问题和解决问题的思维过程，以考查考生数学应用与数学探索学

科素养，体现选拔功能。

3.考点频度

高频考点：直线与方程、圆与方程、椭圆、抛物线、双曲线的概念及几何性质、直线与

圆锥曲线的位置关系及其综合问题。

4.备考策略

从近三年的高考数学来看，本专题考查内容覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，突

出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养.根据对本专题高考试题的分析，现

给出如下备考建议：

(1)回归教材，注重基础，建构知识网络。

高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合，如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和几

何性质、直线与曲线位置关系等，而且不回避热点，如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心

率问题、弦长问题等。仔细对比可以发现，每年的高考试题大都由课本习题改编而来，源于

课本，又高于课本。因此平时复习要回归课本，同时重视课本题目的引申，使考生了解知识

的发生、发展和应用过程，夯实考生的基础知识，使考生掌握解决问题的一般方法。

(2)重视B1锥曲线的定义及其几何性质，切实提升考生利用数形结合思想与转化思想

解决问题的能力。

代数法(坐标法)是解决解析几何问题的通性通法，但解析几何问题的本质是几何问题，

利用题干图形的几何性质解答，往往能避开繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍

的效果。纵观近三年的高考试题，很多题目都离不开图形分析，而且需要考生自己作图。因

此在平时的教学中，要训练考生准确作图和识图能力，培养其数形转化意识，提升解题能力

和效率。

(3)多角度审视，注重一题多解，把握问题的本质。

解析几何的试题一般人口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同解法间运算量的

差异很大，有的是“可望而不可及二为此，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比

较，研究图形的几何特征，以掌握处理代数式的一般方法，明确不同方法的差昇和联系，使

每位考生找到自己最擅长的方法。要达到这样的目的，关键是对问题本质的把握。只有多

角度审视，看清问题的实质，才能发现最佳的突破口。

(4)夯实基本技能和基本方法，提升学科核心素养。

高考复习不仅是简单地“刷题”，平时解题的目的应重点放在巩固、加深对概念的理解、

训练和提升基本技能、熟练掌握基本方法上。例如圆锥曲线与方程这一专题的基本技能和方

法主要是借助坐标系用代数方法表示和研究曲线，同时要注重几何直观的作用及观察特殊情

况(斜率不存在或为零等特殊情况)猜出一般结论的方法,例2021年新高考I卷第21题第

2问考生可从点T在x轴这个特殊位置下得出两直线斜率和为0,自然猜想一般情况下也有

这样的结论。利用的知识技能方法包括数形转化以及向量转化等知识。

(5)加大训练力度，侧重培养考生逻辑思维能力和运算求解能力。

根据高考评价体系的整体框架，高考数学学科提出了五大关键能力：逻辑思维能力、运

算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力。解析几何问题是中学数学的综合

应用问题。对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较高。好的思路是通过一定的运算、推理

等数学语言表达出来的.因此在平面解析几何专题复习过程中，提升考生的逻辑思维能力和

运算求解能力尤为重要。因此平时要引导考生进行以运算为主的练习和规范严密的思维分析

训练。在运算时注重一题多解的方法,选取恰当的解法能起到事半功倍的效果，以便使考生

在考场上尽可能多得分。

二、高考试题精练

1.(2021年全国新高考I卷数学3】已知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆,

则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2ac.4D.4&

【答案】B

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为

所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则用=2"

解得1=2垃.

故选：B.

22

2.【2021年全国新高考I卷数学5】已知耳，B是椭圆C：二+2-=1的两个焦点，点加

94

在。上，贝用的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得至居卜2a=6,借助基本不等式

I"耳㈤"周即可得到答案.

、2>

【详解】由题，“2=9/2=4,贝1]|町|+|咋|=2。=6,

所以附/讣悭用/幽土四]=9（当且仅当|g|=|M段=3时，等号成立）.

12,

故选：C.

【点睛】桶圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式

得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可

快速求解.

3.[2021年全国新高考1卷数学Ml.已知点P在圆（x—5）2+（y—5）2=16上,点A（4,0）、

3（0,2）,则（）

A.点尸到直线AB的距离小于1()

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=372

D.当NP8A最大时，|尸耳=3

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断

AB选项的正误；分析可知，当NPBA最大或最小时，P3与圆M相切，利用勾股定理可判

断CD选项的正误.

