2022届福建省南安高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数y=」—ln(x+l)的图象大致为()

3.已知点P不在直线/、机上，贝！1“过点尸可以作无数个平面，使得直线/、，”都与这些平面平行”是“直线/、，〃互相

平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

x

4.设尸=伊廿=一/+1,xeR},Q={y\y=2,x£R},则

A.PQQB.Q工产

C.CRP^QD.QJCRP

5.命题〃：Vx£(—l,2],x2—2x+QN0(awR)的否定为

2

A.3x()e(-l,2],x()-2x()+a>0(。eR)B.Vxe(-1,2],x-2x+a<0(aeR)

2

C.3x()G(一l,2],x：-2%)+a<0(aeR)D.Vx^(-l,2J,x-2x+6f<0(6teR)

6.已知点4—3,0),8(0,3),若点p在曲线丫=_位了上运动,则△PAB面积的最小值为()

A.6B.3C.『I五|+卡

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

俯视图

2145

A.-B.-C.一D.

3336

r2V2

8.已知点尸在椭圆r：\+4=l(a>Z»0)±,点尸在第一象限,点P关于原点。的对称点为A,点尸关于x轴的对

CTb2

称点为Q,设丽4吸直线皿与椭圆’的另一个交点为不若PC则椭圆T的离心率右()

]_V2

A.B.D.

222

+]x>0

9.已知函数/*)='八是奇函数，则g(/(—D)的值为()

g(x),x<0

A.-10B.-9D.1

10.函数〃x)=2/-以2+1在(0,+。)内有且只有一个零点，则”的值为()

A.3B.13C.2D.-2

11.在棱长为2的正方体ABC。-451Goi中，P为4"的中点，若三棱锥P-A5C的四个顶点都在球。的球面上,

则球o的表面积为（）

12.已知函数f（x）=lnx,若尸（x）=/（x）-3区2有2个零点，则实数人的取值范围为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某种圆柱形的如罐的容积为128乃个立方单位，当它的底面半径和高的比值为.时，可使得所用材料最省.

14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为人.

15.定义在R上的偶函数“X）满足/（e+x）=/（e-x）,且/（0）=0,当xe（0,e］时，=Inx.已知方程

〃x）=1sin仁光）在区间卜⑻上所有的实数根之和为3".将函数g（x）=3sin2序］+1的图象向右平移"个

单位长度，得到函数〃（x）的图象，则。=,〃（8）=.

16.已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，斜率为2的直线/与。的交点为A3,若|A尸I+IB用=5,则直线/的方

程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）（本小题满分12分）已知椭圆C：二+三=/（二〉二＞0）的离心率为1,连接椭圆四个顶点形成的四边

形面积为4\工

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A（L0）的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点，且三+三=二三（二=0）0为坐标原点,

当I三-三|＜二时，求t的取值范围.

18.（12分）在底面为菱形的四棱柱A8CD-A用中，AB=AAl=2,AtB=AlD,ZBAD=6Q°,AC[}BD^O,AOV^-

面ABO.

(1)证明：gc〃平面480；

(2)求二面角的正弦值.

19.(12分)已知不等式一k+1|<2的解集为｛x[a<x<%

(1)求实数a,8的值；

3ab、k

(2)已知X>y>z存在实数人使得-有-----+------r>----恒成立，求实数攵的最大值.

2[x-y)4(y-z)x-z

20.(12分)如图，在四棱锥产一ABCD中，底面ABCD是矩形，M是处的中点，平面A8CD,且

PD=CD=4»AD-2.

(1)求AP与平面CM3所成角的正弦.

(2)求二面角的余弦值.

L-3V2

X—J----1

2

21.(12分)在平面直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为《厂/为参数).在以原点。为极点，x轴

_£M.

y—\J5H------1

、2

正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为0=2石sin®.

(1)写出直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标为(3,指)，圆。与直线/交于A8两点，求|PA|+|P6|的值.

1J

22.(10分)如图，椭圆C:7+F=l(a>b>0)的左、右顶点分别为A,4,上、下顶点分别为用，层，且用(0,1),

△4用不为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在.V轴右侧的部分交于加、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求四边形与MNg面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算x=l时的函数值可排除三个选项.

【详解】

x>0时，函数为减函数，排除B,—l<x<0时，函数也是减函数，排除D,又x=l时，y=l-ln2>0,排除C,

只有A可满足.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过

特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项.

2.A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.

