河南省漯河市临颍县三家店第一中学2023年高二数学理测试题含解析

河南省漯河市临颍县三家店第一中学2023年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016﹣5=（）A．2018×2014 B．2018×2013 C．1011×2015 D．1010×2012参考答案：C【考点】归纳推理．【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2；n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3；…由此我们可以推断：an=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）∴a2016﹣5=×[2+]×﹣5=1011×2015．故选C．2.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率是

A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是A.

B.6

C.

D.参考答案：C略4.函数的单调递增区间是A.

B.(0,3)

C.(1,4)

D.w.w.w.参考答案：D略5.如图是一棱锥的三视图，在该棱锥的侧面中，面积最大的侧面的面积为（）A．4 B． C．2 D．参考答案：B6.已知a≤+lnx对任意恒成立，则a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】构造函数令f（x）=+lnx，利用导函数判断函数的单调性，利用单调性求出其最小值即可．【解答】解：令f（x）=+lnx，∴f'（x）=（1﹣），当x∈[，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）递增；∴f（x）≥f（1）=0；∴a≤0．故选A．7.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误参考答案：A略8.已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（

）盏灯.A．8

B．12

C．16

D．24参考答案：D10.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（

）A.1条

B.2条

C.3条

D.4条参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为________．参考答案：(0，2]【分析】设，又由指数函数为单调递减函数，即可求解．【详解】由题意，设，又由指数函数单调递减函数，当时，，即函数的值域为．【点睛】本题主要考查了与指数函数复合的函数的值域的求解，其中解答中熟记二次函数与指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中△为等边三角形，，，则该球的体积是

．参考答案：13.已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是

．参考答案：设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,根据椭圆及双曲线的定义:,解得,设则在中,由余弦定理可得:,化简得,即,故填

14.已知a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为．参考答案：（70°，90°）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中a，b所成角为40°，平面α上两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b，则m，n相交，且夹角为40°，且直线c与m，n所成角均为θ，分类讨论θ取不同值时，直线c的条数，最后根据讨论结果，可得答案．解答：解：设平面α上两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b则m，n相交，且夹角为40°，若直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，则直线c与m，n所成角均为θ，当0°≤θ＜20°时，不存在这样的直线c，当θ=20°时，这样的c只有一条，当20°＜θ＜70°时，这样的c有两条，当θ=70°时，这样的c有三条，当70°＜θ＜90°时，这样的c有四条，当θ=90°时，这样的c只有一条，故答案为：（70°，90°）点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，熟练掌握空间直线与直线夹角的定义及几何特征是解答的关键．15.函数对于总有≥0成立，则=

．参考答案：4略16.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为

.参考答案：1717.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积为---------------------------___________________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；

（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；

（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；

（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x0）时，h′（x）＜h′（1）=0，∴h（x）在[1，x0）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．综上，m．19.已知．⑴求证：互相垂直；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

⑵若大小相等，求（其中k为非零实数）．参考答案：解析：⑴由

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

得，又（2）

同理由得又所以因所以20.（本题满分12分）已知函数．（I）若，求函数的单调区间；(II)若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值．参考答案：（I）当时，，定义域为，---------------------------------3分当时，，当时，∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．-------------5分1221.某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。

（1求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；

（2设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，

求的分布列及期望，方差.参考答案：（1）；（2）E，(1）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：

= （Ⅲ）设数学史这门课这3个学生选择的人数为，则=0，1，2，3

P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)= ∴的分布列为：0123P

∴期望E=np=,22.已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数单调性的性质；函数的单调性及单调区间．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）