【详解】圆(x—5)2+(y—5)2=16的圆心为例(5,5),半径为4，

直线AB的方程为5+5=1，即x+2y-4=0,

圆心M到直线AB的距离为M〉4,

6+^£2、==

彳百V55

所以，点尸到直线A8的距离的最小值为止5-4<2,最大值为小6+4<10,A选项

55

正确，B选项错误;

如下图所示:

当NPBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM,可知PWLPB，

忸A1|=J(0-51+(2-5)2=庖,\MP\=4,由勾股定理可得

\BP\==30,CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为/"的圆C相离，圆心C到直线/的距离为则圆C

上一点P到直线/的距离的取值范围是[〃一厂,1+r].

4.【2021年全国新高考1卷数学】14.已知。为坐标原点，抛物线C：丁=2庶(〃>。)

的焦点为八P为C上一点，PE与x轴垂直，。为》轴上一点，且若|广。|=6,

则C的准线方程为.

3

【答案】x=一二

2

【解析】

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得。，即得结果.

【详解】抛物线C：y2=2px(P>0)的焦点

:P为C上一点,尸产与x轴垂直，

所以P的横坐标为R,代入抛物线方程求得P的纵坐标为土〃，

2

不妨设P(§P),

因为Q为x轴上一点，且所以。在F的右侧，

又vl/QbG,

umn

・•.Q(6+gn,0),「.PQ=(6,-p)

因为PQ_LOP,所以而•丽=^x6—p2=0,

Qp>0,/.p=3,

3

所以。的准线方程为了=一二

2

3

故答案为：x=――.

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

5.【2021年全国新高考I卷数学14】已知。为坐标原点，抛物线C：尸=2〃无(，>())的

焦点为尸，P为。上一点，PF与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQLOP,若忻。|=6,

则C的准线方程为.

3

【答案】x=-一

2

【分析】

先用坐标衣示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，，即得结果.

【详解】

抛物线C：y2=2px(P>0)的焦点呜,0)

为。上一点，PF与x轴垂直，

所以P的横坐标为“，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土P,

2

不妨设P(弓,p),

因为Q为x轴上一点，且尸QLOP,所以Q在F的右侧，

又v|FQI=6,

num

・•.Q(6+gn,0),...PQ=(6,—p)

因为PQ_LOP,所以项丽=^x6—p2=0,

Qp>0,:.p=3,

3

所以。的准线方程为工二一一

2

3

故答案为：x=——.

2

【点睛】

利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

6.【2021年全国新高考1卷数学21】在平面直角坐标系xOy中，己知点耳卜’万,0)、

鸟(丁万,0月“周一|加用=2,点知的轨迹为口

(1)求。的方程；

(2)设点T在直线x=!上，过T的两条直线分别交。于A、B两点和产，。两点，且

2

|力4卜\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

v2

【答案】（1）x2-^-=l（x>l）；（2）0.

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点片、尸2为左、右焦点双曲线的右支，求

出“、匕的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）设点设直线AB的方程为=设点A（x，y）、3（%,%），

联立直线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出|力味|7»|的表达式，设直线PQ的斜

率为42,同理可得出17H•忸。|的表达式，由|刀仆|用=|7斗忸。|化简可得K+&2的值.

【详解】因为|昭|一|此|=2<|6闾=2旧,

所以，轨迹C是以点耳、工为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹。的方程为——方=1（。>0/>0）,则2〃=2,可得。=1,〃=J17-=4,

2

所以，轨迹C的方程为V—21=1（x21）；

161）

（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，

不妨直线的方程为=即,=女声+/_<人，

,1,

V=K,X4-Z-----K,

联立彳121,消去y并整理可得

16x2-y2=16

俯_16卜2+左0_6+0_；占）+16=0.

设点A（X，X）、B（x2,y2）,则%>（且

k1—2k[ft—ktj+16

由韦达定理可得乒百'I』

所以,

同附=（1+6）卜一扑2寸=（1+6）卜2—詈+£p+：”；）

,,,,仔+12）（1+娟

设直线PQ的斜率为42，同理可得17PH7。|=^----卢———

16

（/+⑵（1+特）（『+12）（1+6）

因为|力4卜|!8上|研17。|,即整理可得片=后,

片-16后—16

即（4_&）（4+&）=o,显然。一网）0,故c+&2=o.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

7.【2021年全国新高考2卷数学3】抛物线y2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离

为也,,则夕=（）

A.1B.2C.20D.4

【答案】B

【解析】

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为

I，7

K-0+1

其到直线x—y+l=0的距离：2

d厅

VT+T

解得：〃=2（〃=一6舍去）

故选：B.