【详解】

设g3m由于也尸帚》排除5选项；由于g(e)=S，g(e2)=W

所

22

以g(e)>g(e2),排除C选项；由于当时，g(x)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于中档题.

3.C

【解析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

•••点P不在直线/、机上，

，若直线/、机互相平行，则过点尸可以作无数个平面，使得直线/、加都与这些平面平行，即必要性成立，

若过点P可以作无数个平面，使得直线/、〃?都与这些平面平行，则直线/、加互相平行成立，反证法证明如下：

若直线/、〃?互相不平行，则〃异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即

充分性成立

则“过点P可以作无数个平面，使得直线/、加都与这些平面平行”是“直线/、相互相平行”的充要条件，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.

4.C

【解析】

解：因为P={y|y=-x2+l,x£R}={y|y<1},Q={y|y=2x,xGR}={y|y>0},因此选C

5.C

【解析】

命题，为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题P的否定为

e(-1,2],x：-2x0+a<O(aeR),故选C.

6.B

【解析】

求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(-1,0),结合点到直线的距离公式和两点的距离

公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y=—Jl—x?表示以原点。为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，

直线A3的方程为x-y+3=0,

可得|A8|=3夜，由圆与直线的位置关系知P在(-1,0)时，尸到直线AB距离最短，即为1一：+上二痴,

则△尸45的面积的最小值为-X3V2X>/2=3.

2

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结

合思想易得.

7.A

【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积.

【详解】

几何体的三视图的直观图如图所示，

12

则该几何体的体积为：-xlxlx2=—.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键.

8.C

【解析】

设P（X1，X）,则A（-玉,-y）,。（石,-乂），一•，设3（”2），根据PA_LPB化简得到3/=4C、2,得到

答案.

【详解】

设P（X，X）,则A（-玉,-y）,Q（X1,-yJ,PD-^PQ,则。卜”-⑤，设/均斗），

+营

［两式相减得到：一包一）,

则2

+%

白

k)4-%_X+%k=k

2，^AD—^AB'即含二2二如吐应

%一%a%+为4%玉+%2%X,+X2

序n

PALPB,故kpA.kpB=-l,即_4f=—l,故3/=4。2,故e=上

a-2

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

9.B

【解析】

根据分段函数表达式，先求得/（-1）的值，然后结合了（x）的奇偶性，求得g（/（-1））的值.

【详解】

x，+xx>0

因为函数/。）=':是奇函数，所以/（-1）=—/（1）=-2,

.g（x）,x<0

g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决

问题的能力.

10.A

【解析】

求出/'。）=6炉—2℃,对。分类讨论，求出（（）,+8）单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.

【详解】

f\x)=6x2-2ax=6x(x-三),

若aWO,xe(0,+oo)J'(x)>0,

/(x)在(O,+8)单调递增，且/(0)=1〉0,

/(幻在((),+a)不存在零点;

若a>0,xG(0,至J'(x)<0,xG(0,+8)J'(x)>0,

=2x3-狈2+［在(0,+e)内有且只有一个零点，

/,(-)=--5-/+1=0,二。=3.

327

故选:A.

【点睛】

本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.

11.C

【解析】

取BiG的中点Q,连接P。，BQ,CQ,PD,则三棱柱5C0-AOP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥尸-ABC有相同

的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径

【详解】

如图，取SG的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱5C。-4。尸为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都

在球。的球面上，AQ5C的外接圆直径为2r=-=球o的半径R满足齐=尸+(竽2=萼，所以球。的

sinZ.QCB2216

表面积s=4/?2=受41兀，

4

故选：C.

【点睛】

此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属

于中档题.

12.C

【解析】

InxInx

令F(x)=/(x)—3区2=o,可得左=

57要使得E(x)=0有两个实数解，即y=z和g(x)57有两个交点，结

合已知，即可求得答案.

【详解】

令F(x)=/(x)-3&=0,

Inx

可得左=

3x2

Inx

有两个交点,

要使得/(x)=o有两个实数解，即y=k和gQ)=3?

l-21nx

g'(x)=

3x3

令1—21nx=0,

可得x=Ve>

・••当xe(0,人)时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,五)上单调递增；

当X€(人,+CO)时，g'(x)<o,函数g(x)在(G,+8)上单调递减.

，当X=J^时，^U),nax=-^~»

6e

，若直线y=女和g(x)=黑有两个交点，则％e(0,21

实数k的取值范围是

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.一

2

【解析】

设圆柱的高为〃，底面半径为「，根据容积为128乃个立方单位可得128万=%/〃，再列出该圆柱的表面积，利用导

数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值.

