清华-手机、pad版05数学精讲qh05讲义

重基本初等函数的图形、特性求函数的定义域求函数的极限2一函数x叫做自变量，y叫做因变量（2）（2）yx（3）y xxxxxx0x（4）x是任一实数，yx表示不超过x[2.3]（1）f（1）f(x)lgx解xg(x)2lgxx 答（2）f(x)3x4x3 g(x)x3x1解fx3x4x33x3x1x3x1（3）fxx1)2 gxx1解fx x1)2x1（1）y解xx,xx解设ex1u，则xlnu ，(2)设f(ex1) ，求f(x)的定义x xelnx2二特二特1函数的有界性设函fxI上有定义，如果M0，使对xI，有f(x)M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上 9设函fx在区I上有定义,如果x1x2x1x2fx1fx2（fx1fx2）则称fx在区间I上是单调增（或单调减）的。33函数的奇偶设函数fx的定义域X关于原点对称，（xX则必有xX），如果xX，有f(xfxfx为偶函数，如果xX，有f(xf成立，则称fx)4函数的周期设函数fx的定义域是X，如果常数T0，使得xXxTXfxTfx恒成立，则函数fx是周期函数，使上式成立的最小正数Tf的周期 例11.1.4例11.1.4 （1）ya axa解 yx)（2）y(1x2)ln(x1x2)：y(x)[1(x)2]ln[(x) 1(x)2(1x2)ln(1x2x(1x2x2(1x2)ln(x 1x2（3）y2x3x2的的运2反函 f[g(x)]x,g[f(x)]3复合函数与初等（1）复合函yf(u，定义域Duux)，定义域Dx，值域为Wu，当WuDu时，称yf[x)]x的复合函数，它是由yf(uux复合而成的函数，它定义域为Dx，称u为中间变量11．1．5(1)fxxxg(x)xx解f解f(x)2xx xf(g(x))2g(x)g(x)g(x)f(g(x))2x2x xg(f(x))4 xxg(x)xxx17（2）x210xx21x0x1时1yyx21x2y1，x yy x1，1xyx0xy1 1x 0x11．1．6设函数fx的定义域是(,，且fx的图形xaxb对称，(ab，证明fx是以2(ba)为期的周期函数：2a：2axMPN点的坐标是xP点的坐标是aM点与NP点对称， MPPNxaMt,atxfxxbfxf(2bx)f[x2(ba)]f[2b(x2(bf(2ax)f(f(x)f(2b（1）f(x)在(,)上有定义，且f(xk) f(则f(x是[A)]（其中k为大于零的常数1A)(C)(B)(D)（2）（2）fxex，且f(x1x，则函数(x)的定义域为[(A)] (C)f((x))(x)1（3）y(B) y2x2( y2xe（4）设函fx的定义域是[0,1]的定义域是 ( 分析 1x和1x的定义域有又因函f(x)的定义域是[0,1]所以0sinxg(g(x) 1xf(sinx) 1xf(1且由1x1所以有0x，即0x01cosx1和0x有x0.5x15（08）设f则有[1x,＜法2：利用特殊值x2，则f(2)2,ff(2f这时选项（A）,（C）,（Ｄ）都不成立xxfgxlnxgx（B.（2012）已知f(x1) xx xx x1 1 1 1xx (x1)fxlnx1fgxlngx1x又由f[g(x)]lnx有 lnx而x，解之g(x) xx 09）fxmaxx2,x}，则函数f的最小值等于 （A）. (C). (D).解x2x2x2fxx0xx0x2与xff(x)的最小值点是y2x与y x的x1[0,2]注：（1）yxfx的最小值点x1x4。2（2）fxfx)xxxxx （2013）fg满足fxexf[gxx2gx的定义域是（DA. C. D.(,2)分析：由fxex4fgxegx)fgxx2所以有gxlnx24x240gx的定义域是(,2)(2,D11.22xn（1如果M0，对于nxnM，则称数列{xn是有界记作limxnAxnA(n)（xnxn1），则称数列{xn}是单调递增（单调递减）若数列若数列xn是收敛的，则它的极限是唯一的。数列{xn}是收敛的，则称数列{xn}limxnAlimyn（1）lim(xnyn)A（2）limxnyn（3）limxnn(B（1）fx在区间[a,AxfxAxfxAlimfxA（（2）设函数f(x(a]上有定义，A为常数如果x时，函数fx的值无限趋A，则称当xfxA为极限，记作limfxA（3）设函数fx在区间(,a(a,a0)上A为常数，如果当x无限增大时，函数fx的值无限趋近于A，则称当x时，fx以A为极限，记 limf(x)Alimf(xAlimfxlimfxA趋近于A，则称x趋近于x0f(x)以A为极限记作limf(x)A。xxx0无限x0（xx0）时，函fx)的A，则称x趋近于x0时，函数f(x)记xx0无限x0（xx0）时，函数fx)的无限趋近于A，则称xx0时，函数fx)A，（8）定理limfxAf(x00)limf(x)0且f(x00)0fxA（9）设lim（9）设limfxAlimgxABfxgx)。fxgx)AB2如果limf(x)如果limfxA，则fxyf[x)]x0的某邻域内（x0可除外limf(uAlimf[xlimf(uA x 例如limx24limeue4，则limexe *4*4两个重要极sin xlim11xe或lim(1xx 11.3.1(1)(2012)在直径为D的大圆（如图是n4的情形k个小圆的周nkA.