8.【2021年全国新高考2卷数学11.］己知直线/：以+刀一，=。与圆。：/+,2=产

点A（a,加，则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C

相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C

相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为/+/,产的大小关系，结合点到直线的距离

及直线与圆的位置关系即可得解.

r2

【详解】圆心c（o,o）到直线/的距离〃=

>Ja2+b2

若点A（a,。）在圆C上，则/+从=,，所以Q=:

y］a2+b2

则直线/与圆C相切，故A正确;

若点A（a,b）在圆C内,则所以d川，

yja2+b2

则直线/与圆C相离，故B正确;

若点A（a,8）在圆C外，则〃+〃＞，，所以］=二=^＜比

\la-+b-

则直线/与圆C相交，故c错误；

若点A（a⑼在直线/上，则〃+U—r=0即/+〃寸2,

所以=直线/与圆相切，故正确.

d=—V77F11CD

故选：ABD.

22

9.【2021年全国新高考2卷数学13.］已知双曲线与一今=1（“＞0/＞（））的离心率为2,

则该双曲线的渐近线方程为

【答案】y=±\/3x

【解析】

b2

【分析】由双曲线离心率公式可得7=3,再由渐近线方程即可得解.

x2

【详解】因为双曲线。=l(a>0/>0)的离心率为2所以

所以4=3,则该双曲线的渐近线方程为y=±-x=±V3x.

a-a

故答案为：y-±＞/3x.

10.【2021年全国新高考2卷数学20.】已知椭圆。的方程为=+[=1（。＞/7〉0）,右焦

CTb~

点为F（虚,0）,且离心率为逅.

3

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线f+y2=b2（x＞（））相切.证明：M,

N,产三点共线的充要条件是|MN|=百.

【答案】（1）—+/=1；（2）证明见解析.

3

【解析】

【分析】（1）由离心率公式可得a=当，进而可得从，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证

|"N|=6;

充分性：设直线脑7:卜=依+反（例＜0）,由直线与圆相切得从=左2+1，联立直线与椭

圆方程结合弦长公式可得=进而可得&=土1,即可得解.

1+3公

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c=女且e=£=Y6,所以a=J3,

a3

v.2

又。2=〃一c2=l，所以椭圆方程为二+丁=1；

3

（2）由（1）得，曲线为f+J=1（》＞0）,

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意;

当直线的斜率存在时，设M（x，x）,N（X2，y2），

必要性:

若M,N,尸三点共线，可设直线MN:y=Z:（x—忘）即区-y一标:=（）,

部=1，解得f

由直线M2V与曲线d+y2=1（尤＞0）相切可得

/F7T

y=±(x-伺,303

联立《2可得4》2一6&x+3=0，所以芯+/=;~~,x,-x=-

—%+y2=]22~4

I3'

2

所以|MN|=VT+T-1J(XI+X2)-4XI-X2=G,

所以必要性成立；

充分性：设直线肱V:y=依+。,（初＜0）即"-y+》=0,

由直线MN与曲线x2+y2=l（x＞（））相切可得/L=l,所以〃=左2+1，

+1

y=kx+b

2

联立《■x2可得(1+3左+6妨x+3Z?2-3=0,

丁'=

匚口“6kh3b2—3

所以i=-布心2=不记

22

所以=Jl+r•J(尤]+入2)2-4%=J1+攵26kbI“3b-3

1+342IE

化简得392—1）2=0,所以々=土1,

k=\(k=—i

所以工友或y[l,所以直线"N：'=夜或'=—X+&'

所以直线MN过点F(也,0),M,N,尸三点共线，充分性成立；

所以M,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=Q.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的

重中之重.

三、知识点精讲

1.直线

(1)直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直

线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角

的范围为[0,n).

