2021-2022学年四川省成都高三(上)入学数学试卷(文科)(解析版)

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.设集合U=R,集合A={x|x2-1>0},B={xlOVxW2),则集合(C/)()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(0,1]D.[-1,2]

2.已知i是虚数单位，设rqL,则复数;+2对应的点位于复平面（）

〜3+2i工

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

已知向量才（1，喙），前=(返A,则ZABC=

3.)

22

A.0°B.5°C.60°D.120°

4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,N中的一个字母,

第二位是1,2,3,45中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）

A._8_B.工C._LD.1

1581530

5.已知数列{a}的前n项和为S,且a+a-2a=0(neN*),若。正+。收+。“=24,则

nnn+znn+1lolo21)

s=()

35

A.140B.280C.70D.420

6.已知命题p：存在Q6R,曲线x2+ay2=l为双曲线；命题q：工-1这0的解集是{川1VxV

2

2}.给出下列结论中正确的有（）

①命题"p且q"是真命题；

②命题“p且（「q）”是真命题：

③命题“（^「）或q”为真命题；

④命题"（Fp）或（^勺）”是真命题.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面

积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点

后面两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设

计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为

（参考数据：sinl5°=0.2588,sin7.5°=0.1305）（）

A.2.598B.3.106C.3.132D.3.142

8,下列说法正确的是()

A.若函数/(x)对于任意xQR都有=/(4-x)成立，则/(x+2)是偶函数

B,若函数/(x)=«log,x+Mogx+l,f(2016)=3,则于()=-3

,2016

c.对于函数/(X)=欣,其定义域内任意广#尤,都满足了(生？2)w£(&)+"%).

22

D.函数f(x)=ar(a>0,满足对定义域内任意实数a,b都有/(a+&)=/(a)

•f(b),且/(x)为增函数

9.设函数贝！Jy=/(X)()

A-在(o,工)单调递增，且其图象关于直线X』对称

66

b-在s,冬)单调递增，且其图象关于直线区斗对称

O0

「在ITjr

(0,W-)单调递减，且其图象关于直线X—对称

00

D.在八兀、兀

(0,匚丁)单调递减，且其图象关于直线■对称

O0

10.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别

是()

A.12.512.5B.12.513C.1312.5D.1313

11.已知A,8是球O的球面上两点，ZAOB=9Q°,C为该球面上的动点，若三棱锥。-

ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）

A.36KB.647rC.144nD.256Tl

22

12.已知。为坐标原点，尸是椭圆C：x-f.y=1（a>b>0）的左焦点，A,B分别为C

22

abK

的左，右顶点.P为C上一点，且PFLx轴.过点4的直线/与线段尸尸交于点与y

轴交于点E.若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（）

A.工B.AC.23

3234

D.二、填空题（每小题5分，共20分）

13.函数f（尤）=sin2x（xcR）的最小正周期T=.

14..已知双曲线过点（4,向）且渐近线方程为y=土贬，则该双曲线的标准方程

是

x+y-5^0

15.若x,y满足约束条件，2x-y-l>0-则z="+y的最大值为・

,x-2y+l<0

16.已知曲线y=x+Er在点（1,1）处的切线与曲线y=oc+（a+2）x+1相切，贝ija=

.三、解答题（伍21每题12分，22题10分，共70分）

17.设△43。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2asinA=（2b-寸孑）sin3+（2c

Wsine.

（I）求角A的大小；

(II)若a=2,b=2

18.根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手

段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播

播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠

疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了

本村200名居民(未接种)的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：

第x天12345

新接种人数y1015192328

(1)建立y关于x的线性回归方程；

(2)假设全村共计2000名居民(均未接种过疫苗)，用样本估计总体来预测该村80%

居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程-=一乂+一中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=

ybab

n___

V.xiyi-nxy

19.如图，四棱柱的底面为菱形，ACDBD=O.

(1)证明：〃平面々Bn；

(2)设AB=441=2,/MD-兀'若平面力BCD,求三棱锥4-4卢。的体积.

20.设椭圆C：止_+£_=1(a>b>0)的左焦点为尸，过尸且垂直于x轴的直线与椭圆的

a2b,2

一个交点为(-1,.5.).

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点F的直线/交椭圆C于4B两点，线段AB的中点为M,过M且与/垂直

的直线与x轴和y轴分别交于N、P两点，记△•代和△OPN的面积分别为SrS2,若M

s2

=10.求直线/的方程.