等于DB.等于2DC.等于解：设第k个小圆的直径为dklkdklkdkdkDlklimlk（AD.不存k knnk llimD fxx，讨论limfx是否存在limf(x)limxlimxx0limf(x)limxxxx0limfx)xx4x例11.3.2 f(x)xx4xx2x求limfx)2limf(x)lim(4x1)limf(x)limf(x)limf(x)limlimf(x)1 。A.f(0)1B.limf(x)xDC.f(0)1Dlimf(x)x解D*11．3．3I010nmnn1mnm**limPn(Pn(x0Q(x Qm(x0)Qmx00且Pnx0不定 Qm(x0)0且Pn(x0)lim3xx3x43 x3x x5 x3 x2x20x4 limx121，limx1x3x x3xlimx29lim(x3)x x1cos 1xxxxlim(1x)1x01xlimln(1x01x 1lim limex1ex1uxln(u1)xx0，ulimex1 u0ln(1u) Ilimn2sinIlimxsin2/2 lim(n1)nenn )lim( nnn1nnn nlim[(12n)2]n111.411.41如果函数fxxx0（或x）极限fxxx0（x）如果函数fxxx0（或x）时f无限fxxx0（x）时为无穷大量。记作limfx2无穷大量与无穷小量的关在自变量的同一变化过程中，如果函数fx为无大量为无穷小量，反之，如果函数fx无穷fx0为无穷大量limfxAfxAx)，其中limx（1）（2）则特别地，当c1时称x时xx是x时，x)~x。x0sinx~xtanx~x，ln(1x)~xex1~x ，则称x时(x低阶无穷xx时，x0,x01x0,1x0且x~1x~x)limx)x(则(1x( x1(。（1）xx3x02（2）x1ax2exx2（3）（3）ln(13xxln(12xln(13xxln(12xlimlim(xxln(12 xln2(1 ln(13x)limln3x(13xlimxln3ln(13x)lnxxln2ln(1 ln11.5函数的连续1连续的定yfx在点的某邻域有定义左连续，右连yfx在(abyfx在[ab]22x0fxfx00fx00)x0fxfx00fx00)至少有一个不存在，则称x0是函数f(x的第二类间断点。设f(x)，g(x)在x0连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)（g(x) 在x连续。g(ugxx0连续yf(u在u0gx0连续，则复合函数yfgx)]x0连续。结论：初等函数在其定义区间上是连续之间的任何数，必存在c(a,b)f(c则必存在c(a,b)，使得f(c011．5．111．5．1fxx(xx0,x1ex0ablimfx)fxx0解：（1）limflim1exlim(x)，limf(x)lim(bxcos1)b 要使limfx)存在，需limfxlimf 即b1a为任意值（2）（2）fxx0处连续limfxlimfxf 即b1a111．5．3曲线fxx43x27x在(1,2)内与x证f(1)3,f(2)10fx在[1,2]由零点存在定理。存在c(1,2使得f(c５补充题１下列极限正确的是 limsinxlimxsin1lim1sin1xlimsinxlimlimsinxlimsinxxxx limxsin1limsin1/1xxx )若limxg1成立，则]（A）.gxx0（B）.gxx0 由题设 1及limsinxxg(limlimg(x)limg(x)limxg(x) x0sinsin[limxg(x)limx][11]2取gx xx3 lim4x2xx2x xx2222利用无穷小量等价代换定理xx~x2x2x 2x21x24.(11)x3时，下述选项中为无穷小量的AA.eB.ln(3x)C. xx x2解:lim(x3) limexlimex3limlimln(3xx3x3x29x3(x3)(x3)x3x limx3x lim xxlim12346（1）设函数yfxx0某邻域内有定义当自xx0取得改变量x（x0）时，相应地函数yf(x也有改变量yfx0xfx0)，如果x0 limylimfx0xfx0yfxx0yfxx0记作f(x)， xx0，*f(x) lim f(xx)f(xx0 如果limyfx0xfx0如果limylimfx0xfx0x0 fx0存在fx0fx0fx)在(a,b内每一点可导，则称f(x在(a,b)内可导。f(x)在(a,b)内可导f(b),f(a)存在，则称f(x)在[a,b]内可导。**fxx0fx0*fxx0yf(x0)f(x0)(xx0yfxf(x(xx三可导与连续的关系可导必连续，反之不然。四重要结论limxx)xloge1 例12.1.2(1)研 yx在x0的连续性与可导性limxlimx0fx0f(0) limxx0 x0f(0) limxx0 x0xf(0)f(0)x0x（2014）（2014）gx2x2，则A.limgxxB.limgxx1gxxC.x1gxD.x1gx连续，但不可答Dgx)ex22x1的定义域是(,ex2x1ex11ex2x1ex1x x1x x1xg(1g(1)gxx1处不可导。