直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角。的正切值叫做这条直线的斜率，斜率

常用小写字母A表示，即4=tan_a,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两

(2)点的直线的斜率公式：

经过两点片(不，珀，月(尼，％)(为/用)的直线的斜率公式为4=匕==匕二左

X2—X\X\—X2

(3)直线方程

点斜式y—%=A(x—xo)斜截式y=4x+6两点式“一—=~~~—

yi—y\xi—x\

XV

截距式一+q=1一般式力x+%+goa,6不全为0)

ab

2.圆的方程

(1)圆的标准方程：(%-a)2+(y-^)2=?(r>0),圆心为(a,6),半径为工

(2)圆的一般方程：x+y+/Z¥+^y+/^=0—4户>0),圆心为(一不一

、力+/—4/

半径为

r=2,

3.直线与圆相关问题的两个关键点

(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直

线的距离公式d」当誓弦长公式|力。=2产二7(弦心距d).

4.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：/<+|场=2a(2a>£后；

⑵双曲线：||姐|一|曲||=2a(2aV|££|；

⑶抛物线：I»1=d(d为"点到准线的距离).

5.圆锥曲线的标准方程

2222

⑴椭圆：2+6=1(a>6>0)(焦点在x轴上)或4+1=1(a>6>0)(焦点在y

abab

轴上)；

2222

⑵双曲线：2一卷=l(a>0,6>0)(焦点在x轴上)或5—萤=1(a>0,6>0)(焦

abab

点在y轴上)；

(3)抛物线：y=2px,y=-2px,x=2py,/=-2py(/?>0).

6.圆锥曲线的几何性质

(1)椭圆：e=-=\/1—4.

a\1a

(2)双曲线：①e='='/l+2；

aa

A2

②渐近线方程：产=±-矛或〃=±工储

ab

(3)抛物线：设/=2px(p>0),以为，y,),D(xz,㈤为抛物线上的点，Z7为其焦

点.

①焦半径ICF\=^i+p

②过焦点的弦长ICD\=xx+x2+p-,

（^）x1X2=—,y\yi=­p.

四、高考试题精练

1.【2021年全国新高考1卷数学】已知曲线+即2=1.()

A.若m>">0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆，其半径为〃

C,若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为>=±旧”

D.若m-O,n>0,则C是两条直线

【答案】ACD

■析】

【分析】结合选项进行逐项分析求解，〃?>〃>()时表示椭圆，/〃=">0时表示圆，〃2〃<0

时表示双曲线，〃?=0,〃>0时表示两条直线.

【详解】对于A,若机>〃>0,贝1］小2+〃>2=1可化为工+工

mn

因为机>〃>0,所以

mn

即曲线。表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若加=力>(),则加/=1可化为f+),2=j_,

n

此时曲线。表示圆心在原点，半径为亚的圆，故B不正确；

n

22

r____12y-__—I1

对于C,若加〃<0,则加f+”,2=1可化为11—

mn

此时曲线C表示双曲线，

由mX2+生广=()可得)=±/一丝x,故C正确；

Vn

对于D,若加=0,〃>0,则如=1可化为,2=一,

n

y=±—,此时曲线。表示平行于X轴的两条直线，故D正确：

n

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重

考查数学运算的核心素养.

2.【2021年全国新高考1卷数学】斜率为百的直线过抛物线C：必=4x的焦点，且与C

交于48两点，则|A@=.

【答案】—

3

【解析】

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程

联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将

焦点弦长转化求得结果.

【详解】••,抛物线的方程为>2=4x,.,.抛物线的焦点F坐标为尸(1,0),

又1•直线A8过焦点尸且斜率为百，，直线A8的方程为：y=K(x-1)

代入抛物线方程消去y并化简得-1Ox+3=0，

解法一：解得玉=1,%=3

3

所以IABI=JiTF।玉一91=13-g|=当

解法二：△=1(X)—36=64>0

设&M，凶),8(>2，%)，则%+%2=5，

过A5分别作准线％=-1的垂线，设垂足分别为C,。如图所示.

|ABHAF|+15FHAC|+15£>|=%,+l+x2+1=x1+x2+2=y

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.

312021年全国新高考1卷数学】已知椭圆C：?+点'=1(。＞。＞0)的离心率为乎，

且过点A(2,l).

(1)求C的方程：

(2)点M，N在C上，且AML4V,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使

得为定值.

【答案】(1)三+$=1；(2)详见解析.

63

【解析】

【分析】(1)由题意得到关于4C的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.

(2)设出点/，N的坐标，在斜率存在时设方程为丫="+机，联立直线方程与椭圆方程,

根据已知条件，已得到初次的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单

独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点。的位置.