)­

21.已知函数/(x)=3-x-2,teR.

8

(1)当t=-4时，求/(x)的单调区间与极值：

(2)当t>0时，若函数g(x)=exf(x)+tex-x+1在R上有唯一零点，求C的值.

fx=t

22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线/：C=at(t为参数)，以坐标原点为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点4在曲线J：p2-8pcos0+12=0上运动，点B为

线段的中点.

(1)求动点B的运动轨迹的参数方程；

0M|

(2)若直线/与C2的公共点分别为M,N,当-^=3时，求a的值.

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.设集合U=R,集合4={x|x2-1>0},B={xlOVxW2},则集合(q/)CB=()

A.(-b1)B.[-1,1]C.(0,1]D.[-b2]

解：A={x|x<-1,或x>l}；

，华=｛川-l〈xWl｝；

/.(C,4)CB=(0,

1].故选：C.

己知是虚数单位，设2-3i,则复甑对应的点位于复平面（

2.i47n+2)

3+21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：=2-3i=-i.(3+2i)=-i

z-3+2i3+2i

则复数f2=i+2

z

.♦.f2对应的点（2,1）位于复平面的第一象

z

限.故选：A.

3.已知向量一=（1,禽），一=（愿，》，则NABC=(

BA2VBCV7

A.0°B.5°C.0°D.0°

解：—•—*■

BA・BC=|=|BC|=L

N+42

BA-BC

cosXABC-

|BA11BC|2

又0°</ABCW180°；

/.ZABC=

30°.故选：A.

4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,1,N中的一个字母,

第二位是1,23,45中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（)

A.gB-]C・]D・]

解：肥M,I,N中任取一录字母，再从1,2,3,%5中任取一个数引取法总数为:

(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(7,1),(/,2),(/,

3),(/,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)共

15利I

其中只有一个是小敏的密码前两位.

由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是上.

15

故选：C.

5.已知数列｛aj的前“项和为S”，且。啥+%-2%+]=0(neN*),若。[6+。18+020=24,则

S=()

35

A.140B.280C.70D.420

解：数列｛anj的前nn项和n为+2S”n，且na+1+a-2a=0(neNO,

可得Q-a=a-a=…=a-a,

n+2门+1nn\2

即有数列｛%｝为等差数列，

即有2a=Q+Q,

181620

a16+aI8+a20=24,nJW3al8=24,

即a=8,

18

则S=1(Q+Q)*35=35a=35X8=

1lo

2

280.故选：B.

6.己知命题p：存在aeR,曲线X2+吵2=1为双曲线；命题q：xTW0的解集是｛x“VxV

x—2

2).给出下列结论中正确的有()

①命题"P且q"是真命题：

②命题“p且(-q)”是真命题；

③命题"([p)或q”为真命题；

④命题"(「p)或(「q)”是真命题.

A.1个B.2个C3个D.4个

解：当a<0时，曲线x2+qy2=l为双曲线，

故命题p：”存在aeR,曲线x2+ay2=1为双曲线”为真命题；

X-1W0的解集是｛xllWxV2｝

x-2

故命题q：“广1<0的解集是｛xllVxV2)”为假命题；

x-2

命题“P且q”是假命题，即①错误；

命题"p且5q)”是真命题，即②正确；

命题“(rp)或q”为假命题，即③错误；

命题“(>)或(刀)”是真命题，即④正确.

故选：B.

7.公元263年左右，我国数学有刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形的面

积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点

后面两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设

计了一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为

(参考数据：sinl5°=0.2588,sin7.5°=0.1305)()

A.2.598B.3.106C.3.132D.3.142

解：模拟执行程序，可得：

”=6,S=3sin60°=?隗,

2

不满足条件n>24,n=12,S=6Xsin30°=3,

不满足条件n>24,n=24,S=12Xsinl5°=12X0,2588=3.1056,

不满足条件n>24,n=48,S=24Xsin7.5°=24X0.1305=3.132,

满足条件n>24,退出循环，输出S的值为3.132.

故选：C.