xfxsina(xxlnx x解：①limf(x)lim(lnxb)x xf(1)0，b0②f(1)xf(x)fxlimsina(x1)f(1)limf(x)f(1)limlnxxxxx xlimln[1(x1)]lim(x1)xxx1xffxx0处可导fx0fx0fxx1处可导f(1)aa1,b使得在该点的切线斜率为3y3x1ln（2）yexx0(ex)ex k(ex e0y11(xyx（3）求过（3）求过(0,0yex设切点为xe(e)e,k(exey (xx把(0,0)代入y (xxx01，y12．1．5fxx0（1）limf(x0h)f(x0f(x0h)f(x0limf(x0h)f(x0f(x0h（2）lim（2）limf(x02x)f(x0xf(x02x)f(x0limf(x02x)f(x0)f(x0)f(x0xxlim[2f(x02x)f(x0)f(xx)f(x00]12．1．12．1．6（1）可导偶函数的导数是奇函可导奇函数的导数是偶函数可导周期函数的导数是周期函数证明：（1）由导数定f(x)df(x)limf(xx)f(x) x xfx)f(xff(x)df(x)d(xf(xx)f(limf(xx)f(x)limf(xx)f(f(12.212.2*1(C)2(x)x(lnx)fx)gx)x（3）[f(x)]f(x)g(x)f(x)g(g(g2(yf[gx)]yf(u和ugxugxxdugyf(u在点udyf(udydyduf(u)g(x)f[g(x)]g(x) dudx设函数yfx)xx(tyy(t设x(ty(t)都存在,且y(t)xx(t)tx1在t处的切线方程0t0t x(t asin dyy(t)bcostbcotdxk cosaybb(xaybx 212．2．1（1）yx22xln2x2x22 ln1x22x20，（2）ylny12(1)x22(1)x2x y(x)lnxx(lnx) lnxxln2ln2lnx求yex(x21)siny(ex)(x21)sinxex(x21)sinex(x21)(sin=ex(x21)sinx2xexsinxex(x21)cosyxx1x2)Lxn)y(0)解 y(x)(x1)(x2)L(xx[(x1)](x2)L(xx(x1)[(x2)]L(xLx(x1)(x2)L[(x((x1)(x2)L(xx(x1)(x2)L(xn（1）yln(1ex：1ee1e（2）yx2axx：y2xa x22x2(xx3)ln22xaxx3x2axx3(2x1)ln（3）（3）yln(x 1x2y (x 1x2x 1x 1[121(1x2x 1x[11]1x（4）y ln(1ex2 4ln(1exe1（5）y ln(1x2eexln(1x2)eln2(1x221x（6）（6）y32a2x答x2a 3x a2x2x（7）ylnlnln1答xlnxlnln（8)yln1y1 1 [ln(1x)ln(1y1[ln(1x)ln(121(1 (1 1 1 2x x[] 11 （1）y（1）yf(ln ：dyf(lnx)(lnx)f(ln（2）yf(x2)f(ex：dy2xf(x)ef(e五yfxfxx处可导，则称f(x在点x处的导数为函数yf(x)在xfx)y2y y(4)[y]，y(n)[y(n1)12．2．4（12．2．4（1）ylnxa2x2解：y (a2x2)a2y(a2x2)2(a2x2(a2x2)22 x(a2x2)1 2(2fxex，求limf(2xff(x)ex x f(2)16f(2x)f31612．212．2．1对任意的xf(x)fx00f(x0k0，则fx0)(B)(A) ]f(xfxfx)f(x0)k2fx可导，且满足limf(1)f(1x) 2( (B) (C)2( 解：曲yfx在(1,f(1))处的切线斜率ff(1)limf(1x)f(1)xlimflimf(1)f(1x)xlimf(1)f(1x)x f(1)limf(1x)f(1)令xx3f(x)lnx2aeb(x1)xx在(,则[(B)(A)a0,b a11,be(B)a0,b(D)ae1,blimlimfxlimlnx2a2ln1af(1)0fxx1limf(x)f(1)ln1a20af(1)limf(x)f(1)limxxxx20xlimln[1(x1)]xxeb(x1)0fxx1f(1)f(1)b1。设ux)f[g x[0,3gxx3,gxx[0,3],f(x)x,f(x)u(1)f[g(1)]g(1)f(2)g(1)1(1) 在曲y1(0x上任一点PxxBP处作切线，切线分别交xy轴于AB (A)PA(B)PA(C)PA)解在任一Px,x处的切线方程1Y Xx， 2Y 2其中(X,Y)X0,Y0AB的坐标为(2x,0),(0,2PAx12.312.3yfxIx0x0xI，如果函数的改变量yfx0x)fx0可表为yAx(x)，其中A是不依赖x的常数，而(x)是比x的高阶无穷小，则称yfxx0Axyfxx0相应于自变量改变量x的微分，记作dy，即dyAx或dyAdx。