【详解】

设圆柱的高为〃，底面半径为

,••该圆柱形的如罐的容积为128%个立方单位

128

；・128万=7rr2h，即0=——

r~

128256万

/•该圆柱形的表面积为S=271rl+2兀rh=2乃，+2乃厂•一—=2"产+

令g(r)=2兀*+256万，贝0g'(「)=4%r-25?汉

令g'(r)>0,得r>4；

令g'⑺<0,得°<r<4.

.•.g(r)在(0,4)上单调递减，在(4,y)上单调递增.

尸1

.•.当厂=4时，g&)取得最小值，即材料最省，此时7=7.

h2

故答案为：

2

【点睛】

本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题.

14.42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为“，

45+5+4

则由题意得一=--------,解得〃=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

15.24

【解析】

根据函数"X)为偶函数且f(e+x)=f(e-x),所以/(%)的周期为2e,=gsin昌x］的实数根是函数

/(%)和函数y=；sin(5x)的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所

有实数根的和为6e,从而可得参数。的值，最后求出函数〃(x)的解析式，代入求值即可.

【详解】

解：因为因(x)为偶函数且〃e+x)=〃e-x),所以因(x)的周期为2e.因为x«O,e］时，/(x)=lnx,所以可作

出在区间［一e,3e］上的图象，而方程/(无)=|sin的实数根是函数“X)和函数/=fin，的图象

1.71

的交点的横坐标，结合函数/(X)和函数y=—sin-x在区间［-e,3e］上的简图，可知两个函数的图象在区间

2

［-e,3e］上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e,所以6e=3ea,故。=2.

37TX5

因为g(x)=3sin2界+1——cos—+—,

222

35371x535

所以/z(x)=_jcos+—=—cos+—=—cos(4^-)+-=4.

f(I)22

故答案为：2；8

【点睛】

本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

16.2x-y-2=0

【解析】

设直线/的方程为y=2x+f,A(x„y,),B(x2,y2),联立直线/与抛物线C的方程，得到A,8点横坐标的关系式,

代入到|AE|+怛同=4中，解出，的值，即可求得直线/的方程-

【详解】

设直线l：y=2x+t,A(x,,y),必)•

由题设得尸(l,o),故|AF|+忸用=±+±+2,

由题设可得玉+x2=3.

y=2x+1,o/、o

由：2_4｛可得4%2+4。-1）%+/=0,

贝!|X|+々=1T,

从而1-1=3,得r=—2,

所以/的方程为y=2x—2,

故答案为：2x-y-2=Q

【点睛】

本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴三+m=八（2）je[-1,-y）u（y,/].

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解

决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、二：=二；+二;、四边形的面积列出方程，解出a和b

的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭

圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到二/+二;、二二；，利用三+三=二三列出方程，解出二（二二），代入到椭

圆上，得到二二的值，再利用|三'-三计算出二;的范围，代入到二二的表达式中，得到t的取值范围.

试题解析：（1）；•二=?，••二；=/一二=g二三=%即二：=2二].

又二=，X2=X2匚=二匚二=2、1,二二；=2,二；=4.

二椭圆C的标准方程为三+5=L

（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，

设直线方程为二=二（二一1）,二（二」，二“，二（二；，二；），二（二二），

联立方程t+-=；，消去y得口+2二;）二；一4二；二+2二；-4=0,

｛匚=□（□-/）,

因为直线与椭圆交于两点，

所以二=16U4-4（1+2二;）（2二;-4）=24~:+16>旗成立，

又二二+二二=二二二，

"二；Q

口一匚a+2匚;）’

口+二；一2匚

口一口。+2匚；）’

因为点P在椭圆三+三=注，所以不%+某手=4,

即|三'|<当，.•.、」+二；I二；一二：|<],整理得：\j+二-

化简得：13二一二：-8>0,解得二：〉1或二：<一（（舍）,

••・二：=/一力，即口e（-L-9u（苧，I）.

当直线MN的斜率不存在时，二。，?），二Q,-?），此时二=±八

-€[-，，-不u（y-1]•

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.

