2021-2022学年江西南昌市心远度中考数学五模试卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在射线A5上顺次取两点C,D,使AC=CZ）=1,以。为边作矩形COEP,DE=2,将射线A5绕点A沿逆

时针方向旋转，旋转角记为a（其中（FVa<45。），旋转后记作射线4次，射线A方分别交矩形CDE尸的边C尸，DE于

点G,H.若CG=x,EH=y,则下列函数图象中，能反映y与x之间关系的是（）

2.下列各式中，不是多项式2*2-4x+2的因式的是（）

A.2B.2（x-1）C.（x-1）2D.2（x-2）

3.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示:

鞋的尺码/cm2323.52424.525

销售量/双13362

则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（）

A.24.5,24.5B.24.5,24C.24,24D.23.5,24

4.下列图形都是，由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共

有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（）

O

OO

<><><>

oOOO

<><><2*00

o0<^>0

<><>oeOOOOO

图①图②图③图④

A.73C.91D.109

5.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-l=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（).

A.m>—1且m，0B.mVl且m和C.mV—1D.m>l

6.某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有

A.4个B.5个C.6个D.7个

7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发，沿A—D—E—F-G-B

的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B）,则AABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致

是（）

-2小的数是（

A.-3C.0D.1

3

9.已知点A（x，3）、3（々,6）都在反比例函数y=--的图象上,则下列关系式一定正确的是（）

x

A<玉<々<°B.<0<x2C.x2<<0D.x2<0<

10.如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在X轴、y轴上，点B的坐标为（0,36）,NABO=30。,

将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）

A.（|,苴）B.（2,述）C.（史，|）D.（|,3-巫）

2222222

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：8a3-8a2+2a=.

12.如图，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,AB=2,点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90。的扇形

DEF,点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为

13.小华到商场购买贺卡,他身上带的钱恰好能买5张3D立体贺卡或20张普通贺卡•若小华先买了3张3D立体贺卡,

则剩下的钱恰好还能买张普通贺卡.

14.分解因式：4a2-1=.

15.分式与与士-的最简公分母是__.

3a2ba-b

16.在实数范围内分解因式：x2y-2y=.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A.B.C,D四个班共提供了100件参赛作品.C班提供的

参赛作品的获奖率为50%,其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图1和图2两幅尚不完整的统

计图中.

各班获奖作品数统计图

各班参赛作品是的统计图

（1）B班参赛作品有多少件？

⑵请你将图②的统计图补充完整;

（3）通过计算说明，哪个班的获奖率高?

（4）将写有A,B,C,D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A,B两班的概率.

18.（8分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲

地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线08czM表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）

之间的函数关系.请根据图象解答下列问题：当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地千米；当轿车与货车相遇

时，求此时x的值；在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值.

19.（8分）观察下列多面体，并把下表补充完整.

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

图形08

顶点数"61012

棱数8912

面数C58

观察上表中的结果，你能发现“、匕、c之间有什么关系吗？请写出关系式.

20.（8分）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm,

BC=6cm,ZC=90°,EG=4cm,ZEGF=90°,O是△EFG斜边上的中点.

如图②，若整个AEFG从图①的位置出发，以lcm/s的速度沿射线AB方向平移，在小EFG平移的同时，点P从AEFG

的顶点G出发，以lcm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停

止平移.设运动时间为x（s）,FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y（cm?）（不考虑点P与G、F重合

的情况）.

(1)当x为何值时，OP〃AC；

(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24?若存在，求出x的值；若不存在，说明

理由.(参考数据：1142=12996,1152=13225,1162=134564.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)

21.(8分)(1)计算:(a—b)2—a(a—2b)t

23

(2)解方程：----=—.

x-3x

22.(10分)如图1,图2…、图m是边长均大于2的三角形、四边形....凸〃边形.分别以它们的各顶点为圆心,

以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、〃条弧.

(2)求图m中"条弧的弧长的和(用n表示).

23.(12分)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000

元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少

5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

24.如图，AB是。O的直径，弧CD_LAB,垂足为H,P为弧AD上一点，连接PA、PB,PB交CD于E.