*2yfx处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时Af(即有dyf3yfx在点x处可微，则yf(xx)f(x)f(x)x4微4微分的几何意f(tanf(微分的基 和四则运算法一阶微分形式的不例12．3．1（1）设x ,y(12x)x，求dy答(12x12x(12x)ln(12x)dxx(12x)（2）（2）yfx)x01，则当x0xx0处的微分dy(B)]A与x等价无穷小(B)与x同阶无穷小(C与x低阶无穷小D)与x高阶无穷f(xx xx0x0f(x0)1（03）如果函数fxx0f(x0)f(x0x)f(x0)则极limf(x0)df(x0A等于fx0(B)等于[](C)等于 (D)不存解：f(x)df(x00limf(x df(x0 0f(x)limdf(x)f(x)limf(xx0f(x0)f(x0)(C2（04f(x0)f(x0)(C2（04题）fxgx是两个逐段线的连续函数，设u(x)f[g(x)]，则u(1)的值为 ]( 13406622 ( 33（05）fxx0(A) (C)3nf(0lim lim212。f(01)fnn2fx24则（06）设fx0，且导数存在f(a1nln n f (C)lnf f解limnf(a1nf flnf(a1)lnfn1nxx (f( ff(x)x f2fxexlnfxx（A） (C)lnffff(an anlimn f 1n不选A)、B)，又lnf(aa。也不选(C)，由排除法，选(D)。 07）设y ) y()[(B)（A）1（B）116sec216解y21tanx6（08）若函数f6（08）若函数f(x)可导，且f(0)f(0) 2f2(h)（D）（A）0（B）1（C）2 ：f2(h)2法2：特殊值代入法．取f(x) 2(x则f(0)f(0) 2，（2012（2012）若fx是非负连续函数且2x x即由此limfx20，从而f(22 x11 x8(2013)设函数f(x)xn(1ex （n是整数fxx0处可导，则必须且只须（BA．n B．nC．n D．nxn(1exxn1(1extt(1ett(1et0n10，即n1时，才有f(0)tt(1et由可导的充要条件，必须且只须n1时,fxx0处可（09）f（09）fxfxf2xf(0)1x0f(0)[(D) （B）.4 4（D）.fxf2xx求导，得f(x)2f(x)f(x)，fx2[fx)]22fxfxf(0)f2(0)1f(0)2f(0)f(0)2f(0)2[f(0)]22f(0)f242fx2fxfx2f3fx2f3xf(x)6f2(x)f(x)f(01f(0)f20f(06(1)2110(2010)10(2010)fx)x2hxf(1gxg可导，且g(1)h(1)2，则g(1) A. B.C. D.h(x)2[1g(x)]g(x)，g(x)h(x)1g(1h(1)11设函数g(x)导数yln(12xf(x)x0在原点可导，则a x11alimfxlimgx)limg x0 Dg(0)(ln(12 x法2：特殊函数代入法。取gx)ln(12xalimf(x)limln(12x) 设函数g(x)导数连续，其图像在yln(12x相切 fxx0处可导，且fx0afx0b,而fx)x0处不可导，则[BA.a0,b B.a0,bC.a0,b D.a0,b解：fxxfx1fxx00处可导但fx)xx00处不可导．这时f(0)0f(0)10xd2y(xd2y(13.(2011)若函数y(x)etdt， （A. xA. B. C. D.解：由于本题是求在x1时的二阶导数值，不妨设x0dy(x)ex(x2)2xexx02 d2y(x))2ex2x2(1d2y(所 2(1x)ex（2012）yyx由参数方程1 ytcosdxt3（AC. D.解：由于是求 ，不妨设t0dx3dxxdyytcost2tcostcotttsint sindxtcottt3t333设设函数f(x)可导，f(1)f(1) 41yxef(2x1)，则y(114e D．21分析2y(x)2f(2x1)f(2x1)2f(2x f(2x f 1 y(1) ef(1) ef2aayf(byf(12.4如果函数fx在闭区间[a,b]上连续在开区间(abf(af则至少(abf(02如果函数fx在闭区间[ab]上连在开区间(ab内可则至少(ab)使得f(bf(af()(ba则f(x在区间I上是一个常数。fxgx)II上至多相差一个常数 证明方程：a a(n1)01x0fxaxan01fx在[0x0fx在(0x0fx在[0,x0]所以存在(0x0f(0n112．4．3ba0，证b12．4．3ba0，证balnbbafxlnx在[ab]lnblna1(ba)，a111ba1(ba)b balnblnalnbba 法2：特殊值代入法，设f(x)1x2 f(x)x ，f(x)1 ，2 4 x0fxf(xa)f(x)a2x 2lim[fxafxaf(g(12.5如果函数fx)gx)满limfxlimgx0（或在极限点附近fx)gx)都存在gxlim(f(x1)f(x))limf()x时，有其中xx1：limf(2xfx存lim(f(x1)f(x))f(x1)f(x)f(上有界（B）limfx（A）fx在lim[f(xa)f(x)]limf()a(1)(05fx的二阶导数连续，且limfx则对任意常数alimfxafxA（xxa之间fx在闭区间[ab]上连续，在开区间(a,bfx0f(a0时，则开区间(abfx0f(b0时，则开区间(abfx0证 x(a,f(x)f(a)f()(x (a,f(x)f(a)0 f(x)f(a)( ( af导数，且limf(x)0， （3）（3）f(g(存在或为无穷大，则f(g(12．