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第十章曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分curvillnearintegralandsurface1第一节对弧长的曲线arc问题的提出第十章曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分一、匀质匀质之质量M

L i i

分割M1,M2,⋯, 1 n 31.1.f(

yLMB MiMiAM1M2nyLMB MiMiAM1M2nO④

时 4f(f(

f(,

n曲线形构件的质量M L52.2.对弧长的曲线积分Lf(,y)ds存在f(,f(

6注注或)是分段光滑的(L12 f(,

f(,

f(,1212函数f(y)在闭曲线上对弧长的曲线积分记作Lf(,y)ds744

f((,Lf(L f(, f()s( 与积分路径的方向无关

f(,

f(,⌒( ⌒8

(xyL

x2y2解对称性,

x2y2(xy xdsyds 对因积分曲线关于轴对称L L对

y

y3是上关于的奇函数

y3dsL9三、对弧长曲线积分的f( x

(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数,f(,f(,L注2(ds]2(t)f[(t),的参数方程为f(,y)dsL

(tbL: axb

(f(,

12(x)dx(ads 12(dL:x(d

cyf(,

1

2(

(cds 12(

xf(,y)dsf(,y)ds(t)22L

(tf(,

(

2推广:x zf(,

(t

2(t)

2(t)2( 如果积分路径 f( ( (y,z ,为参数),再按上述方法计算求I

d,

为y

2xy(2,2y2解y22x222

对积分(0y对积分(0yI

y

1535

例求I,其中:xacos, yasin,z的一段. (02)解I

2a2a2a2a2a2 计算|y|d,其中是右半圆周,yAyALOCB y2R2(x解由曲线半圆周如图方程x2y2 1

R|RR

|y|

⌒|y|R |R

|

|

|

dx2R计算计算L|y|d,其中是右半圆周,y2R2(xyALyALOCB关于轴对称,|y|为的偶函数故|y|ds2 R R

x2x2y

ds,L:由圆周

2y2直线y及轴在第一象限中所围图形的边界x2提x2提

x2解:y0,0x 1 x2

aexa0: x20 x20

4O: yx,0 1

2 Bx2A 2ae x2A x2x2y

2dx 故

1)e4四、几何意义与物理意fxy1时LsLf(sL(

z f(柱面面积

f(,物理意义当(x表示的质

M

考题,填空(3分 1x2,

(xL

xcosy (xL

y

sin

(sin)2 例求I x2x2y2z2其中为圆周xyz解由于的方程中的,,的地位完全对称,x zds I (x2y2

(2ad,球面大圆周长

1988 设为椭 1,其周长为,

24

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