(1)如图(1)连接PC、CB,求证：ZBCP=ZPED；

(2)如图(2)过点P作。O的切线交CD的延长线于点E,过点A向PF引垂线，垂足为G,求证：ZAPG=-ZF；

2

(3)如图(3)在图(2)的条件下，连接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2不，求。O的直径AB.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、D

【解析】

AC'

:四边形COE尸是矩形，：.CF//DE,：.i\ACG^^ADH,:.——=——，

DHAD

VAC=CZ)=1,.\AD=2,X——,/.DH=2x,\"DE=2,y=2-2x,

DH2

V0°<a<45°,.,.0<x<l,

故选D.

【点睛】本题主要考查了旋转、相似等知识，解题的关键是根据已知得出AACGs/kADH.

2,D

【解析】

原式分解因式，判断即可.

【详解】

原式=2(x2-2x+l)=2(x-1)2o

故选：D.

【点睛】

考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

3、A

【解析】

【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得.

【详解】这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5,

这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5,所以中位数为24.5,

故选A.

【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键.

4、C

【解析】

试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=尸+2；

第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；

第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；

•・・,

第n个图形中菱形的个数为：M+n+l；

第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=1.

故选C.

考点：图形的变化规律.

5、A

【解析】

•.•一元二次方程/nx2+2x-l=0有两个不相等的实数根，

.•.，"邦，且2?—4x,〃x(-1)>0,

解得：-1且zn#O.

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)根的判别式：

(1)当△=左-4碗>0时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当ANZ-dacR时，方程有有两个相等的实数根；

(3)当A="-4acV0时，方程没有实数根.

6、B

【解析】

由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数.

【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图(数字为该位置小正方体的个数)为:

则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，

故选B.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键.

【详解】

请在此输入详解！

【点睛】

请在此输入点睛！

7、B

【解析】

解：当点尸在AZ）上时，AA5P的底A5不变，高增大，所以AABP的面积S随着时间，的增大而增大；

当点P在。E上时，AA8P的底A8不变，高不变，所以AA8P的面积S不变；

当点尸在E尸上时，AA8P的底48不变，高减小，所以AA8P的面积S随着时间，的减小而减小；

当点尸在FG上时，AA5尸的底A3不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；

当点尸在G5上时，AA5P的底A8不变，高减小，所以△45尸的面积S随着时间,的减小而减小；

故选B.

8、A

【解析】

因为正数是比0大的数，负数是比0小的数，正数比负数大;负数的绝对值越大，本身就越小，根据有理数比较大小的法则即

可选出答案.

【详解】

因为正数是比0大的数，负数是比0小的数，正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小，

所以在-3,-1,0,1这四个数中比-2小的数是-3,

故选A.

【点睛】

本题主要考查有理数比较大小,解决本题的关键是要熟练掌握比较有理数大小的方法.

9、A

【解析】

分析：根据反比例函数的性质，可得答案.

详解：由题意，得

k=-3,图象位于第二象限，或第四象限，

在每一象限内，y随x的增大而增大，

V3<6,

.".Xl<X2<0,

故选A.

点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键.

10、A

【解析】

解：•••四边形AOBC是矩形，NABO=10。，点8的坐标为(0,3垂)),，AC=OB=3#),ZCAB=1O°,

.,.BC=AC*tanlO°=3>/3x@=l.•将△ABC沿A5所在直线对折后，点C落在点。处，，N8AO=10。，AD=3#>.过

3

।□h9

点。作。M_Lx轴于点M,；NCA5=NBAO=10°,ZDAM=1O°,：.DM=-AD=^-,：.AM=3Jjxcosl0°=-,

222

933aA

.•.MO=--1=2,.•.点。的坐标为(士，任).故选A.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、2a(2a-1)2

【解析】

提取2a,再将剩下的4aZ4a+1用完全平方和公式配出(2a-1)\即可得出答案.

【详解】

原式=2a(4a2-4a+l)=2a(2a-1)2.

【点睛】

本题考查了因式分解，仔细观察题目并提取公因式是解决本题的关键.

【解析】

连接CD,根据题意可得ADCEgZkBDF,阴影部分的面积等于扇形的面积减去ABCD的面积.

【详解】

解:连接CD,

/G

作DMJ_BC,DN±AC.

VCA=CB,ZACB=90°,点D为AB的中点，

\历

.,.DC=-AB=1,四边形DMCN是正方形，DM=X—.

22

90X1~TT

则扇形FDE的面积是：=-.