5．112．5．1（1）解x23x2lim(x3xe(exex23x2ex23xxlim (tanxxx3sec2x132tan2x32（3）ln limxx解lim解lim(1（4） x0xlimtanxxlimsec2x3xxtan) )limtanxx0x2tanlimx3xx312.6fx在(abfx在(a,b内单调递增（减）的充分必要条件是x(ab)，fx0（0（1）（1）f(x)4 1x解：定义域f(x)4(1x)8x1(x3)(1x2(,) 2(1x2x解：定义域(,1)f(x)x22x(x(x3)(x(x x11,x2f(f(x)x22x3(x3)(x1)0(x1)2 (x1)2(13f(0——0f(在(,1),3,，在(1,1(1,3)二（1）fx，若xx0x0（为某一常数）fxfx0xx0x0fxfx0为fx)的极大值；若xx0x0)均有fxfx0xx0x0fxfx0为f(x)的极小值。取得取得极值的必要条设函数fxx0处可导，且在x0处取得极值，则fx0第一设函数fxx0一个邻域内可导，且fx00（或fx0不存在，但fxx0连续如果当xx0左侧邻近值时，fx)0xx0右侧邻近值时fx0，则函数fxx0处取得极大值如果当xx0左侧邻近值时fx)0xx0如果当xx0左右侧邻近值时，f(x恒为正或恒为负，则函fxx0处没有极（4）第（4）第二充分条设函数f(x)在点x0有二阶导数，且f(x0)0，f(x0)0， 如果当f(x0)0时,函数f(x)在点x0处取得极大值；如果当fx00fx在点x0处取得极小值12．6．2函fxx1)3x2的单调区间和极值解：定义域23(x1)35x33ff(5x33f(0)0极大值，f() 4极小 3（2）讨xex1的实根个数fxxex定义令fxex(1x0x0(0,2525(25f(-0f(（1）y2exex令y2e 2e2xxx1ln11ln y2exex 1ln2y(1ln2)2221f(0—f(x1 limf(x)lim[xex ]极大值f(1) 11xx或f(01limxex limlimf(x)lim[xex1] x12．6．4中的函数与 中的导函数图形进行匹12．712．7 12．7．1fxx3x213在区间[2,2]值2(x21)3xx3(x2x0x10，得xf(0)1，f(1)f(1) 4，f(2) 4 333f(13f(23431（1（06）5h(B) (C) V1r2h1(25h2h1(25hh3令V (253h2)0得h1V2h0h r2525 2r33 h5 2 hr2．（2．（07）yx1的点与x2y2上的点之间的最短距离为d (A)d1 (B)d(0,1)(C)d (D)d(1,2x2y21所以只 曲线yx B(x,y到原点O的距离的平Lx2y2x2x1)22x212xLL4x20，得2x41x23Lx2y2x2(x1)22x21 2222222 (d1)2d2221又2 222 2(21) 21d 2221(1,2（DLx2y2x2(x1)22x21 2x21(2x)2(1)222x12223．（08）3．（08）已知fx3x2kx3(k＞0),当x＞0时，总有f(x)20成立，则参数k的最小取值是[（Ｂ）]。（A）32 （B）64 解fx203x2kx320，20x33x5gx20x33x5在(0,的最大值就是参数k的最小取值gx60x215x415x24x2x2x2gx在(0,gx在(0,内的最大值点，g(2232032264。一曲线的凹凸、拐点1如果曲线在其任一点切线之上（下），则称此曲线是凹（凸）的。凸凹x1,x2f(x1x2)f(x1)f(x2x1,x2fx12)f(x1)f(x22I是凹（凸）3fx00，且fx)x0两侧异号，则（x0fx0）1xx（xxxx）fxxx是曲线yf(x)的垂直渐近线。y1xyeyyln12．8．112．8．1断曲y3x44x31y12x(x1)236x(x)2x0,x0(0,)2(23330—0y 在(,0),(3,)凹，在(0,)2 拐点(0,1)，( 3yyx6)ex1）定义域x2）y (x6)e(1xex x2xxe1(x2)(xye113x4令y0x2x令y0得x6(6030————0———0y极小极大值f(24ef(39e拐点 e13limfx当x时，f(x)ln(1)与g(x)sin，则 ln(11limfx)1/xg( xsinx1/2下图是关于汽车位移函数的图像。