'£_也

a2

41

【详解】（1）由题意可得：+TT=1,解得：a2=6,b2=c2=3,

ab

a2=b2+c2

22

故椭圆方程为：土x+二v=1.

63

⑵设点A/（X|,y）,N（X2，%），

若直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m,

代入椭圆方程消去>并整理得：（1+2k2）f+4kmx+2加2_6=0,

一,口4km2m2—6

可得％+W=---——7,XX=---------—,

-1+2K121+2攵2

因为AMJ_4V,所以AAf・AN=O,即（X—2）（马一2）+（%—1）（%—1）=。,

根据％=例+加,为=/+加，代入整理可得：

（攵之+1）%工2+（版一攵-2乂玉+%）+（加一1）2+4=0,

所以（卜2+1）^^+（人加一后_2）（_^^）+（小—1）2+4=0,

1十乙KV1I乙K]

整理化简得（22+3加+1）（2攵+加一1）=0,

因为A（2,l）不在直线MN上，所以2月+-1x0,

故2%+3加+1=0,攵工1,

于是MN的方程为〉=%（%—W1）,

所以直线过定点直线过定点

当直线MN的斜率不存在时，可得N（X1,-y）,

由AATAN=0得:（石一2）（石一2）+（.-1）（—y-1）=0,

22

得—2）2+1—呼=0,结合五+2L=i可得：3$2一8玉+4=0,

解得：玉=：或％2=2（舍）.

此时直线MN过点.

（4

令。为AP的中点，即。,

1337

若。与产不重合，则由题设知AP是RtA4£>P的斜边，

故|。0|=*4=咨

若。与p重合，则|DQ|=JAP|,

<41、

故存在点Q,使得为定值.

135）

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM，4V得AM.AN=O,转化为坐标运算，

需要设直线MN的方程，点M（玉,因此需要讨论斜率存在与不存在两种情

况，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y=kx+m,与椭圆方程联立消去》可

玉+々，王％2代入湎万丽=。即可，当直线MN的斜率不存在时，可得N（X1,一yJ,

利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.

10.已知曲线Um/+〃）,2=].（）

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m寸>0,则C是圆，其半径为血

C.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±J-'x

Vn

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，加二〃>0时表示圆，mn<0

时表示双曲线，旭=0,〃>0时表示两条直线.

【详解】对于A,若m>〃>0,则加/+盯2=1可化为工+工

mn

因为桃〉〃>0,所以-!■<4,

mn

即曲线。表示焦点在)轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若机=〃>(),则加/+〃),2=1可化为+),2=j_,

n

此时曲线。表示圆心在原点，半径为亚的圆,

故B不正确;

n

22

J匕=1

对于C,若则加f+〃y2=］可化为11

mn

此时曲线C表示双曲线,

由九炉+〃>2=。可得y=±j—3%,故C正确;

Vn

对于D,若机=(),〃>0,则如=1可化为y?=一,

n

y=±—,此时曲线C表示平行于X轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重

考查数学运算的核心素养.

14.斜率为6的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则|人却=.

【答案】—

3

【解析】

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程

联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将

焦点弦长转化求得结果.

【详解】••・抛物线的方程为>2=4无，.•.抛物线的焦点F坐标为f(1,0),

又直线AB过焦点F且斜率为G，.•.直线AB的方程为：j=V3(X-l)

代入抛物线方程消去y并化简得3/-10x+3=0，

解法一：解得玉=g,%2=3

所以|AB1=V17FI玉一whVI7?13—g1=日

解法二：A=1(X)—36=64>0

设4王/),6(>2，、2)，则罚+%2=与，

过A5分别作准线x=-1的垂线，设垂足分别为c,D如图所示.

|AF|+15FHAC|+18。|=玉+1+々+1=%+x2+2=y

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.

22

21.已知椭圆C：5+与=l(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜率

ab

为卜

(1)求c的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

22

【答案】(1)L+工=1；(2)18.

1612

【解析】

【分析】⑴由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程,

结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

【详解】⑴由题意可知直线AM的方程为：y—3=g(x—2),即x-2y=~4.

当片。时，解得工==1,所以。二4,

r2v249

椭圆c：-y+万过点M(2,3),可得而+gr=L

解得b2=12.

22

所以C的方程：工+二=1.