3604

VCA=CB,ZACB=90°,点D为AB的中点，

ACD平分NBCA,

又DN_LAC,

，DM=DN,

VZGDH=ZMDN=90°,

:.ZGDM=ZHDN,

ZDMG=4DNH

则在△DMG和小DNH中，｛ZGDM=ZHDN,

DM=DN

/.△DMG^ADNH(AAS),

.1

S四边彩DGCH=S四边形DMCN=一.

2

jt1

则阴影部分的面积是：----

42

TTI

故答案为5

【点睛】

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG04DNH,得到SegiODGcxS四边形DMCN

是关键.

13、1

【解析】

根据已知他身上带的钱恰好能买5张3D立体贺卡或20张普通贺卡得：1张3D立体贺卡的单价是1张普通贺卡单价

的4倍，所以设1张3D立体贺卡x元，剩下的钱恰好还能买y张普通贺卡，根据3张3D立体贺卡+y张普通贺卡=5

张3D立体贺卡，可得结论.

【详解】

解：设1张3D立体贺卡x元，剩下的钱恰好还能买y张普通贺卡.

则1张普通贺卡为：工5x=：1x元，

204

由题意得：5x-3x=-x-y,

4

y=8,

答：剩下的钱恰好还能买1张普通贺卡.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据总价=单价x数量列式计算.

14、(2«+1)(2a-1)

【解析】

有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开.

【详解】

4屋-1=(勿+1)(2a-1).

故答案为:(2a+l)(2a-l).

【点睛】

此题考查多项式因式分解，根据多项式的特点选择适合的分解方法是解题的关键.

15、3a2b

【解析】

利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次第的积作公分母求解即可.

【详解】

分式£与*

的最简公分母是3a2从故答案为3/儿

【点睛】

本题考查最简公分母，解题的关键是掌握求最简公分母的方法.

16^y(x+V2)(x-V2)

【解析】

先提取公因式y后，再把剩下的式子写成X”血产，符合平方差公式的特点，可以继续分解.

【详解】

x2y-2y=y（x2-2）=y（x+&）（x-&）.

故答案为y（x+后）（x-V2）.

【点睛】

本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解的式子

的结果一般要分到出现无理数为止.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）25件；（2）见解析；（3）B班的获奖率高；（4）;

【解析】

试题分析：（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；

（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%,结合C班参赛数量得出获奖数量；

（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；

（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率.

试题解析：（1）由题意可得：100x（1-35%-20%-20%）=25（件），

答：B班参赛作品有25件；

（2）班提供的参赛作品的获奖率为50%,；.C班的参赛作品的获奖数量为：100x20%x50%=10（件）,

如图所示：

(3)A班的获奖率为：1==xl00%=40%,B班的获奖率为：=xl00%=44%,

C班的获奖率为：==50%；D班的获奖率为：7T三X1OO%=4O%,

故C班的获奖率高；

(4)如图所示：

ABCD

/N/1\/1\.

BCDACDABDACB

故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为：士=』.

考点：1.列表法与树状图法；2.扇形统计图；3.条形统计图.

18、(1)3()；(2)当x=3.9时，轿车与货车相遇；(3)在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为

3.5或4.3小时.

【解析】

(1)根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小

时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车

距乙地的路程为：300-270=30千米；

(2)先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；

(3)分两种情形列出方程即可解决问题.

【详解】

解：(1)根据图象信息：货车的速度丫贪=?=60,

•••轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，

，轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5x60=270(千米)，

此时，货车距乙地的路程为：300-270=30(千米).

所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米.

故答案为30；

(2)设CD段函数解析式为y=kx+b(k和)(2.5<x<4.5).

VC(2.5,80),D(4.5,300)在其图象上，

‘2.5左+8=80,[%=110

[4.5%+8=300,解得,=—195，

...CD段函数解析式：y=110x-195(2.5<x<4.5)；

易得OA：y=60x,

仃=110x—195x=3.9

广“，解得

y=60xy=234

.•.当x=3.9时，轿车与货车相遇；

(3)当x=2.5时，y®=150,两车相距=150-80=70>20,

由题意60x-(110x-195)=20或110x-195-60x=20,

解得x=3.5或4.3小时.

答:在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路

程=速度x时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键.

19、8,15,18,6,7；a+c-b=2

【解析】

分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定

有(n+1)个面，In个顶点和3n条棱，进而得出答案，

利用前面的规律得出a,b,c之间的关系.