利汽车的初始速度汽车B,CA,B,CD,E fx①fx)的单调增区间(2,4)②f(x)的单调增区间(1,3)(5,7)③x1x3x5x7fx)x1,x3x5x7fx)(A)① (B) (C) (D) fxfx0fx0yf(xx)f(x)，则当x0时有 (A)ydy (B)ydy(C)dyy (D)dyy1(ydyf(ox法yf(xx)f(x)f()x(x,x0dyf(x)xf()x55fxx1)(2x，则(Cx1fx)的极值点，但(1,0)不是fx)的拐x1不是f(x)的极值点，但(1,0)也不是曲线f(x)x1fx)的极值点，且(1,0)fx)x1不是fx)的极值点，但(1,0)是曲线f(x)的拐6（03）x2xsinxcosx的实数根的个数是[(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解：设fxxsinxcosxxfx是偶函数，在[0,)内，f(0)1f() ()2 所以fx在(0内至少有一个零点，且在(0f(x)xcosxsinxsinx2xx(cosx2)fx在(0内只有一个零点fx在(,) （04）在(3,0)ln3xln(3在(3,0)区间上ln3xln(3(C)在[0,)ln3xln(3 在[0,)ln3xln(3x(3,0),f(x)310,f,f即ln3xln(3在(3,0)ln3xln(3在(3,0)ln3xln(3x)(C)在[0,)ln3xln(3x) 在[0,)ln3xln(3A)A)在(3,0)ln3xln(3(B)在(3,0)ln3xln(3(C)在[0,)区间上，ln3xln(3x)D)在[0,)ln3xln(32fxln(3x)gxln3x，则f(x)ln(3x)的定义域是(3,)，8（05）fx在上有 (xxxx limf(x)1，f(x)(x1)(xfx)2limf(x)limf(x)x xfx)2选9（06）如左图，曲线Pf(t)ff(t)存在，t[0,2]ff0ft ff0f1010 若ab,cdy1ax3bx2cxdA.有极大值，而无极小 B.无极大值，而有极小C.有极大值，也有极小 D.无极大值，也无极小a,b,c,d成等比数列，可设baq,caq2,daq3，(qyax22bxca(x22qxq2a(xq)20,aayax3bx2cxd单调。特殊地，取abcd1y1x3x2xy1x3x2x1ffxxelnxk，则fx1e0,x这表明fx在(01内单调递减，因而它在(01内最多limfx，由极限的保号性，存r,0rf(r0fx在[r,1]f(r0f(1)1k。f(11k0时，即k1x1f的一个零点。x1xelnxk0的一个解。当f(11k0时，由在闭区间上连续函数的零点存在定xelnxk0在(01内有一个解22fxxelnxf(x)1e0,xfx(0,1]fx)在(0,1]xelnxkyxelnk1x在(0,1]上有解，则kk12(1(2012)若函yxexex有正的极值点，则参的取值范围是（B.）A. B. C.(0, D.yeexex(e1x由取得极值的必要条件和题设，存在x00，使e1x00e1x0所以0x00e1x0e12(2).(2013设12(2).(2013设fx在(,0)上有唯一零点x01，且f(x0)1，则函数F(x) f(t)dt的严格单调增区间是A. B.C.分析：在(,0)考虑f(x)f(1)limf(x)f(x)x由极限的保号性质，存在0f(x)1在xx]f(x0，（x0xx0x0fx0，xx0,x0]时，f(x)0。fx在(,0)x01可得当x(,x0时fx0,x(x0,0)时，f(x)0。x(1,1)fx0 ffx在(,0)上有唯一x0xx0x0时fx0，x(x0fx0反证：设存在x1(x0fx10，取x2x0,x0，则有fx20，利用连续函数的零点存在x3(x1x2使得fx30fx在(,0)上有x01。同理可证，若fx在(,0上有唯一x01xx0x0时fx)0，xx0,0时fx02：特殊函数代入法。取fx11x2f(x)1213重不定不定积分的概念和简单的计一原函数、不定积分的概定义对于定If若存在函数Fx)，对于区间Ix都有Fxf(x) F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)C（C是任意常数是fx的全体原函数，称之为fx的不定积记作f(x 即f(x)dxF(x)x为积分变量，fx为被积函数fx)dx为被积表2设Fxff(x)为可积的奇函数，则F(x)是偶函fx)为可积的偶函数，但F(x)不一定是奇函数f(x)为可积的周期函数，但F(x)不一定是周期函数二.二.lncos2sin2csc2xdxcotx 不定积分的性（1）f(x)dxf(（2）df(x)dxf(F(x)dxF(x)dF(x)F(x)kfx)dxkfx)dxk[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(13．1．113．1．1解d[F(sinxFu(sin2）d(lnx1x3)lnx1x3求cos2 sinxcoscos2x cos2xsin2sinxcosdxsinxcosx(4)已知f(x)的一个原函数 sin1xsin求fxfx)dxff(x) )cosxsin2x1xsin (1xsin13.2不定积1．第一类换元法（凑微分法F(uf(u的原函ux)可导，F[x)]是f[x)](x)的原函数，即f[x)]x)dxf(u)du=F(u)C=F[(（其中u(其实质：已知fx)dxFx则f[x)]x)dx=f[x)]dxF[例13．2．1例13．2．