8,下列说法正确的是（）

A.若函数/(x)对于任意xCR都有/(x)=/(4-x)成立，则/(x+2)是偶函数

B.若函数/(x)=Qlog3X+blog/+l,f(2016)=3,则/(-、)=-3

2016

Xyf(X)-4*f(X)

C.对于函数f(x)=lnx,其定义域内任意X[Wx2都满足/(7/2)W—二1?........-

D.函数f（x）=ax（c?＞0,QWI）满足对定义域内任意实数Q,b都有/（Q+b）=f（a）

•/（b）,且/（x）为增函数

解：A选项：因为f(x)=f(4-x),所以/(x+2)=/[4-(x+2)]=/(-x+2),所

以/（x+2）是偶函数，正确.

8选项：/（2016）=alog32016+Z?log22016+1=3,所以alog32016+hlog22016=2.

30S3+=（al2016+fclo2016；）

所以/（之。；］）=alog201620^6^"°g3e2+l=-2+l

=-1,错误,

C选项：因为一^＞在石仁1卉X2），所以

X1+Xn______Inx1HnXnX-If（X1）-*-f（Xp）

诉――-«即工）＞一~~—）错误•

D选项：当0＜a＜l时，f（x）为减函数，错

误.故选：A.

9.设函数f（x）=«sin弓%+^"）+85（冬々-）,则尸/⑴（）

A.在10,可）单调递增，且其图象关于直线x丁对称

/c兀、冗

B.在（°，可）单调递增，且其图象关于直线x蓝-对称

C.在（0,可）单调递减，且其图象关于直线x＞丁对称

D.在（0,—）单调递减，且其图象关于直线X一厂对称

O0

解:函麴（x）=ysingx+^-）+cos（/xT*）=2［夸sin（"|■+看）+奈＜»*+?）］

x_2L兀x冗

=2sin（宁=2sin（彳+可），

TTX冗冗5冗x冗

在（0,一丁）上，宁飞飞cy,W），/（x）=2sin（亍+石）单调递增，

兀兀

当xT彳时，/（%）=2,为最大值，故其图象关于直线Xf寸称，故/、C错误.

7Tx兀兀兀x兀

在（0,§）上，5+3W（一晨，2），/（X）=2sin（宁§）单调递增，

故选：B.

n如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别

是()

“楚生

蛆掘

0.10....-I-

0.()6-

0,04--j—

0510520样本我据

A.12.512.5B.12.513C.1312.5D.1313

解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，

.••中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5,众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于V轴的直线横坐标

第一个矩形的面积是0.2,第三个矩形的面积是0.3,故将第二个矩形分成3：2即可

...中位数是13

故选：B.

1L已知4B是球。的球面上两点，N4OB=90°,C为该球面上的动点，若三棱锥。-

4BC体积的最大值为36,则球。的表面积为()

A.361TB.64itC.144nD.256n

解：如图所示，当点C位于垂直于面408的直径端点时，三棱锥0-4BC的体积最大,

设球。的半径为R,此时V工口2=工3=36,故R=6,则

0-ABCC-AOB口，、口入K入K.2IX

球。的表面积为4K/?2=144K,

故选：C.

22

12已知。为坐标原点，尸是椭圆C：2_十匕=1(a>Z?>0)的左焦点，A,B分别为C

的左，右顶点.P为C上一点，且PFLx轴.过点A的直线/与线段PF交于点M,与y

轴交于点E.若直线经过0E的三等分点G(靠近。点)，则C的离心率为()

D.也a而胭，利%

a-ca+c

故选：B.

二、填空题(每小题5件共20分)]1

13函数/(x)=sin2x(SeR)的最小正周期丁=口2

2兀

.解：f(x)2=sin2x=(1-cos2x)=-cos2x+

最小正周期T==ir

故答案为：n@'2-4-

14已知双曲线过点且渐近线方程为y=+x,则该双曲线的标准方程是X2

2

-*=1.

解：设%线面梯为*-1於16

代入点，可得3-=入,

2

.•.入=-1,彳

双曲线的(准方程是X2-*=

1.故答案为：X2-y2=l.

x+y-5^0

15若x,y满足约束条件2x-y-l》0,则z=2x+y的最大值为8.

,x-2y+l40

解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分

ABC).由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,

由图象可知当直线y=-2x+z经过点4时，直线y=-2x+z的截距最大,

此时z最大.

x+y-5=0x=3

由,cr八，解得'即4(3,2)

x-2y+l=0y=2'

将4(3,2)的坐标代入目标函数z=2x+y,

得z=2X3+2=8.即z=2x"的最大值为

16已知曲线y=x+/nx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=

.解：y=x+/nx的导数为y'f1+

曲线＞y=x+/nx在x=1处的切线斜率为k=2,

则曲线y=x+/nx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2,即y=2x-

1.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，

故y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x-1,

得ax2+ax+2=0,

又a¥0,两线相切有一切点，

所以有△-8a=0,

解得。=8.