详解：填表如下：

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

3®

图形O

顶点数a681011

棱数b9111518

面数C5678

根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n,则它有n个侧面，共有n+1个面，共有In个顶点，共

有3n条棱；

故a,b,c之间的关系：a+c-b=l.

点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系(即欧拉

公式)，掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有(n+1)个面，In个顶点和3n条棱是解题关键.

20、(1)1.5s；(2)S=—6x2+1—7x+3(0<x<3)；(3)当x=5±(s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：

2552

1.

【解析】

(1)由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP〃EG〃AC,据此可求出x的值.

(2)由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积.三角

形AHF中，AH的长可用AF的长和NFAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式(也可用相似三角形来得出AH、

FH的长).三角形OFP中，可过O作ODJ_FP于D,PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和NFOD的余弦

值得出.由此可求得y、x的函数关系式.

(3)先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入(2)的函数式中即可得出x的值.

【详解】

解：⑴VRtAEFG^RtAABC

.EGFG_4FG

.——=——，即0-=——,

ACBC86

4x6

.FG=------=3cm

8

.,当P为FG的中点时，OP〃EG,EG#AC

\OP〃AC

1FG1

x=V2=—2x3=l.5(s)

,.当x为1.5s时，OP〃AC.

(2)在RtAEFG中，由勾股定理得EF=5cm

.,EG〃AH

,.△EFG^AAFH

.EGEFFG

43

\AH=-(x+5),FH=-(x+5)

55

过点O作ODJ_FP,垂足为D

AHC

图②

,点O为EF中点

1

.,.OD=-EG=2cm

2

VFP=3-x

S四边彩OAIIP=SAAFH-SAOFP

11

=一-AH・FH--»OD»FP

22

1431

=—•—(x+5)•—(x+5)-----x2x(3-x)

2552

6,17,、

=—x2+—x+3(0<x<3).

255

（3）假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：1

n113

贝！1S四边彩OAHP=XSAABC

24

6,17131

—x2+—x+3=—x—x6x8

255242

.,.6x2+85x-250=0

解得Xl=2,X2=-(舍去)

23

V0<x<3

...当x=3（s）时，四边形OAHP面积与AABC面积的比为13:1.

2

【点睛】

本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题同样是用相似三角形建立起函数

解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函

数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决.

21、（1）"（2）1

【解析】

分析：（1）、根据完全平方公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案；（2）、收下

进行去分母，将其转化为整式方程，从而得出方程的解，最后需要进行验根.

详解：(1)解:原式=(?—2诏+护一&2+2曲=b2；

⑵解：2x=3(x-3),解得：x=l,

经检验x=l为原方程的根，所以原方程的解为x=l.

点睛：本题主要考查的是多项式的乘法以及解分式方程，属于基础题型.理解计算法则是解题的关键.分式方程最后

必须要进行验根.

22、(1)7T,2rt；⑵("-2)71.

【解析】

(1)利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；

(2)利用多边形的内角和公式和弧长公式计算.

【详解】

(1)利用弧长公式可得

〃]»X1%"'14万Xl_

------1-------1------=九，

180180180

因为"l+"2+"3=180°.

LFEdb,以n.7TXl名万xln,7rxln.Trxl

同理，四边形的=心——+-2——+-^——+」——=2九,

180180180180

因为四边形的内角和为360度；

“乃xl+4万xl++n^xl+_(/?-2)x180^x1

(2)/i条弧=4=(n-2)n.

180180180180180

【点睛】

本题考查了多边形的内角和定理以及扇形的面积公式和弧长的计算公式，理解公式是关键.

23、30元

【解析】

试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：迎”，第二批进的数量是：吗，再根据等量

关系：第二批进的数量=第一批进的数量x2可得方程.

解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

,30005000

/X—

XX-59

解得x=30

经检验，x=30是原方程的根.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

考点：分式方程的应用.

24、(1)见解析；(2)见解析；(3)AB=1

【解析】

(1)由垂径定理得出NCPB=NBCD,根据NBCP=NBCD+NPCD=NCPB+NPCD=NPED即可得证；

(2)连接OP,知OP=OB,先证NFPE=NFEP得NF+2NFPE=180。,再由NAPG+NFPE=90得2NAPG+2NFPE=180。,

据此可得2NAPG=NF,据此即可得证；

PEEM

(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EM±PF,先证NPAE=NF,由tanZPAE=tanZF得一=——,