1(1)cos(2x4 cos(2x)dxcos(2x)d(2x ) （2）x(1x)1xxdx1dx1dxx(1x) 1xlnxln1xCx 1（3）x2a21(11)dx1lnxa x x x11 11（4）22dxln2 1d(12x2（1）12x21ln(12x2) 12ee 2 x2exx232x132x3d(2x332x(1)x(12lndln12ln1d(12lnx)1ln12lnx 12ln (2)1exd(1ex)1ln(1e)x(3)(3)1ex1dx1e (11ex1e1ed(1exx1exln(1ex)2例13．2．4设f(x1) x2fx1fx)lnx，求x)dxx21x21f(ulnuuf(x)ln(x)1ln(x)xxx(x)由此解得x)从而x)dxx1dx2lnx1xx1xdxd11dxdlnx sec2xdxdtanx、exdxdesinxdcosx2．2．x(t单调可导，(t0且(tf[(t)](t)的原函数，则(t)(1其实质是：已f[(x)](x)dx(x)C则fx)dxf[(t)](t(t)C(1(x))13．2．51x令xtxt2dx 11tdt2[112[tln1t]C2[xln(13．3．u(x),v(x)有连续的一阶导数u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(即ux)dvxux)vxvx)dux注意:分部积分法的关键是正确选择ux和v选取ux)和v(1)vx)（2）求vx)dux难度不超过ux)dvx例1３．2．6例1３．2．61（1）xe2xe2dx2xd(e22xe2e22xe22e2 11x xsin2xdx1xd(cos21xcos2xcos21xcos2x1sin2x2答答xlnxx（4）ex解：令xt,xt2dxexdx2tetdt2td(et2tetetdt2[tetet]2ex[x1]（3）lnxdxxlnxx(ln(5)exsinexsinxdxsinxd(exexsinxexcosexsinxcosxd(exexsinxexcosxexd(cosexsinxexcosxexsin所以esinxdx e(sinxcosx)x1x2则不定积分则不定积分xfx)dx［(C(A)2x3lnx1x339 2xx2lnx(C)x2lnxx2 3x2lnxx2fxx2lnx)2xlnxxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(2x2lnxx2x2lnxCx2lnxx2（07）fxf(0)（A）2e （B）1e（C）1e （D） 令lnxtxetf(tetf(tetCf(01C2，f(12e设函数设函数f(x在区间[ab上有界，在[ab]xi1xi上任意取一点ixi1ixif(i间长度xi的乘积f(i (i1,2,Ln)，并作i如果不论对[a,b怎样分法，也不论在小区间xi1xi]上点i怎样取法,只要当0时，和S总趋向于确定的极限II为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记 f(x)dxb即af(x)dxI=0f(i)x其中fx)叫作被积函数，fx)dx叫做被积表达式，x变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[ab注注 定积 f(x)dx是一个确定的数，这个数与积分区a,b]和被积函数有关，与区间[a,b]的分法及i的取法无关，与变量用什麽字表示无关，limf(i)xi存在,我们称fxo的fx在[ab可积的必要条件是fx在[ab上有界；函数在[a,b]上可积的充分条件是f(x)在[ab]上连续。f(x)f(x)dxa f(x) x[c,f(x) f(x)dxS当ab时 f(x)dx当ab时fx)dxf三定三定积分的设fx),gx为可积函数，则 (1)a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag( akfx)dxkafx)dx（k是常数badxb af(x)dx=af(x)dxcf(b(5)如果在[ab]上fx0则afx)dx （6）[ab]fxgx)afx)dxagbaf(f( (a a(8)设在[ab]mfxMm(ba fx)dxM(ba)(其中mM（9）如果函数fx在区间[ab上连续，则在[ab]上至少fx)dxf()(ba成立ffx在[abfx)dx奇函数,fx)③当f(x)为奇函数时，f(x)的任一原 f(t)dt是偶函数，当f(x)为偶函数时，f(x)只有唯一的原函数是 f(t)dt。2fx在（,上连续，以为周期，则 f(t)dt0f(tT比较比较lnxdxe lnxlnx1lnxdx13．3．2fxa2x利用几何意义，求axx 0xaf(x)dx f(x)dx f(0a 1a21a22设在[abfx0fx0,fx0按积分值大到小次序排序（1）[f(a)f(b)f(a)(x（2）af(b（3）af(2)(1)１３．４微１３．４微积分基一．牛顿—莱布尼1上限函数定fx可积x)定积分的计f(t)dt称为变上限定积分它是上限变量x的函数2定理如果f(x)在[a,b]上连续，则(x) f(t在[ab]上可导，且[x)]xfx)；如果函数fx[a,b]上连续，g(x)则g(x(1)求dsinxln(2tdxdsinxln(2t)dtln(2sinx)cos2）设F(x) f(t)dt，求F(x)解F(x)2xf(x22（3）F(x) dt，求F2t 解：FxF(x)2txtx2tdt2若函数若函数f(x)连续，g(x) f(x)dtx0gx是x的（AA.