故答案为：8.

三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）

17.设△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2asin>l=（2b-Jjc）sinB+（2c

-）sinC.

（I）求角A的大小；

（II）若a=2,6=求△ABC的面积.

解：（I）Etl已知及正弦定理可得2a2=（2b-Mc）b+（2c-V5b）G，

整理得

所以GOSA="^.

JT

又/w(0,n),故A，一.

(II)由正弦定理可知一J—=_k_,又a=2,b=2E，A/

sinAsinB6

所以.口V3

mzsinB=~^~

又BE（0,塔），故炉台或2兀

633

若则于是54百4"廿2«；

则C=^"，于是S^&c3absinC=V§・

18根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手

段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播

播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗

接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村

200名居民（未接种）的一个样本，5天内每天新接种疫苗的情况，如下统计表：

第x天12345

新接种人数y1015192328

（1）建立y关于x的线性回归方程；

（2）假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%

居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程-=-x+一中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=

yba

n.

V.Xj^y4-nxy

i=l____________*__一

H2，a=y-bx.

5Zx-n.K

-1+2+3+4+5、-10+15+19+23+28仃

解：（1）由题意可知,乂二----r----=3，y=-------r-------二19,

□□

5—

V.V.—nvV

望1110+30+57+92+140-5X3X19_%

=222222=

飞—2-2l+2+3+4+5-5X3~

工工1-nx

i=l

则a=19-俘'XB号，

2229

所以y关于x的线性回归方程为yyxB；

s2229

⑵设/蓝丁，

数列｛4｝的前n项和为Sn，

又数列｛%｝为等差数列，

er,u(a.+an)119

所以S=---5-----•n=_F_n2+8n，

nNb

因为§=127.2,4=163.8,

所以10^=1272,105,=1638,

2000X80%=1600人，

所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天.

19.如图，四棱柱ABC。的底面为菱形，ACDBD=O.

（1）证明：Bg〃平面&BD；

⑵设A8=K=2,/阿=与若4。，平面ABC。，求三棱锥4-4产。的体积.

【解答】（1）证明：依题意，AJBJX把，且泣CD，

；.&遇1上CD,

.••四边形A/|CD是平行四边形，

：.B}C//A}D,

♦.•与。0平面A[BD,41Du平面A{BD,

；.B|C〃平面A}BD.

(2)依题意，AAj=2,和=退，

在RtZ\44]。中,AJO^AA^-AO2=11

=，AO=2

所以三棱锥a-BCD的体积^SAKD11X4A2)X1=冬

由(1)知BQ〃平面AiBD,

V=V

•*,B1-A.EDC-A,BD

o

2)设椭圆C：〈I丫；=1(a>b>0)的左焦点为F,过尸且垂直于x轴的直线与椭圆的

一个交点为(-1,反).

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点尸的直线/交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,过M且与/垂直

C

的直线与X轴和y轴分别交于N、P两点，记△栈7和aOPN的面积分别为S1、52,若fL

=10.求直线/的方程.

19।

-y+~~^=1W22

解：（1）由题意可得：<a'4bz,解得,,,故椭圆方程为也-

2

2,2_,[b=343

a-b-1

（2）由题意知，斜率不为0,

故设直线4B方程为x=my-1.设4（叼乂），B（x2，y2）,

联立椭圆方程可得（3m2+4）%-6阿-9=0,工V[十丫2二;T号—,

3m+4

p.2_o

-43m

xi+x?=m(y<+y?)-2=—y--2=—=—,/.M(■),

3m2+43m2+43m2+431a2+4

HP：y=-m(x+~­)=Vp=~

3mJ+4尸3mJ+4

S|iFNllyMlI

同理xN=―^―=土巳

=

W3m?+4，S7|NO|.|OP|"|xN|93

所以直线方程为：y=±3(x+1).

1

21.已知函数/(x)=tex---2,teR.

8

(1)当t=-4时，求/1（X）的单调区间与极值;

(2)当。0时，若函数g（x）=时（x）+期-x+1在R上有唯一零点，求亡的

1

值.