1612

⑵设与直线4M平行的直线方程为：x-2y^m,

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为M此时AAMN

的面积取得最大值.

联立直线方程x-2y=m与椭圆方程工+2L=1,

1612

可得：3(〃?+2»+3=48,

化简可得：16y2+12,盯+3m2-48=0,

所以△=144〃，-4x16(3m2-48)=0,即"2=6*解得m=±8,

与AM距离比较远的直线方程：x—2y=8,

直线AM方程为：x-2y=-4,

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：4=卑±=於叵，

J1+45

由两点之间距离公式可得|AM|=7（2+4）2+32=375.

所以AAMN的面积的最大值：1x375x1^=18.

25

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

⑴注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

五、模拟试卷平面解析几何

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（2022•上饶模拟）已知直线x+my+m+8=0与直线（，〃+l）x+2y—6=0平行，则实数m等

于（）

A.1或一2B.-2

C.1D.-2或3

答案C

解析由题意易得切力0,

又因为直线x+”?y+，"+8=0与直线（〃[+l）x+2y—6=0平行,

zn+11r"?+8,

所以-M=一而且一丁/3

所以m=\或m=~2且6#—2,

所以m=l.

2.（2022・北京怀柔模拟）设点M（x,y）是直线x+y—2=0上的动点，。为原点，则|OM]的最

小值是()

A.1B.y[2C.2D.小

答案B

原点到直线的距离为昭鲁=也,

解析

yjlz+l2

故IOM的最小值为也.

3.(2021•蚌埠模拟)已知三角形的三个顶点4(2,4),8(3,-6),C(5,2),则过A点的中线长

为()

A，V10B.2^10C.lly/2D.3回

答案B

解析设中点为D(x,)')，

8(3,—6),C(5,2),

3+5

x=-2-=4,

x=4,

可得，

-6+2尸.2,

y=~2~~=~2.

可得£)(4,—2),

所以H0=叱2—4)2+(4+2)2=洞=2y[ld.

4.已知椭圆的标准方程熄+看=1(〃?>0),并且焦距为6,则实数，〃的值为()

A.4B.取C.4或用D.5

答案C

解析•.•椭圆的标准方程为言+方=l(〃?>0),

椭圆的焦距为2c=6,c=3,

.,.当椭圆的焦点在x轴上时，25—wi2=9,解得机=4；

当椭圆的焦点在y轴上时，加一25=9,解得胆=强.

综上所述，，"的值是4或取.

5.(2022・绵阳模拟)已知桶圆C：5+]=1，过点P(1,D的直线/与椭圆C交于A,8两点,

若点P恰为弦AB的中点，则直线1的斜率是()

134

A.-3B.一C・一D・一

答案C

解析设Ag,yi),3(如J2),

则汨+&=2,y+》2=2,

两式相减得中=-中,

X一户3X]+x2__32__3

所以X==

X1—X24yi+y2~42~4

即直线/的斜率是一/

6.（2021・益阳模拟）一束光线从P（3,2）发出，经x轴反射后过。（一7,2）,则反射光线在x轴上

的截距是（）

A.-3B.2C.-2D.3

答案C

解析一束光线从尸（3,2）发出，经x轴反射后过0（—7,2）,

所以点尸（3,2）关于x轴的对称的点的坐标为T（3,-2）.

所以反射光线的斜率仇=三2+含2=一宗2

2

则反射光线的直线的方程为厂2=一如+7）,

整理得士+主=1，

所以反射光线在X轴上的截距为-2.

7.（2020•广东华南师大附中月考）已知平行于x轴的直线/与双曲线C：，弋=l（a>0,b>0）

的两条渐近线分别交于P,Q两点，。为坐标原点，若△OPQ为等边三角形，则双曲线C

的离心率为（）

A.2C.小D.坐

答案A

解析♦.•△OPQ为等边三角形，

渐近线的倾斜角为去

:;小,.,.b=yfia,.'.b2=3a2,

/.c2一/=3〃2,《2=4〃2,”=4,e—2.

8.（2020•厦门模拟）已知双曲线C：,一%=13>0,6>0）的左焦点为凡以为直径的圆与

双曲线C的渐近线交于不同于原点。的A,B两点,若四边形A08F的面积为女好+分），则

双曲线C的渐近线方程为()

B.y=±\f2x

C.y=ixD.y=±2x

答案c

根据题意，