高阶无穷 B.低阶无穷C.等价无穷 D.同阶（非等价）无穷分析：在g(x) f(x)dt中，令x g(x) f(xlimg(x))dt fx22lim2f(2x)f(124 x[2f(2x)f(x)]2fxxfxtxtg(x) f(xt)dt(xt(xtt 3xlimg(x)lim3x2lim3x2x0+gx是x的高阶无穷小A。3牛3牛顿定理若函数fx在区间[ab]Fx为fx的一个原函数，即Fx)fx)， bf(x)dxF(x)bF(b)F 例13．4．2 计算2cosxcos3 :2cosxcos3xdx2cosxsinx 2 cosxsinxdx2cosxsin 22 33cos2 2 33cos2 4203cosxcosxdx cosxsinxdxcosxcos343(2)(2)（2014）Fx)xtsintdt，则F(0]A. B.Fx)xtsintdtxt)sintdt(tx)sin sintdt tsintdttsintdtF(x) sintdtxsinxxsinxsinxxsintdtxsin sintdtsintdtF(0) sintdtsintdtcos例13．4． 设f(x)x f(x)dxfx)dx，即 3(23(2ffx在[a,b]上连续，函数(t)关系式x(t)所确定的x的值不越出[a,b]的范围，若越出，但f(x)在大的区间上仍连续，则有下式成立f(x)dx f ：01令xtxt2dx2tdt4 x0时t0x4时t01 dx dt2(1 1t 1t2 1[2t2ln(1t)]42ln设函数u(x)与v(x)在区间[a,b]上具有连续的导数与v(x)，则 u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u u(x)dv(x)u(x)v(x)13．43 xd(ex)x33e1ln3exln321ln（2） ln2xdx=[(解1ln2xdx1ln1lnxdx1e1ln[xxlnx][xlnxx]111ln1elneee （2014）（2014）定积分 dx等于A. 2 1 D.1答Bdxxtx0t0x1时t1xt2dx 2tedt2td(e) 2e2e12e 4e111平面图形的面yf(xdx(yyg(xa①Sbf(x)g(② (y)(例13．5．1例13．5．1求由曲线y2x2，x y,yy0y2x由y2x x1x 得y1由x2得y2dA[2x2((2x2dA(2x2x2)dx(22x213．5．213．5．2曲线x2yy2xy0所围面积。解：画出所求平面图形的草图，x2yy x1xy y1x2yy dA[(2yy2)(y)]dy(3yy2所以，A (3yy)dy3202：2：选x为积分变量，则抛物线可写为y111y211xdA[11x(x)]dx(11xxdA[(11x)(11x)]dx2113．5．3曲线ylnx,(2x6)上的一条切线使该切线与直线x2,x6x轴所围成平面图形面积最P(x0,y0kx，x01A(x)1[21lnx61lnx]ylnx0xxx00200164lnx0x000Ax6[1xxlnx164lnx 2x00Ax16x0x4A(4)1所以x04因此切线方程为yln4 (x4)或y x1ln13．513．5．41已知f(x)连续且满足 f(t)dtx4x2xf(求fx)x1f(t)dt11f f(x)dxxf(t)dtx4x20f(x)4x32xgx)单调增加，则x)2fx)gx)在[0，）fxf(t)g(tf(tf(x)g(x) f(t)dtf(x) f(t)g(t)dt f(t)dt]f( f(t)[g(x)g(t)]dtx0 f(t07）若函数fx)x1)dt xx（A） （B） （C）（D）lim32洛必达3(e9x21)3x9xxsin2(exex设f(x) x2xcos2xx0求limfxlimfx并讨论fx)x0sin2(ex ex exlimf(x)limf(x)xx0coslim2cos22xxlimf(x)2f(0)fx)x05（09）gx在[0,]上连续，若在(0,222 g(t)dt g(sint g(t)dt g(sint g(t)dt g(sint g(t)dt g(sint因在(0因在(0gx0gx在(0内单调增加。又t(0, )时有tsint，因而t[0,]时g(t)g(sint)，从 g(t)dt g(sint)dt成立6（09）若连续函数f(x)满 uf(xxln2， f(x)dx （A）. （B）.0（D）. uf(xu)du中令xut，u0时tuxt0dudtuf(xu)du (xt)f(t f(t)dt tf(t f(t)dt tf(t)dtxlnxf(t)dtxf(x)xf(x)1，2 f(t)dt12， f(t)dt12x1fx)dx 127（03考题）甲、乙两人百米赛跑成绩一样，那麽 甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不甲、乙两人至少某时刻的瞬时速度一