18.（1）证明见解析；（2）史

7

【解析】

(i)由已知可证与。〃A。，即可证明结论

(2)根据已知可证4。，平面ABCD,建立空间直角坐标系,求出A,A,6,。坐标,进而求出平面A.AB和平面A.AD

的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【详解】

方法一：(1)依题意，A、B也AB,且AB&CD,：.%B也CD,

二四边形\B.CD是平行四边形，B.C//4。，

B|C(Z平面A/。，AQu平面480,

耳。〃平面A8O.

(2)•.•40_1_平面48。，.・.4。，4。，

•.•48=4。且。为3。的中点，，4。，6。，

,:AO、BDu平面ABCDS.AOD3。=0,

/.4。工平面ABCD,

以。为原点，分别以7，历，西为X轴、)'轴、Z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系。一肛Z,

则A(6,0,0),8(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0,1),

:.丽=(飞,0,1),丽=卜后1,0),亚=卜疯-1,0),

设平面4AB的法向量为〃=(x,y,z),

则卜吗.Jf+z=。,取j贝向(1,后⑹.

[n±AB[—百x+y=o\'

设平面KA。的法向量为〃?=(X],y,zJ,

ii_LAA—>/^x+z=O―►/LL\

则《_2,：.{L,取x=l,则〃2=1,—J3,J3.

[nlAD[_氐_>=0\)

----mn11

•cos<m,n>=....=—=——==一

•,冈加布x近7，

设二面角B-A41—O的平面角为a,则sina=/-11=竽,

二面角的正弦值为述.

方法二：(1)证明：连接AB|交AB于点。，

因为四边形AB|BA为平行四边形，所以。为A4中点,

又因为四边形ABCD为菱形，所以。为AC中点，

.•.在VABC中，

YOQu平面A］。，B|C(Z平面ABD,

旦。〃平面AB。

(2)略，同方法一.

【点睛】

本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,

属于中档题.

2

19.(1)a=——，。=4；(2)4

3

【解析】

(1)分类讨论，求解x的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；

(1］、

(2)转化原不等式为：女4(x-y+y-z)——+——，利用均值不等式即得解.

(x-yy-z)

【详解】

(1)当》<一1时不等式可化为一(2x—1)+(X+1)<2=JCW0

i21

当时，不等式可化为—(2x—l)—(x+l)<2=—

当时，不等式可化为2x—1—(x+l)<2=>/<x<4；

综上不等式的解集为（—|，4]na=-I，b=4.

一一23ab、k

（2）由（1）有。=一；，b=4,-------;+--------------------

32（x-y）4（y-z）x-z

11、k

=-------+-------->--------,X/x>y>z

x-yy-zx-z

,/111cx-yy—z

k<Cx—y+y—z）---------1---------=2d---------+--------,

[x-yy-z）y-zx-y

/、

,-x-yy—z

即2+--+--

Iy-z%-y兀

.x-yy-z、）

而2+--+2—>4

y-zx-y

当且仅当：一一即x—y=y—z,即y==1时等号成立

y-zx-y2

:.k£4,综上实数我最大值为4.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中

档题.

4

20.（1））.

⑵3M

⑵IF,

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（1）,••ABC。是矩形，

二ADLCD,

又•••夫£），平面ABCD,

APD±AD,PDLCD,即PD,AD,CD两两垂直，

...以。为原点，DA,DC,。尸分别为工轴，》轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由/。=8=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,D（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（l,0,2）,

贝(IQ=(-2,0,4),配=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

设平面CMB的一个法向量为勺=（x,，x，zj,

BC=0—2x,=0

则即《I-'令得、=°'"2,

MB-n,=0'

:.”=（0,1,2）,

•・…/~T~n必一\卜AP丽'H1=浜8小4，

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为j.

（2）由（1）可得定=（0,4,T）,

设平面PBC的一个法向量为4=（A2，y2,z2）,

比〃2=0—2X2=0

则___i，即｛14%-44=0'令%=1，得马=°，Z2"

PCn2=0

二%=(0,1,1),

.33M

..cos^,n2)=___=__,

故二面角M-CB-P的余弦值为主叵.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标

的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

21.(1)，+&-、62=5⑵30

【解析】

试题分析：(1)由加减消元得直线/的普通方程，由夕sin。=y，△2=/+y2得圆c的直角坐标方程；(2)把直线1的

参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|h|+|t2|=h+t2,再根据韦达定理可得结果

x-3—t_

试题解析：解：(I)由・二得直线1的普通方程为x+y-3-&=0

又由P=2&sin6得p2=2&psin0,化为直角坐标方程为x2+(y-&)2=5；

(n)把直线I的参数方程代入圆C